1、考研数学二-257 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：50，分数：100.00)1.在曲线y=x 2 (0x1)上取一点(t,t 2 )，(0t1)，设 A 1 是曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0 围成的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)直线 y=t 2 和 x=1 围成的面积，则 t 取 1 时 A=A 1 +A 2 取最小值 （分数：2.00）2.设有曲线 （分数：2.00）3.已知抛物叶形线的一部分： ，如图所示，它围成的图形为 M，则 M 的面积 A= 1，M 的质心(形心) = 2 （分数：2.00）4.由
2、曲线 =rarctanr 及二射线 =0 及 （分数：2.00）5.在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为等 (单位：m)，则当液面过点(0，y)(-1y1)处水平线时，容器内液体的体积是 1，当容器内储满了液体后，以0.16m 3 /min 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至 y=0 时，液面下降的速度为 2，如果液体的密度为 1000(kg/m 3 )抽出全部液体所作的功为 3 （分数：2.00）6. （分数：2.00）7. （分数：2.00）8.设 f(x)可导且 f(0)=0，f(1)=1, ，则 （分数：2.00）9.设 n 为自然数，则
3、（分数：2.00）10. （分数：2.00）11.设 f(x，y)=yx xy ，则 （分数：2.00）12.设函数 f 具有二阶连续偏导数，且 ，则 （分数：2.00）13.设 f(u，v)是连续函数， （分数：2.00）14.设 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）15.若方程组 （分数：2.00）16.设 f(x，y)=ln|x+y|-sin(xy)，则 （分数：2.00）17.设 f 和 g 为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，则 （分数：2.00）18.已知函数 z=f(x，y)在点(1，2)处可微，且 f(1，2)=1，f“ x (1，2)=2，f“ y (
4、1，2)=3，设函数 (x)=f(x，2f(x，2x)，则 “(1)= 1 （分数：2.00）19.设(ax 2 y 2 -2xy 2 )dx+(2x 3 y+bx 2 y+1)dy 是一个函数 f(x，y)的全微分，则 a= 1，b= 2 （分数：2.00）20.设 ，则 （分数：2.00）21.由方程 （分数：2.00）22.设 z=z(z，y)由方程y+z=xf(y 2 -z 2 )确定，且 f 可微，则 （分数：2.00）23.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)=f(x 2 +y 2 ，xy)，则 （分数：2.00）24.设 t0 时，f(t)有二阶连续
5、导数，z=f(xy)满足 （分数：2.00）25.函数 f(x，y)=2x 2 -xy+2y 2 +x-y 在区域 D=(x，y)|x|1，|y|1上最小值点与最小值分别是 1与 2；最大值点与最大值分别是 3 与 4 （分数：2.00）26.累次积分 （分数：2.00）27.交换积分次序 （分数：2.00）28.将直角坐标中的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 （分数：2.00）29.设 f(x，y)为连续函数，且 （分数：2.00）30.设积分区域 D 是由直线 y=0，y=x 与曲线 围成的平面图形，则 = 1 （分数：2.00）31.设积分区域 D=(x，y)1x+y2，x0，y
