1、考研数学二-258 及答案解析(总分：97.50，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：40，分数：97.50)1. （分数：1.50）2. （分数：1.50）3.行列式 （分数：2.00）4.行列式 （分数：2.50）5.若 （分数：2.50）6.方程 （分数：2.50）7.设 （分数：2.50）8.在 xoy 平面上，平面曲线方程 （分数：2.50）9.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，且|A|=4，若 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 则，则|B|= 1 （分数：2.50）10.设四阶方阵 A=， 2 ， 4 ，B=， 2 ， 3 ， 4
2、，其中 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，且|A|=4，|B|=-1，则|A-3B|= 1 （分数：2.50）11.设四阶行列式 （分数：2.50）12.设 =(1，3，-2) T ，=(2，0，0) T ，A= T ，则 A 3 = 1 （分数：2.50）13.设 （分数：2.50）14.若 （分数：2.50）15.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，-1) T ， 3 =(-1，1，0) T ，A 1 =(2，1) T ，A 2 =(-1，1) T ，A 3 =(3，-4) T ，则 A= 1 （分数：2.50）16.设 A=E+ T ，其中 ， 是 n 维列向量，且
3、 T =3，则(A+2E) -1 = 1 （分数：2.50）17.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 5 =O，则 E-A 可逆，R(E-A) -1 = 1 （分数：2.50）18.设 （分数：2.50）19.四阶矩阵 A 和 B 满足 2ABA -1 =AB+6E，若 （分数：2.50）20.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.50）21.设 ，A ij 是|A|中元素 a ij 的代数余子式，则 （分数：2.50）22.已知三阶矩阵 A 的逆矩阵为 （分数：2.50）23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于 a，则 A -1 每一行元素之和为 1 （分数：2.50）24.已知
4、 （分数：2.50）25.设 （分数：2.50）26.若 （分数：2.50）27.已知 （分数：2.50）28.设 （分数：2.50）29.设 A 是五阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个分量不成比例的解，那么秩 r(A*)= 1 （分数：2.50）30.设 经初等行变换化成 3 阶梯形矩阵 初等变换过程如下 （分数：2.50）31.设 （分数：2.50）32.已知向量组 1 =(1，2，-1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，-4.5，t) T 线性无关，则t 的取值范围为 1 （分数：2.50）33.设 n 维向量 1
5、 ， 2 ， 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0， 是任意 n 维向量，若 + 1 ，+2，+ 3 线性相关，则 a= 1 （分数：2.50）34.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 +2 2 + 3 ， 1 +a 2 ，3 2 -a 3 线性相关，则 a= 1 （分数：2.50）35.向量组 1 =(1，-2，0，3) T ， 2 =(2，-5，-3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1 （分数：2.50）36.已知向量 =(1，a，-1) T 可以由 1 =(a+2，7，1) T ， 2 =(1，-1，2)
6、 T 线性表出，则 a= 1 （分数：2.50）37.已知 1 =(2，3，3) T ， 2 =(1，0，3) T ， 3 =(3，4，a+2) T 若 1=(4，-3，15) T 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出， 2 =(-2，-5，a) T 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 a= 1 （分数：2.50）38.已知 1 =(1，4，2) T ， 2 =(2，7，3) T ， 3 =(0，1，a) T 可以表示任意一个三维向量，则a 的取值为 1 （分数：2.50）39.与 1 =(1，2，3，-1) T ， 2 =(0，1，1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的
