1、考研数学二-284 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：100.00)1.设 f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+100)，求 f“(0) （分数：4.00）_2.设 y=ln(2+3 -x )，求 dy| x=0 （分数：4.00）_3.可导且 f“(0)0，且 ，求 （分数：4.00）_4.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定，求 y“(0) （分数：4.00）_5.由方程 sinxy+ln(y-x)=x，确定函数 y=y(x)，求 （分数：4.00）_6.求 （分数：4.00）_7.设 y=x 2
2、lnx，求 y (n) (x) （分数：4.00）_8.设 （分数：4.00）_9.设 （分数：4.00）_10.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(-，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=1，求 f(x) （分数：4.00）_11.设 （分数：4.00）_12.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在x 轴上的截距，求 （分数：4.00）_13.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明： （分数：4.00）_14.设 f(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，求 （分数：4
3、.00）_15.设 ，求 （分数：4.00）_16.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）_17.证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性 （分数：4.00）_18.举例说明函数可导不一定连续可导 （分数：4.00）_设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 |f(x)-f(y)|M|x-y| k （分数：8.00）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：4.00）_(2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：4.00）_19.设 （分数：4.00）_20.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，
4、且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 -1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性 （分数：4.00）_21.设 （分数：4.00）_22.设 确定 y 为 x 的函数，求 （分数：4.00）_23.设 （分数：4.00）_考研数学二-284 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：100.00)1.设 f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+100)，求 f“(0) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 f“(x)=(x-1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x-1)(x-99)， 得 f“(
5、0)=(-1)2(-3)100=100! 方法二 2.设 y=ln(2+3 -x )，求 dy| x=0 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ，故3.可导且 f“(0)0，且 ，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：71解 由 得4.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定，求 y“(0) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 x=0 代入得 y=0，e y +6xy+x 2 -1=0 两边对 x 求导得 将 x=0，y=0 代入得 y“(0)=0 两边再对 x 求导得 5.由方程 sinxy+ln(y-x)=x，确定函数 y=y(x)，
6、求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 x=0 代入 sinxy+ln(y-z)=x 得 y=1，sinxy+ln(y-x)=x 两边对 x 求导得 ， 将 x=0，y=1 代入得 6.求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 7.设 y=x 2 lnx，求 y (n) (x) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 8.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 由 A(2x+1)+B(x-2)=4x-3 得 解得 A=1，B=2， 即 9.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 则 10.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(-，+)有
7、 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=1，求 f(x) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0 对任意的 x(-，+)， 11.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 得 ，故 f(x)在 x=0 处连续 由 得 f“ - (0)=1， 再由 12.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在x 轴上的截距，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y-f(x
8、)=f“(x)(X-x)，令 Y=0，则 ， 则 13.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 14.设 f(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 又由 得 a0 时 ，于是 15.设 ，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方程 两边对 x 求导数得 ，则16.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 17.证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 设 f(x)在a，b上连
9、续，令 g(x)=|f(x)|，对任意的 x 0 a，b，有 0|g(x)-g(x 0 )|=|f(x)|-|f(x 0 )|f(x)-f(x 0 )|， 因为 f(x)在a，b上连续，所以 由夹逼定理得 18.举例说明函数可导不一定连续可导 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 当 x0 时， ，当 x=0 时， ，即 因 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 |f(x)-f(y)|M|x-y| k （分数：8.00）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x 0 a，b，由已知条件得
10、(2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x 0 a，b，因为 k1 所以 19.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 f(x)在 x=0 处连续，得 b=0 由 f(x)在 x=0 处可导，得 a=2，所以 则 20.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 -1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x-1，0时， 21.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， ，当 x0 时，f“(x)=cosx 由 ，得 f“(0)=1，则 容易验证 22.设 确定 y 为 x 的函数，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 等式 两边对 x 求导，得 ，于是 23.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当|x|1 时， 当 x-1 时，f“(x)=-1；当 x1 时，f“(x)=1； 又 ， ，则 f(x)在 x=-1 处不连续，故也不可导 由 f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0 得 f(x)在 x=1 处连续 因为 所以 f(x)在 x=1 处也不可导， 故