6、0则 （分数：2.00）32.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 ，区域 D=(x，y)|0x1，xy1)，则二重积分 （分数：2.00）33.设积分区域 D 由曲线 y=lnx 以及直线 x=2，y=0 围成，则二重积分 （分数：2.00）34.设 f(x，y)在单位圆 x 2 +y 2 1 上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0,0)=2016则 （分数：2.00）35.已知 y=y(x)在任意点 x 处的增量 （分数：2.00）36.微分方程(y+2x 2 e x )dx-xdy=0 满足条件 y(1)=2e 的特解是 y= 1 （分数：2.00）37.把 x 2 看成 y 的
7、函数，求解微分方程(y 4 -3x 2 )dy+xydx=0，则该方程的通解是 1 （分数：2.00）38.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：2.00）39.微分方程 yy“+2(y“) 2 =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=-1 的特解是 1 （分数：2.00）40.设 y=y(x)是微分方程(3x 2 +2)y“=6xy“的一个特解，且当 x0 时 y(x)是与 e x -1 等价的无穷小量，则该特解是 1 （分数：2.00）41.当 y0 时，微分方程(x-2xy-y 2 )dy+y 2 dx=0 的通解为 1 （分数：2.00）42.若通过点(1，0)的曲线 y=y(
8、x)上每一点(x，y)处切线的斜率等于 （分数：2.00）43.方程 y“+y“-2y=(6x+2)e x 满足 y(0)=3，y“(0)=0 的特解 y*= 1 （分数：2.00）44.y“+4y=cos2x 的通解为 y= 1 （分数：2.00）45.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 1 （分数：2.00）46.设 有二阶连续的偏导数，且满足 则 （分数：2.00）47.已知连续函数 f(x)满足 （分数：2.00）48.三阶常系数齐次线性微分方程 （分数：
9、2.00）49.设 y=y(x)是二阶常系数线性微分方程 y“+2my“+n 2 y=0 满足 y(0)=a 与 y“(0)=b 的特解，其中mn0，则 （分数：2.00）50.设函数 f(x)满足 xf“(x)-3f(x)=-6x 2 ，且由曲线 y=f(x)与直线 x=1 及 x 轴所围成的平面图形 D 绕 x轴旋转一周得旋转体的体积最小，则 f(x) 1 （分数：2.00）考研数学二-257 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：50，分数：100.00)1.在曲线y=x 2 (0x1)上取一点(t,t 2 )，(0t1)，设 A 1 是曲线 y=x 2
10、 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0 围成的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)直线 y=t 2 和 x=1 围成的面积，则 t 取 1 时 A=A 1 +A 2 取最小值 （分数：2.00）解析： 解析 因此， 2.设有曲线 （分数：2.00）解析： 解析 设切点为 ，则过原点的切线方程为 把点 代入切线方程得 x 0 =2，y 0 =1所以切线方程为 由切线 绕 x 轴旋转一圈旋转体的侧面积为 由曲线 绕 x 轴旋转一圈旋转体的侧面积为 所以，所求旋转体表面积为 3.已知抛物叶形线的一部分： ，如图所示，它围成的图形为 M，则 M 的面积 A= 1，M 的质心(形心) =
11、2 （分数：2.00）解析： 解析 (1)由对称性，上半平面部分 与 x 轴围成的面积的两倍即是 M 的面积于是 (2)由对称性， 4.由曲线 =rarctanr 及二射线 =0 及 （分数：2.00）解析： 解析 由 =rarctanr 确定 r=r()，则 由 =rarctanr 得 =0 时 r(0)=0， 时 代入 A 的表达式得 5.在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为等 (单位：m)，则当液面过点(0，y)(-1y1)处水平线时，容器内液体的体积是 1，当容器内储满了液体后，以0.16m 3 /min 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至