7、单位向量是 1 （分数：2.50）40.向量 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(-1，1，4，-1) T 的 Schmidt 正交规范化向量组是 1 （分数：2.50）考研数学二-258 答案解析(总分：97.50，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：40，分数：97.50)1. （分数：1.50）解析：24 解析 在用按行(列)展开公式计算行列式的值时，应先用行列式的性质作恒等变形以期减少计算量将 a 12 =-1，a 23 =-2，a 34 =-3 消为零，行列式变形成上三角行列式，计算得 2. （分数：1.50）解析：(a 1 c 2 -a 2 c 1 )(b 1 d 2
8、-b 2 d 1 ) 解析 本题有较多的 0，并有较好的规律性，应当有用拉普拉斯展开式的设想 3.行列式 （分数：2.00）解析：120 解析 化成范德蒙行列式计算：将行列式第四行逐行加到第一行上，可提出公因子 10 再将第四行逐行相换至第二行得： 4.行列式 （分数：2.50）解析：4!3!2!(或 288) 解析 第 2、3、4 行提出公因子 2、3、4，再转置，得范德蒙行列式，直接代入范德蒙行列式的结果得 5.若 （分数：2.50）解析：解析 6.方程 （分数：2.50）解析：a，b，-(a+b) 解析 行列式的展开后是一元三次方程，应有三个根，由观察，当 x=a 时，一、二行相等，行列
9、式为零，x=a 是方程的根同理 x=b 也是(理由?)又行列式每行元素和为相等，且等于x+a+b，将第二、三列加到第一列，并提公因子，得 7.设 （分数：2.50）解析：6x 2 解析 8.在 xoy 平面上，平面曲线方程 （分数：2.50）解析：(2，0)，(3，0) 解析 曲线 与 x 轴即 y=0 的交点为 方程右端为范德蒙行列式， 9.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，且|A|=4，若 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 则，则|B|= 1 （分数：2.50）解析：20 解析 由行列式性质，将|B|用已知行列式|A|表出 |B|=| 1 -3
10、2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 | =| 1 -2 2 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 | =| 1 -2 2 ， 2 -2 3 ，5 3 | =5|-2 2 ， 2 ， 3 | =5| 1 ， 2 ， 3 |=20 或者，利用分块矩阵乘法 有 10.设四阶方阵 A=， 2 ， 4 ，B=， 2 ， 3 ， 4 ，其中 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，且|A|=4，|B|=-1，则|A-3B|= 1 （分数：2.50）解析：-56 解析 因为 A-3B=， 2 ， 3 ， 4 -3，3 2 ，3 3 ，3 4 =-3，-2 2 ，-2 3 ，-2 4 故有 |A-
11、3B|=|-3，-2 2 ，-2 3 ，-2 4 | =-8|-3， 2 ， 3 ， 4 | =-8(|， 2 ， 3 ， 4 |-3|， 2 ， 3 ， 4 |) =-8(|A|-3|B|)=-5611.设四阶行列式 （分数：2.50）解析：-12 解析 因为代数余子式 A ij 的值与元素 a ij 的值无关本题求第一列元素的代数余子式，故可构造一个新的行列式把|A|中第 1 列换为所求和的代数余子式的系数，即 12.设 =(1，3，-2) T ，=(2，0，0) T ，A= T ，则 A 3 = 1 （分数：2.50）解析： 解析 因为 又因 所以 13.设 （分数：2.50）解析： 解
12、析 从而有 A 5 =A 3 A 2 =2AA 2 =2A 3 =2 2 A 14.若 （分数：2.50）解析： 解析 按定义，求出行列式|A|的代数余子式，有 所以 或者，由 A * =|A|A -1 ，现在|A|=-10， 而得 15.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，-1) T ， 3 =(-1，1，0) T ，A 1 =(2，1) T ，A 2 =(-1，1) T ，A 3 =(3，-4) T ，则 A= 1 （分数：2.50）解析： 解析 将 A 1 ，A 2 ，A 3 合并成矩阵，利用分块矩阵，有 其中 ， 1 ， 2 ， 3 可逆，上式两边右乘 A -1 那么
