1、考研数学二-273 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若函数 y=f(x)有 （分数：4.00）A.与 x 等价的无穷小B.与 x 同阶的无穷小C.比 x 低阶的无穷小D.比 x 高阶的无穷小2.设 （分数：4.00）A.I1=I2+xB.I1=I2-xC.I2=-I1D.I2=I13._ （分数：4.00）A.1B.0CaD.不存在4.设 ，其中 f为连续的奇函数，D 是由 y=-x 3 ，x=1，y=1 所围成的平面闭域，则 k等于_ A0 B C （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 ，设 ，则 F(x)为_ A B
2、 C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )当自变量 x在 x=-1处取得增量 x=-0.1 时，相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1，则 f“(1)=_（分数：4.00）A.-1B.0.1C.1D.0.57.A是 n阶矩阵，且 A 3 =0，则_ A.A不可逆，E-A 也不可逆 B.A可逆，E+A 也可逆 C.A2-A+E与 A2+A+E均可逆 D.A不可逆，且 A2必为 0（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 A=(a ij ) nn ，B=(b ij ) nn 且有关系 （分数：4.00）A.A(B+E)=BB.(B+E)A=BC.B
3、A-E)=AD.(E-A)B=A二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.曲线 上对应于 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.函数 （分数：4.00）13.微分方程 （分数：4.00）14.设 A=(a ij ) nn 是正交矩阵，将 A以行分块为 A=( 1 ， 2 ， n ) T ，则方程组 AX=b，b=(b 1 ，b n ) T 的通解为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_16.已知 （分数：10.00）
4、设 a，b 为正常系数， 为非负常数，微分方程 （分数：11.00）(1).求该方程的通解；（分数：5.50）_(2).证明：当 =0 时， ；当 0 时， （分数：5.50）_17.设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知其在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x) （分数：10.00）_18.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解 （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， （分数：10.00）_已知曲线 L的方程为 （分数：11.01）(1).讨论 L的凹凸性（分数：3.67）_(2).过点(-
5、1，0)引 L的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程（分数：3.67）_(3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x轴所围成的平面图形的面积（分数：3.67）_20.已知 4阶方阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 - 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组Ax= 的通解 （分数：11.00）_21.设 A是 n阶正定矩阵，E 是 n阶单位阵，证明 A+E的行列式大于 1 （分数：11.00）_考研数学二-273 答案解析(总分：150.01，
6、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若函数 y=f(x)有 （分数：4.00）A.与 x 等价的无穷小B.与 x 同阶的无穷小 C.比 x 低阶的无穷小D.比 x 高阶的无穷小解析：考点 等价无穷小 解析 由导数与微分的关系 2.设 （分数：4.00）A.I1=I2+xB.I1=I2-xC.I2=-I1D.I2=I1 解析：考点 不定积分的计算 解析 ，设 u=xe x ，则 3._ （分数：4.00）A.1B.0 CaD.不存在解析：考点 极限、夹逼定理 解析 由函数性质， ，使当 xX0 时， 有 ， 应用夹逼定理得 4.设 ，其中 f为连续的奇函数，D 是
7、由 y=-x 3 ，x=1，y=1 所围成的平面闭域，则 k等于_ A0 B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二重积分 解析 如图：加一条曲线 y=x 3 ，将 D分为 D 1 和 D 2 ， 则 而 因为 f为奇函数，所以 f(-xy)=-f(xy)， 而 D 1 ，D 2 分别对称 y轴和 x轴，故有 ， ， 从而原积分 5.已知 ，设 ，则 F(x)为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 根据 x的取值范围和积分的可加性，分段讨论积分即可 解析 当 Dx1 时， ；当 1x2 时， ，故综上有 6.设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )
8、当自变量 x在 x=-1处取得增量 x=-0.1 时，相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1，则 f“(1)=_（分数：4.00）A.-1B.0.1C.1D.0.5 解析：考点 增量与微分 解析 由于增量的线性主部等于函数的微分，因此由题设 y=f(x 2 )=2xf(x 2 )x+o(x)， 将 x=-1，x=-01 代入得 y| x=-1 =-2f“(1)x+o(x)=0.2f“(1)+o(x)=0.1+o(x)， 所以 0.2f“(1)=0.1， 7.A是 n阶矩阵，且 A 3 =0，则_ A.A不可逆，E-A 也不可逆 B.A可逆，E+A 也可逆 C.A2-A+E与 A2+A+E均可