12、 y=0 时，液面下降的速度为 2，如果液体的密度为 1000(kg/m 3 )抽出全部液体所作的功为 3 （分数：2.00）解析： 解析 液体的体积 设液面下降的速度 则 所以 抽出全部液体所作的功 6. （分数：2.00）解析：1-ln2 解析 下求 解法 1 解法 2 7. （分数：2.00）解析： 解析 8.设 f(x)可导且 f(0)=0，f(1)=1, ，则 （分数：2.00）解析：-2 解析 9.设 n 为自然数，则 （分数：2.00）解析：n! 解析 用分部积分法得递推公式 由递推公式导出结果 I n =n(n-1)I n-2 =n(n-1)2I 1 =n!I 0 =n! 其中
13、 10. （分数：2.00）解析：ln2 解析 而 因此 作恒等变形后，对无穷积分作分部积分 11.设 f(x，y)=yx xy ，则 （分数：2.00）解析：y 2 x xy (lnx+1) 解析 12.设函数 f 具有二阶连续偏导数，且 ，则 （分数：2.00）解析： 解析 用一阶全微分形式不变性可得 于是 故 13.设 f(u，v)是连续函数， （分数：2.00）解析： 解析 这是一元函数 与二元函数 t=xy 3 的复合函数，由一阶全微分形式的不变性可得 先求偏导数 于是 14.设 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）解析： 解析 连续两次分别对 x 和 y 求积分，即可得到 f(
14、x，y)的表达式 由 有 进一步有 又 f(x，0)=C 1 (x)dx+C 2 (0)=x，两边对 x 求导得，C 1 (x)=1，于是 再由 f(0，y)=C 2 (y)=y 2 从而得 15.若方程组 （分数：2.00）解析： 解析 将两个方程分别对 x 求导数，得 将 x=1，y(1)=1，z(1)=0 代人即得 由此即可解出 故 16.设 f(x，y)=ln|x+y|-sin(xy)，则 （分数：2.00）解析： 解析 按一、二阶偏导数的定义直接计算可得 从而 17.设 f 和 g 为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，则 （分数：2.00）解析：(1+y)(f“
15、1 +yf“ 2 )g“ 解析 这是求带抽象函数记号的复合函数的一阶偏导数由复合函数求导法得 因此 18.已知函数 z=f(x，y)在点(1，2)处可微，且 f(1，2)=1，f“ x (1，2)=2，f“ y (1，2)=3，设函数 (x)=f(x，2f(x，2x)，则 “(1)= 1 （分数：2.00）解析：50 解析 引入函数 (x)=f(x，2x)，则 (x)=f(x，2(x)，从而 “(x)=f“ 1 (x，2(x)+2“(x)f“ 2 (x，2(x) 令 x=1 即得 “(1)=f“ 1 (1，2(1)+2“(1)f“ 2 (1，2(1) (*) 可见为了求得 “(1)只需算出 (
16、1)与 “(1)的值并代入上式由 (x)的定义可得 (1)=f(1，2)=1又因 “(x)=f“ 1 (x，2x)+2f“ 2 (x，2x)， 在上式中令 x=1 可得 “(1)=f“ 1 (1，2)+2f“ 2 (1，2)=f“x(1，2)+2f“ y (1，2)=2+23=8 把以上结果代入(*)式就有 “(1)=f“ 1 (1，2)+28f“ 2 (1，2) =f“ x (1，2)+16f“ y (1，2)=2+163=5019.设(ax 2 y 2 -2xy 2 )dx+(2x 3 y+bx 2 y+1)dy 是一个函数 f(x，y)的全微分，则 a= 1，b= 2 （分数：2.00）
17、解析：3；-2 解析 若 df(x，y)=(ax 2 y 2 -2xy 2 )dx+(2x 3 y+bx 2 y+1)dy，则 f“ x (x，y)=ax 2 y 2 -2xy 2 ，f“ y =(x，y)=2x 3 y+bx 2 y+1由于 f“ x 与 f“ y 仍然可微，从而 f“ xy (x，y)=2ax 2 y-4xy，f“ yx (x，y)=6x 2 y+2bxy由于对任何常数 a，b，f“ xy 与 f“ yx 都是连续的，所以两者相等，即 2ax 2 y-4xy=6x 2 y+2bxy， 比较同次幂系数，得 a=3，b=-220.设 ，则 （分数：2.00）解析： 解析 因 在