13、16.设 A=E+ T ，其中 ， 是 n 维列向量，且 T =3，则(A+2E) -1 = 1 （分数：2.50）解析： 解析 先求出 A 满足的关系式，再利用逆矩阵的定义求(A+2E) -1 因为 A 2 =(E+ T )(E+ T ) =E+2 T + T T =E+2 T +( T ) T =E+2 T +( T ) T =E+5 T =5(E+ T )-4E=5A-4E 即 A 2 -5A+4E=O 那么(A+2E)(A-7E)+18E=O 得 故 17.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 5 =O，则 E-A 可逆，R(E-A) -1 = 1 （分数：2.50）解析：E+A+A 2
14、+A 3 +A 4 解析 A 5 =O，故-A 5 =O，两边加 E，得 E-A 5 =E 左边分解因式，有(E-A)(E+A+A 2 +A 3 +A 4 )=E， 故(E-A) -1 可逆，且 (E-A) -1 =E+A+A 2 +A 3 +A 4 18.设 （分数：2.50）解析： 解析 (A+B) -1 没有运算法则应当恒等变形将其化为乘积形式，本题用单位矩阵恒等变形之技巧 因为 B-E=(E-A)(E+2A) -1 -(E+2A)(E+2A) -1 =(E-A)-(E+2A)(E+2A) -1 =-3A(E+2A) -1 故 因为 所以 19.四阶矩阵 A 和 B 满足 2ABA -1
15、 =AB+6E，若 （分数：2.50）解析： 解析 化简矩阵方程，左乘 A -1 、右乘 A 有 2B=BA+6E 于是 B(2E-A)=6E 所以 20.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.50）解析： 解析 因为 AA * =|A|E，故 A=|A|(A * ) -1 ，由已知得|A * |=-8，又|A * |=|A| 3 ，得|A|=-2 又 所以 21.设 ，A ij 是|A|中元素 a ij 的代数余子式，则 （分数：2.50）解析：4-3a 解析 若能求得 A * ，则 A * 的全体元素之和即是|A|的全部代数余子式之和，由公式 AA * =|A|E，故 A * =|A|A -
16、1 |A|=1 故 故 22.已知三阶矩阵 A 的逆矩阵为 （分数：2.50）解析： 解析 由 AA * =|A|E，有 因为(A -1 ) -1 =A，求出 A -1 的逆矩阵就是求出矩阵 A 又因|A -1 |=2故 23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于 a，则 A -1 每一行元素之和为 1 （分数：2.50）解析： 解析 由于 A 的每一行元素之和为 a，即 即 在等式两边左乘 A -1 得 由于 A 可逆，则 a0从而 故 A -1 的每行元素之和为 24.已知 （分数：2.50）解析： 解析 由已知 AX+2B=BA+2X，得 AX-2X=BA-2B，即(A-2
17、E)X=B(A-2E) 由于 可逆，故 X=(A-2E) -1 B(A-2E) 那么 25.设 （分数：2.50）解析： ，其中 k，l， 是任意常数 解析 将 B 按列分块，设 B= 1 ， 2 ， 3 则 ，A 2 =0，A 3 =0，故 1 ， 2 ， 3 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量 作齐次线性方程组 Ax=0，并求出通解 Ax=0 有通解 k-2，-1，1 T ，取 i ，i=1，2，3 为 Ax=0 的通解，再合并成 B，得 26.若 （分数：2.50）解析： ，t、u 为任意实数 解析 由于矩阵 不可逆，故可设 ，于是 得方程组 所以 27.已知 （分数：2.50）解析
18、：2 解析 由 AB+2A=A(B+2E)，而 是可逆矩阵，故 r(AB+2A)=r(A(B+2E)=r(A) 经初等变换矩阵的秩不变，易见 28.设 （分数：2.50）解析：0 解析 根据 现在 n=4，r(A)=3 29.设 A 是五阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个分量不成比例的解，那么秩 r(A*)= 1 （分数：2.50）解析：0 解析 因为 1 与 2 的分量不成比例，所以 1 ， 2 线性无关因而齐次方程组 Ax=0至少有两个线性无关的解，于是 n-r(A)2，即有 r(A)3 又因为 A 是五阶矩阵，而 r(A)3，故|A|中 4
19、 阶子式必全为 0，因此，代数余子式 A ij 恒为零，从而 A * =0，所以秩 r(A * )=030.设 经初等行变换化成 3 阶梯形矩阵 初等变换过程如下 （分数：2.50）解析： 解析 初等行变换相当于左乘初等阵，将题设初等行变换的过程用左乘初等阵表出即可 故 31.设 （分数：2.50）解析：-3 解析 其中 32.已知向量组 1 =(1，2，-1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，-4.5，t) T 线性无关，则t 的取值范围为 1 （分数：2.50）解析：(-，+) 解析 由于向量的个数与维数不一样，不能用行列式去分析，而要用齐次方程组只有零解，或矩阵
