1、考研数学二-286 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设三元方程：x 2y-2zlny+exz=e2，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，2)的一个邻域，在此邻域内，该方程 ( )（分数：4.00）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，Y)B.可以确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)C.可以确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)D.可以确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z)2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设向量
2、组()： 1=(1，0，1，0) T， 2=(0，2，0，0) T， 3=(0，0，3，0) T，而向量组()： 1=(0，0，0，3) T， 2=(0，0，2，0) T， 3=(0，1，0，1) T，记矩阵 A=( 1， 2， 3)，矩阵B=( 1， 2， 3)，则 ( )（分数：4.00）A.A与 B等价，但()与()不等价B.()与()等价，但 A与 B不等价C.A与 B不等价，但()与()等价D.A与 B不等价，且()与()也不等价4.设 f(x)是连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设曲线 y=x2+x+ 和曲线 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中 、 是
3、常数，则 ( )（分数：4.00）A.=-3，=1B.=-1，=-1C.=0，=2D.=1，=-36.如右图 y=f(x)是以 T(0)为周期的连续函数，其在0，T上的图形是图示折线，y=(x)是图中所示线性函数，则 = ( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 (x)=x-sinxcosxcos2x， （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A是 2阶矩阵，AX=(3，2) T有通解：X=k(-2，1) T+(3，-4) T(k为任意常数)，又知 =(5，-10) T，则A= ( )（分数：4.00）A.(8，5) TB.(7，3) TC.(9，6) TD.(10，4) T二、填空题
4、(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.过点(2，0)引两条直线与 y=x3相切，则此二切线与 y=x3(x0)围成的图形面积为_（分数：4.00）填空项 1:_11.不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 z=ln(1+x2+y)，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.计算二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B 是 3阶矩阵且 A与 B相似， （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.从半径为 R的圆中割出一个半径为 r的小同心圆及与小同心圆相切的一个弓形，问 r为何值可使剩余部
5、分的面积最大（分数：9.00）_16.设 f(x)连续，且 （分数：11.00）_17.设 f(u)有连续的二阶导数，且 z=f(exsiny)，满足方程 （分数：10.00）_18.设 f(x)在0，1上可导，证明对于 x0，1有 （分数：10.00）_19.设 D=(x，y)|-x+，-y+|，求 （分数：10.00）_20.设上半平面上一条凹曲线(如下图所示)，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ长度的倒数(Q 是法线与 x轴的交点)，而且曲线在点(1，1)处的切线与 x轴平行，求此曲线方程（分数：11.00）_21.设 f(x)在(a，+)内有二阶导数，且 f(
6、a+1)=0, （分数：11.00）_22.已知 n维列向量 1， 2， n-1线性无关，且与非零向量 1， 2都正交试证：(1) 1， 2线性相关(2) 1， 2， n-1， 1线性无关（分数：11.00）_23.设 A=(aij)nn是秩为 n的 n阶实对称矩阵，A ij是|A|中元素 aij的代数余子式(i，j=1，2，n)二次型（分数：11.00）_考研数学二-286 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设三元方程：x 2y-2zlny+exz=e2，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，2)的一个邻域，在此邻域内，该方程 (
7、 )（分数：4.00）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，Y)B.可以确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)C.可以确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)D.可以确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z) 解析：考点 隐函数存在定理答案解析 令 F(x，y，z)=x 2y-2zlny+exz-e2，则 F(0，1，2)=0 且*，在点(0，1，2)的邻域内，方程可以确定一个有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)*，在点(0，1，2)的邻域内，方程可以确定一个有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z