18、点(2，1，2)处附近具有连续偏导数，从而 f(x，y，z)在点(2，1，2)处可微，且 df| (2,1,2) =f“ x (2，1，2)dx+f“ y (2，1，2)dy+f“ z (2，1，2)dz，可见只需分别求出f(x，y，z)在点(2，1，2)处的三个偏导数后代入以上全微分公式即可 由于 ，于是 ，故 又因 ，于是 ，故 ，再因 ，于是 ，故 ，由此即得 也可利用一阶全微分形式不变性与对数微分法直接求全微分在点(2，1，2)附近 f(x，y，z)0，从而取对数可得 将上式两端求一阶全微分有 用 x=2，y=1，z=2 代入即得 21.由方程 （分数：2.00）解析： 解析 这是求隐
19、函数在某点的全微分，这里点(1，0，-1)的含意是 z=z(1，0)=-1将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得 再由全微分四则运算法则得 令 x=1，y=0，z=-1 得 ，解得 22.设 z=z(z，y)由方程y+z=xf(y 2 -z 2 )确定，且 f 可微，则 （分数：2.00）解析：y 解析 令 F(x，y，z)=y+z-xf(y 2 -z 2 )，于是 23.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)=f(x 2 +y 2 ，xy)，则 （分数：2.00）解析：x 2 -y 2 解析 利用一阶全微分形式不变性可得复合函数 g(x，y)的一阶全微分 d
20、g=f“ u d(x 2 +y 2 )+f“ v d(x，y) =2(xdx+ydy)f“ u +(ydx+xdy)f“ v =(2xf“ u +yf“ v )dx+(2yf“ u +xf“ u )dy 从而 g“ x =2xf“ u +yf“ v ，g“ y =2yf“ u +xf“ v 继续求 g(x，y)的二阶偏导数，又有 g“ xx =2f“ u +2x(f“ u )“ x +y(f“ v )“ x =2f“ u +2x(2xf“ uu +yf“ uv )+y(2xf“ vu +yf“ vv ) =2f“ u +4x 2 f“ uu +4xyf“ uv +y 2 f“ vv ， g“
21、yy =2f“ u +2y(f“ u )“ y +x(f“ v )“ y =2f“ u +2y(2yf“ uu +xf“ uv )+x(2yf“ vu +xf“ vv ) =2f“ u +4y 2 f“ uu +4xyf“ uv +x 2 f“ vu 故 g“ xx -g“ yy =4(x 2 -y 2 )f“ uu -(x 2 -y 2 )f“ vv =(x 2 -y 2 )(4f“ uu -f“ vv )=x 2 -y 2 24.设 t0 时，f(t)有二阶连续导数，z=f(xy)满足 （分数：2.00）解析： C 1 ，C 2 为 常数 解析 令 t=xy， z=f(xy)=f(t)，
22、原方程变成 tf“(t)+f“(t)=t 2 (t0) (tf“(t)“=t 2 积分得 再积分得 25.函数 f(x，y)=2x 2 -xy+2y 2 +x-y 在区域 D=(x，y)|x|1，|y|1上最小值点与最小值分别是 1与 2；最大值点与最大值分别是 3 与 4 （分数：2.00）解析： 解析 首先求函数 f(x，y)在 D 内的驻点与驻点处的函数值令 可解得唯一驻点 且 其次求 f(x，y)在 D 的边界上最大值与最小值， 在边界 1 =(x，y)|x=-1，-1y1上 f(x，y)=f(-1，y)=2y 2 +1，当-1y1 时 f(-1，y)从 f(-1，-1)=3 单调减少
23、到 f(-1，0)=1 再单调增加到 f(-1，1)=3；在边界 2 =(x，y)|-1x1，y=-1上f(x，y)=f(x，-1)=2x 2 +2x+3= ，当-1x1 时 f(x，-1)从 f(-1，1)=3 单调减少到 再单调增加到 f(1，-1)=7； 在边界 3 =(x，y)|x=1，-1y1上 当-1y1 时 f(1，y)从 f(1，-1)=7 单调减少到 再单调增加到 f(1，1)=3； 在边界 4 =(x，y)|-1x1，y=1上 f(x，y)=f(x，1)=2x 2 +1，当-1x1 时 f(x，1)从 f(-1，1)=3 单调减少到 f(0，1)=1 再单调增加到 f(1，