20、的秩等于 n 来进行分析 由于 33.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0， 是任意 n 维向量，若 + 1 ，+2，+ 3 线性相关，则 a= 1 （分数：2.50）解析： 解析 + 1 ，+ 2 ，+ 3 线性相关，存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 (+ 1 )+k 2 (+ )+k 3 (+ 3 )=0 整理得(k 1 +k 2 +k 3 a)+(k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 )=0 因已知 2 1 - 2 +3 3 =0，且 是任意向量，上式成立，只需取 k 1 =2，k 2 =-1，k 3 =3，则有2 1 -
21、 2 +3 3 =0，且令 的系数为 0，即 k 1 +k 2 +ak 3 -2-1+3a=0，即 34.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 +2 2 + 3 ， 1 +a 2 ，3 2 -a 3 线性相关，则 a= 1 （分数：2.50）解析：3 或-1 解析 因为 1 +2 2 + 3 ， 1 +a 2 ，3 2 -a 3 线性相关，故有不全为 0 的 x 1 ，x 2 ，x 3 使 x 1 ( 1 +2 2 + 3 )+x 2 ( 1 +a 2 )+x 3 (3 2 -a 3 )=0 即 (x 1 +x 2 ) +(2x 1 +ax 2 +3x ) 2 +(x 1 -x 3 )
22、3 =0 已知 1 ， 2 ， 3 线性无关，故必有 因为 x 1 ，x 2 ，x 3 不全为 0，所以上述齐次方程组有非零解系数行列式必为 0，于是 35.向量组 1 =(1，-2，0，3) T ， 2 =(2，-5，-3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1 （分数：2.50）解析： 1 ， 2 ， 4 (不唯一) 解析 列向量作行变换，有 36.已知向量 =(1，a，-1) T 可以由 1 =(a+2，7，1) T ， 2 =(1，-1，2) T 线性表出，则 a= 1 （分数：2.50）解析：3 或-4 解析 因为对
23、任何 a， 1 ， 2 分量不成比例，故线性无关，所以 可由 1 ， 2 线性表出的充分必要条件是 1 ， 2 ， 线性相关又因 1 ， 2 ， 是 3 个 3 维向量故 1 ， 2 ， 线性相关的充分必要条件是行列式| 1 ， 2 ，|=0 由于 37.已知 1 =(2，3，3) T ， 2 =(1，0，3) T ， 3 =(3，4，a+2) T 若 1=(4，-3，15) T 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出， 2 =(-2，-5，a) T 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 a= 1 （分数：2.50）解析：2 解析 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，即方程组 x 1 1
24、+x 2 2 +x 3 3 = 1 有解， 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，即方程组 y 1 1 +y 2 2 +y 3 3 = 2 无解由于这两个方程组的系数矩阵是一样的，因此可联合起来加减消元 a，方程组 总有解，即 1 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 而方程组 38.已知 1 =(1，4，2) T ， 2 =(2，7，3) T ， 3 =(0，1，a) T 可以表示任意一个三维向量，则a 的取值为 1 （分数：2.50）解析：a1 解析 三个 3 维向量 1 ， 2 ， 3 可表示任一个 3 维向量 由 39.与 1 =(1，2，3，-1) T ， 2 =(0，1，1，2
25、) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1 （分数：2.50）解析： 解析 向量 ， 正交 内积 T =0 设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是 =(-1，-1，1，0) T 将其单位化故即 40.向量 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(-1，1，4，-1) T 的 Schmidt 正交规范化向量组是 1 （分数：2.50）解析： 解析 先正交化 1 = 1 =(1，1，2，3) T ，取分量为整数得 2 =(-2，1，5，-3) T 再单位化，有