8、)*，在点(0，1，2)的邻域内，方程不能确定隐函数 z=z(x，y)，应选(D)2.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 原函数概念答案解析 由于*右端第二项不存在，因为 x0 时其为无界函数(但非无穷大量)，因此 x=0是 f(x)第二类间断点，(C)(D)不正确F(x)当 x0 时可导，且*当 x=0时，*(有界量与无穷小量的乘积)这表明对任意 x(-，+)有 F(x)=f(x)，即 F(x)是 f(x)的一个原函数(B)不正确，应选(A)3.设向量组()： 1=(1，0，1，0) T， 2=(0，2，0，0) T， 3=(0，0，3，0) T，而向量组()： 1=(0，0
9、，0，3) T， 2=(0，0，2，0) T， 3=(0，1，0，1) T，记矩阵 A=( 1， 2， 3)，矩阵B=( 1， 2， 3)，则 ( )（分数：4.00）A.A与 B等价，但()与()不等价 B.()与()等价，但 A与 B不等价C.A与 B不等价，但()与()等价D.A与 B不等价，且()与()也不等价解析：考点 矩阵等价与向量组等价答案解析 因为 r(A)=r(B)=3，则 A，B 都等价于标准形，从而 A与 B等价，但是 r( 1， 2， 3)=34=r( 1， 2， 3， 1)，即 1不能由 1， 2， 3线性表示，故()与()不等价，应选(A)4.设 f(x)是连续函数
10、，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 变上限积分确定的函数求导答案解析 *从而*5.设曲线 y=x2+x+ 和曲线 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中 、 是常数，则 ( )（分数：4.00）A.=-3，=1B.=-1，=-1 C.=0，=2D.=1，=-3解析：考点 导数的几何意义答案解析 曲线 y=x2+x+ 在点(1，-1)处斜率为：y=(x 2+x+)| x=1=2+又将曲线 2y=-1+xy3方程两边对 x求导得 2y=y3+3xy2y，它在点(1，-1)处切线斜率为*二曲线在点(1，-1)相切表明二曲线都过(1，-1)点，于是-1=1+，即 +=-2，且
11、二曲线在点(1，-1)处切线斜率相等，即 2+=1，从而有 =-1，=-1，选(B)6.如右图 y=f(x)是以 T(0)为周期的连续函数，其在0，T上的图形是图示折线，y=(x)是图中所示线性函数，则 = ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 用连续周期函数性质计算定积分答案解析 (x)过点*，斜率 k=*，即*，则由连续周期函数积分性质，及定积分几何意义，令*，有*7.设 (x)=x-sinxcosxcos2x， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 无穷小阶的比较答案解析 由于*于是*即 (x)是 (x)的同阶但不等价的无穷小，应该选(C)8.设 A是 2阶矩阵
12、，AX=(3，2) T有通解：X=k(-2，1) T+(3，-4) T(k为任意常数)，又知 =(5，-10) T，则A= ( )（分数：4.00）A.(8，5) TB.(7，3) TC.(9，6) T D.(10，4) T解析：考点 用方程组线性无关的解线性表示已知向量答案解析 由通解结构知，AX=0 的基础解系为 =(-2，1) T，而 AX=(3，2) T的一个特解是 =(3，-4)T，从而 ， 线性无关，设 可由 ， 线性表示为：=x 1+x 2，则*即 =2+3于是 A=A(2+3)=2A+3A=2(0，0) T+3(3，2) T=(9，6) T，应选(C)二、填空题(总题数：6，分
13、数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 含参数 x的数列极限答案解析 (i)当 x0 时，03 x1，故*(ii)当 x=0时，3 (n+1)x=1，*(iii)当 x0 时，在0，x上对 f(x)=3x用拉格朗日中值定理3x-30=(3 ln3)xx(0x)，从而 1x+13 x，故*依夹逼定理 l=0，总之*10.过点(2，0)引两条直线与 y=x3相切，则此二切线与 y=x3(x0)围成的图形面积为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 平而图形的面积答案解析 设切点为*，则*，切线方程为*(x-x 0)，由于切线过
14、点(2，0)，有*即*，从而 x0=0或 x0=3，即切点为(0，0)与(3，27)，于是所围图形面积为*11.不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*(c 为任意常数)）解析：考点 计算有理函数的不定积分答案解析 *而*故*12.设 z=ln(1+x2+y)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 计算函数在一点混合二阶偏导数的值答案解析 *，则*于是*13.计算二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 利用对称性计算二重积分答案解析 引入辅助线 y=-x3，将区域 D分解为 D=D1D 2，其中 D1关于 y=0(x
15、轴)对称，xyf(x 2+y2)在 D1上是 y的连续奇函数，D 2关于 x=0(y轴)对称，x1+yf(x 2+y2)在 D2上是 x的连续奇函数，从而*14.设 A，B 是 3阶矩阵且 A与 B相似， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：考点 求相似矩阵的秩答案解析 A 与 B相似，即存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，于是 P-1(A-2E)P=B-2E，P -1(A-E)P=B-E，从而r(A-2E)=r(B-2E)，r(A-E)=r(B-E)*即 r(B-2E)=3*故 r(A-2E)+r(A-E)=3+1=4三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.从半