24、1)=3 综合可知 f(x，y)在 D 的边界上的最小值是 f(-1，0)=f(0，1)=1，最大值是 f(1，-1)=7 比较以上各函数值即知 f(x，y)在区域 D 上的最小值点与最小值分别为 与 26.累次积分 （分数：2.00）解析： 解析 直接计算可得 先表成 其中 如下图，然后改成先 x 后 y 的积分顺序，虽要分块积分，但每个积分易求 27.交换积分次序 （分数：2.00）解析： 解析 由题设知对应的二重积分 的积分区域 D=D 1 D 2 ，且 D 1 =(x，y)|0x1，0yx 2 ， ， 画出积分区域 D 如图由此可见在区域 D 中最高点的纵坐标为 1，最低点的纵坐标为
25、0，左边界的方程是 ，右边界的方程 x=3-2y，从而积分区域 D 又可表成 故交换积分次序得 28.将直角坐标中的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 （分数：2.00）解析： 解析 I 是二重积分 的累次积分，其中 ，D 如下图，应作极坐标变换x=rcos，y=rsin，可得 于是 29.设 f(x，y)为连续函数，且 （分数：2.00）解析： 解析 因 f(x，y)连续，从而 f(x，y)在区域 x 2 +y 2 1 上可积，设 则 ，两边在 D 上积分得 故 30.设积分区域 D 是由直线 y=0，y=x 与曲线 围成的平面图形，则 = 1 （分数：2.00）解析： 解析 令 x=
26、rcos，y=rsin 引入极坐标系，在极坐标系(r，)中积分区域 ，从而 31.设积分区域 D=(x，y)1x+y2，x0，y0则 （分数：2.00）解析： 解析 令 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中积分区域 ，从而 为计算所得的定积分，可作变换 ，于是 =2arctant，从而 ，代入即得 再令 1-t=u，即得 32.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 ，区域 D=(x，y)|0x1，xy1)，则二重积分 （分数：2.00）解析： 解析 区域 D 如下图 将 I 中的 x 与 y 对换即得 其中积分区域 D“=(x，y)|0y1，yx1不难发现积分区域 D 与 D“关
27、于直线 y=x 对称，如图 由于积分区域 D 与 D“关于直线 y=x 对称，被积函数 F(x，y)=f(x)f(y)关于自变量 x 与 y 对称，即 F(x，y)=F(y，x)，从而 33.设积分区域 D 由曲线 y=lnx 以及直线 x=2，y=0 围成，则二重积分 （分数：2.00）解析：ln2 解析 由题设知积分区域 D=(x，y)|1x2，0ylnx，从而 34.设 f(x，y)在单位圆 x 2 +y 2 1 上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0,0)=2016则 （分数：2.00）解析：-2016 解析 设 x=rcos，y=rsin，则 即 化题设二重积分为极坐标系下的二
28、重积分有： 35.已知 y=y(x)在任意点 x 处的增量 （分数：2.00）解析： 解析 因为 ，令 x0 有： ，所以 ，两边积分有 ln|y|=arctanx+C 1 ，故 y=Ce arctanx 因为 y(0)=，所以 C=，y=e arctanx ，故 36.微分方程(y+2x 2 e x )dx-xdy=0 满足条件 y(1)=2e 的特解是 y= 1 （分数：2.00）解析：2xe x 解析 原方程可改写成一阶线性微分方程 ，用积分因子 同乘方程两端可得 ，积分即年写 37.把 x 2 看成 y 的函数，求解微分方程(y 4 -3x 2 )dy+xydx=0，则该方程的通解是
29、1 （分数：2.00）解析：x 2 =Cy 6 +y 4 ，C 为 常数 解析 将方程改写为 2(y 4 -3x 2 )dy+ydx 2 =0， 把 x 2 看成 y 的函数，它是一阶线性微分方程两边乘 得 积分得 通解为 x 2 =Cy 6 +y 4 ，C 为 38.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：2.00）解析：2e 2x -(x+2)e x 解析 实质上 f(x)是可导的，将方程两端对 x 求导数得 f“(x)=2f(x)+(x+1)e x ， 在原方程中令 x=0 得 f(0)=0 由此可见 y=f(x)是一阶线性微分方程初值问题 39.微分方程 yy“+2(y“) 2 =0