9、逆 D.A不可逆，且 A2必为 0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的可逆性 解析 由行列式性质|A| 3 =|A 3 |=0，可知 A必不可逆，但从(E-A)(E+A+A 2 )=E-A 2 =E，(E+A)(E-A+A 2 )=E+A 3 =E，知 E-A，E+A，E+A+A 2 ，E-A+A 2 均可逆 当 A 3 =0时，A 2 是否为 0是不能确定的， 例如： 有 但 且 8.已知 A=(a ij ) nn ，B=(b ij ) nn 且有关系 （分数：4.00）A.A(B+E)=BB.(B+E)A=B C.B(A-E)=AD.(E-A)B=A解析：考点 矩阵的乘法
10、 解析 由关系 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：e 考点 数列的极限 解析 因为 ，所以 10.曲线 上对应于 （分数：4.00）解析： 考点 参数方程所确定的函数的导数 解析 因 ，故其切线的斜率为 法线斜率为 11. （分数：4.00）解析：-cotxln(sinx)-cotx-x+C 考点 不定积分 解析 原式=-ln(sinx)d(cotx)=-cotxln(sinx)+cotxdln(sinx) 12.函数 （分数：4.00）解析： 考点 导数的应用 解析 ，所以 13.微分方程 （分数：4.00）解析：y=Cxe x ，C 为任意常数 考点
11、一阶微分方程的通解 解析 微分方程 是可变量分离的一阶方程，分离变量得 14.设 A=(a ij ) nn 是正交矩阵，将 A以行分块为 A=( 1 ， 2 ， n ) T ，则方程组 AX=b，b=(b 1 ，b n ) T 的通解为 1 （分数：4.00）解析： 考点 方程组的通解 解析 因 A为正交矩阵，故 A -1 =A T ，而方程组 AX=b的解为： 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数先求 由复合函数求
12、导法得 则 16.已知 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由设 a，b 为正常系数， 为非负常数，微分方程 （分数：11.00）(1).求该方程的通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：通解为(2).证明：当 =0 时， ；当 0 时， （分数：5.50）_正确答案：()解析：当 =0 时， ， 所以， 当 x0 且 a 时， ， 当 x0 且 =a 时，y(x)=(bx+c)e -ax ， 17.设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知其在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x) （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题意得 ，令
13、 有 ，两边求导，得 ， 即 令 ，得 ， 可求得 ，即 18.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：所给微分方程的特征方程为 2 +5+6=(+2)(+3)=0，故特征根为-2 和-3，于是，对应齐次微分方程的通解为 19.设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， （分数：10.00）_正确答案：()解析：因 f(x)在0，1上连续，由定积分的可加性和积分中值定理知 =(1-)f()-f()，其中 01 又 01，f(x)在0，1上递减，则 01-1，f()f()， 因此 (1-)f()-f()0，故 已知曲线 L的方程
14、为 （分数：11.01）(1).讨论 L的凹凸性（分数：3.67）_正确答案：()解析：先求 由已知 ， 代入 y得 ，于是 (2).过点(-1，0)引 L的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程（分数：3.67）_正确答案：()解析：设 L上切点(x 0 ，y 0 )处的切线方程是 令 x=-1，y=0，则有 再令 ，得 ，即 (3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x轴所围成的平面图形的面积（分数：3.67）_正确答案：()解析：切点为(x 0 ，y 0 )的切线与 L及 x轴所围成的平面图形如下图所示，则所求平面图形的面积为 20.已知 4阶方阵 A=( 1
15、 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 - 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组Ax= 的通解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由 2 ， 3 ， 4 线性无关及 1 =2 2 - 3 ，知，向量组的秩 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3，即矩阵 A的秩为 3，因此 Ax=0的基础解系中只包含一个向量， 那么由 知，Ax=0 的基础解系是(1，-2，1，0) T 再由 知，(1，1，1，1) T 是 Ax= 的一个特解 故 Ax= 的通解是 21.设 A是 n阶正定矩阵，E 是 n阶单位阵，证明 A+E的行列式大于 1 （分数：11.00）_正确答案：()解析：因为 A是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使 Q T Q=Q -1 AQ= = ， 其中 i 0(i=1，2，n)， i 是 A的特征值 因此 Q T (A+E)Q=Q T Q+Q T Q= +E两端取行列式得|A+E|=|Q T |A+E|Q|=|Q T (A+E)Q|=|