16、径为 R的圆中割出一个半径为 r的小同心圆及与小同心圆相切的一个弓形，问 r为何值可使剩余部分的面积最大（分数：9.00）_正确答案：(等价地只需求出割出部分面积 A的最小值点*则*为唯一驻点又*即*是唯一极小点，故为最小点即*时，A 最小，从而剩余部分面积最大)解析：考点 定积分用于求最值点问题16.设 f(x)连续，且 （分数：11.00）_正确答案：(g(x)定义式中，当 x0，令 u=xt，则 du=xdt，则 g(x)表达式为：*而 x=0时，*因此*当 x0 时，*是 x的连续函数*亦即*又*，即g(x)在 x=0也连续，因此 g(x)处处连续)解析：考点 积分换元得到变上限积分定
17、义的函数，讨论可导性及导函数连续性17.设 f(u)有连续的二阶导数，且 z=f(exsiny)，满足方程 （分数：10.00）_正确答案：(令 u=exsiny，则*于是*故*，由已知条件得 f“(u)e2x=f(u)e2x，即 f“(u)-f(u)=0，齐次方程的特征方程为 2-1=0， 1=1， 2=-1因此 f(u)=c1eu+c2e-u(其中 c1，c 2是两个任意常数)解析：考点 复合函数求导、微分方程综合题18.设 f(x)在0，1上可导，证明对于 x0，1有 （分数：10.00）_正确答案：(由积分中值定理，存在 =0，1，使*|f()|，对任意的 x0，1，有*，即 f(x)
18、=*从而*亦即*)解析：考点 涉及积分的不等式证明19.设 D=(x，y)|-x+，-y+|，求 （分数：10.00）_正确答案：(用极坐标系，有*因为*而*故*注：这里用了 函数定义：*，及性质：(i)0 时 (+1)=()；*，这样可以减少计算量)解析：考点 无穷区域上的二重积分计算20.设上半平面上一条凹曲线(如下图所示)，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ长度的倒数(Q 是法线与 x轴的交点)，而且曲线在点(1，1)处的切线与 x轴平行，求此曲线方程（分数：11.00）_正确答案：(记曲线为 y=f(x)，由于曲线为凹弧，即 y“0，故曲率*又因为曲线过点(x
19、,f(x)的法线方程为X-x+f(x)(Y-f(x)=0它与 x轴交点 Q的横坐标为 X0=x+f(x)f(x)，所以线段 PQ长度为*于是该曲线满足的微分方程为*即 *方程不显含 x，令 p=y，则*，方程化为*，则*，其解为 1+p2=cy2，代入初始条件，y(1)=1，p| x=1=0得 c=1即 p2=y2=y2-1，从而*，分离变量后，代入初始条件无论右端取正号，负号，其解均为*)解析：考点 利用曲率列方程，求曲线21.设 f(x)在(a，+)内有二阶导数，且 f(a+1)=0, （分数：11.00）_正确答案：(1)已知 f(a+1)=0，若在(a+1，+)*(a，+)内 f(x)
20、=0，则 f(x)=0(x(a+1，+)，则对任意 (a+1，+)*(a，+)，都有 f“()=0，结论成立(2)若在(a+1，+)*(a，+)内 f(x)0，则至少存在 x0(a+1，+)，使 f(x0)0，无妨设此时 f(x0)0由于 f(x)在a+1，+)连续，且 f(a+1)=0，*0，而 f(x0)0，根据连续函数介值定理，必有 x1，x 2，使 a+1x 1x 0，x 0x 2+，使 f(x1)f(x 0)，f(x 2)f(x 0)分别在x 1，x 0，x 0，x 2上用拉格朗日中值定理，存在 1(x 1，x 0)， 2(x 0，x 2)使*因为 f(x)二阶可导，故 f(x)在
21、1， 2上连续，依连续函数零值定理，存在 ( 1， 2)*(a+1，+)，使 f()=0再补充定义 f(a)=*f(x)=0，且 f(a+1)=0，则 f(x)在a，a+1连续，依罗尔定理存在 (a，a+1)使f()=0而可导函数 f(x)在，*(a，+)上连续，且 f()=f()=0，再用罗尔定理，存在(，)*(a，+)，使 f“()=0)解析：考点 利用微分中值定理做证明22.已知 n维列向量 1， 2， n-1线性无关，且与非零向量 1， 2都正交试证：(1) 1， 2线性相关(2) 1， 2， n-1， 1线性无关（分数：11.00）_正确答案：(1)用 1， 2， n-1构造(n-1
22、)n 矩阵：A=*因为 1与 i(i=1，2，n-1)都正交，即*，i=1，2，(n-1)，即 1是齐次线性方程组 AX=0的非零解同理 2也是 AX=0的非零解由于 r(A)=r( 1， 2， n-1)=n-1，齐次方程组 AX=0的基础解系仅由 n-r(A)=1个解向量组成，从而 1 2线性相关(2)设 k1，k 2，k n-1，l 是一组数，使k1 1+k2 2+kn-1 n-1+l 1=0 (*)用 1作内积有k1( 1， 1)+k2( 1， 2)+kn-1( 1， n-1)+l( 1， 1)=0因为( 1， i)=0(i=1，2，n-1)，而| 1|2=( 1， 1)0，得 l=0，
23、将 l=0代入(*)式，有k1 1+k2 2+kn-1=0由 1， 2， n-1线性无关，知 k1=k2=-=kn-1=0，所以(*)式中组合系数全为 0，即 1， 2， n-1， 1线性无关)解析：考点 与正交相关联，讨论向量组的线性相关性23.设 A=(aij)nn是秩为 n的 n阶实对称矩阵，A ij是|A|中元素 aij的代数余子式(i，j=1，2，n)二次型（分数：11.00）_正确答案：(1)r(A)=n，故 A是可逆的实对称矩阵，于是(A -1)T=(AT)-1=A-1，即 A-1是实对称矩阵，亦即*是实对称的，从而 A*是实对称矩阵，由此即知 Aij=Aji(i，j=1，2，n)于是有*因此，二次型 f的矩阵表示为 XTA-1X，其二次型矩阵为 A-1(2)因为 A，A -1都是可逆的实对称矩阵，且(A -1)TAA-1=(A-1)TE=(AT)-1=A-1，所以 A与 A-1合同，于是 g(X)与f(X)有相同的规范形)解析：考点 二次型的矩阵表示及规范形