30、满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=-1 的特解是 1 （分数：2.00）解析： 解析 这是可降阶的二阶的方程(方程不显含 x) 令 y“=p(y)，则 ，代入方程得 即 或 p=0由于 p=0 即 y“=0 不符合题目要求， 故只考虑方程 分离变量得 ，积分得 ln|p|+2ln|y|=ln|C 1 |即 由 x=0 时 y=1，p=y“=-1 可确定常数 C 1 =-1于是 ，即 y 2 dy+dx=0，积分得 y 3 +3x=C 2 ，又由y(0)=1 可确定 C 2 =1，故所求特解为 40.设 y=y(x)是微分方程(3x 2 +2)y“=6xy“的一个特解，且当 x0 时 y(
31、x)是与 e x -1 等价的无穷小量，则该特解是 1 （分数：2.00）解析： 解析 这是可降阶的二阶方程(方程不显含 y)，令 p=y“，方程可变形为 ，积分得ln|p|=ln(3x 2 +2)+C，于是 y“=p=C 1 (3x 2 +2)，进一步积分得 y=C 1 x 3 +2C 1 x+C 2 ， 又由 ，y“(0)=1 ，故特解为 41.当 y0 时，微分方程(x-2xy-y 2 )dy+y 2 dx=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析： ，C 为任意常数 解析 当 y0 时方程可改写为 ，这是以 y 为自变量，x 为未知函数一阶线性微分方程 两边乘 得 积分得 通解为 42
32、.若通过点(1，0)的曲线 y=y(x)上每一点(x，y)处切线的斜率等于 （分数：2.00）解析：y=xtan(lnx) 解析 由题设知曲线 y=y(x)中的函数 y(x)是如下微分方程初值问题的特解： 这是齐次方程，设 可将以上问题化为 u(x)满足的初值问题 求积分即得方程的通解 arctanu=lnx+C，由 u(1)=0 可确定常数 C=0，故上述初值问题的解是 43.方程 y“+y“-2y=(6x+2)e x 满足 y(0)=3，y“(0)=0 的特解 y*= 1 （分数：2.00）解析：(x 2 +6)e x -3e -2x 解析 题设二阶常系数线性微分方程的特征方程是 2 +-
33、2=0，特征根是 1 =1 与 2 =-2从而对应的齐次线性微分方程有线性无关的两个特解 e x 与 e -2x ，且对应于方程非齐次项 f(x)=(6x+2)e x ，可考虑非齐次微分方程具有形状为 y * =x(Ax+B)e x =(Ax 2 +Bx)e x 的特解 把 y * =(Ax 2 +Bx)e x ，(y * )“=(Ax 2 +Bx+2Ax+B)e x 与(y * )“=(Ax 2 +bx+4Ax+2B+2A)e x 代入方程可得 可确定常数 A=1，B=0，故非齐次方程具有特解 y * =x 2 e x 按通解结构定理，应设通解为 y=C 1 e x +C 2 e -2x +
34、x 2 e x ，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数利用初值 y(0)=3 和 y“(0)=0 可得 44.y“+4y=cos2x 的通解为 y= 1 （分数：2.00）解析： ，C 1 ，C 2 均为任意常数 解析 y“+4y=cos2x 对应的齐次方程的特征方程是 2 +4=0它的两个特征根为 1,2 =2i 因此对应的齐次方程的通解为 Y=C 1 cos2x+C 2 sin2x 令 cos2x=e x cosx 可得 =0，=2， 由于 i=2i 是特征方程的根，所以可设非齐次方程的特解为 y * =x(Acos2x+Bsin2x)， 因为(y * )“=x(-2Asin2x+2B
35、cos2x)+Acos2x+Bsin2x， (y * )“=-x(4Acos2x+4Bsin2x)-4Asin2x+4Bcos2x 将以上两式代入方程 y“+4y=cos2x 可得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x 比较上式系数得 A=0， 故原方程的通解为 45.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 1 （分数：2.00）解析：y“-y“-2y=(1-2x)e x 解析 y 1 =y 3 =e -x 与 y 1 -y 2 =e 2x -e -x 都是对应
36、齐次方程的解，(y 1 -y 3 )+(y 1 -y 2 )=e 2x 也是对应齐次方程的解，e -x 与 e 2x 是对应齐次方程两个线性无关的特解；而 y 2 -e -x =xe x 是非齐次方程的解 下面求该微分方程： 方法 1由 e -x ，e 2x 是对应齐次方程线性无关二解知 r 1 =-1，r 2 =2 是特征方程的两个根，从而特征方程为(r+1)(r-2)=0 即 r 2 -r-2=0，故对应齐次微分方程为 y“-y“-2y=0 设所求非齐次方程为 y“-y“-2y=f(x)， 把非齐次解 xe x 代入，便得 f(x)=(xe x )“-(xe x )“-2(xe x )=(
37、1-2x)e x 于是所求方程为 y“-y“-2y=(1-2x)e x 方法 2由于通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 2x +xe x ，求出 y“=-C 1 e -x +2C 2 e 2x +(x+1)e x ，y“=C 1 e -x +4C 2 e 2x +(x+2)e x ，并消去 C 1 ，C 2 便得微分方程 y“-y“-2y=(1-2x)e x 46.设 有二阶连续的偏导数，且满足 则 （分数：2.00）解析： ，C 1 ，C 2 均为任意常数 解析 ，则 u=u(r)， 于是原方程化为 即 通解为 u=C 1 cosr+C 2 sinr+r 2 -2 因此 47.已知连
38、续函数 f(x)满足 （分数：2.00）解析： 解析 可以转化为如下形式： 代入原方程得 由 f(x)连续可知上式中各变限积分均可导，将方程两端对 x 求导有 即 (在式中令 x=0 得 0=0，不必另加条件，与等价) 在式中令 x=0 可得 f(0)=2，由式还可见 f(x)可导于是将它的两端对 x 求导，又得 f“(x)=-sinx+f(x) 故 y=f(x)是一阶线性微分方程初值问题 的特解解之可得 48.三阶常系数齐次线性微分方程 （分数：2.00）解析：3e x +e -x +2xe -x 解析 题设方程对应的特征方程是 3 + 2 -1=0，由此可得特征根为 1 =1， 2 = 3
39、 =-1，故微分方程有三个线性无关的特解 e x ，e -x 与 xe -x ，从而其通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 xe -x ，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 是三个任意常数 由题设的初值可得 y(0)=C 1 +C 2 =4， y“(0)=C 1 e x -C 2 e -x +C 3 (1-x)e -x | x=0 =C 1 -C 2 +C 3 =4， y“(0)=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 (x-2)e -x | x=0 =C 1 +C 2 -2C 3 =0 于是 C 1 =3，C 2 =1，C 3 =2故所求特解是 y * (x)=3e
40、x +e -x +2xe -x 49.设 y=y(x)是二阶常系数线性微分方程 y“+2my“+n 2 y=0 满足 y(0)=a 与 y“(0)=b 的特解，其中mn0，则 （分数：2.00）解析： 解析 y“+2my“+n 2 y=0 的特征方程 2 +2m+n 2 =0 的特征根是 由此可见微分方程的任何一个解 y=C 1 e 1x +C 2 e 2x 都满足 又因 y“=C 1 1 e 1x +C 2 2 e 2x ，从而又有 故对于特解 y=y(x)满足 y(0)=a，y“(0)=b，有 即 50.设函数 f(x)满足 xf“(x)-3f(x)=-6x 2 ，且由曲线 y=f(x)与直线 x=1 及 x 轴所围成的平面图形 D 绕 x轴旋转一周得旋转体的体积最小，则 f(x) 1 （分数：2.00）解析：6x 2 -7x 3 解析 一阶线性方程 xy“-3y=-6x 2 可化为标准形式 ，其通解是 y=Cx 3 +6x 2 由于曲线 y=Cx 3 +6x 2 通过原点(0，0)，所以旋转体的体积为： ， 于是
