1、考研数学二-297 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)1.讨论 （分数：4.00）_2.讨论 （分数：4.00）_3.设 z=f(e t sint，tant)，求 （分数：4.00）_4.设 z=e x2+y2 sinxy，求 （分数：4.00）_5.设 ，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：4.00）_6.设 u=x yz ，求 du （分数：4.00）_7.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )所确定，其中 f 是可微函数，计算 （分数：4.00）_8.设 f(t)二阶可导，g(u，
2、v)二阶连续可偏导，且 z=f(2x-y)+g(x，xy)，求 （分数：4.00）_9.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_10.设 z=f(x 3 +y 2 ，xy，x)，其中 f(u，v，)二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_11.设 z=z(x，y)由 x-yz+ye z-x-y =0 确定，求 （分数：4.00）_12.设 z=f(x-y+g(x-y-z)，其中 f，g 可微，求 （分数：4.00）_13.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函
3、数证明： （分数：4.00）_14.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：4.00）_15.设 z=f(x，y)由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 确定，求 dz （分数：4.00）_16.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 与 e z -xz=0 确定，求 （分数：4.00）_17.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求
4、分数：4.00）_18.设 y=f(x，t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_19.设 且 F 可微，证明： （分数：4.00）_20.设变换 可把方程 简化为 （分数：4.00）_21.设 z=fx+(x-y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：4.00）_22.设 ，求 f(u，v)，并求 （分数：4.00）_23.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值 （分数：4.00）_24.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：4.00
5、25.平面曲线 （分数：4.00）_考研数学二-297 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)1.讨论 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，且 ，所以 ，即函数 f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 ，所以 f“ x (0，0)=0，根据对称性得 f“ y (0，0)=0，即函数 f(x，y)在(0，0)处可偏导 因为 2.讨论 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续因为 ，所以 f“ x (0，0)=0，由对称性得 f“ y (0，0)=0，即函数 f(x，y
6、)在点(0，0)处可偏导 因为 ，且 3.设 z=f(e t sint，tant)，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 4.设 z=e x2+y2 sinxy，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 5.设 ，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 6.设 u=x yz ，求 du （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 u=x yz =e yzlnx ， 7.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )所确定，其中 f 是可微函数，计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 x2 2 +y2 +
7、z 2 =xyf(x 2 )两边对 x 求偏导得 ，解得 ； x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )两边对y 求偏导得 ，解得 ，故 8.设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 z=f(2x-y)+g(x，xy)，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 9.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 10.设 z=f(x 3 +y 2 ，xy，x)，其中 f(u，v，)二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 11.设 z=z(x，y)由 x-yz+ye
8、 z-x-y =0 确定，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方程 x-yz+ye z-x-y =0 两边对 x 求偏导得 解得 方程 x-yz+ye z-x-y =0 两边对 y 求偏导得 解得 12.设 z=f(x-y+g(x-y-z)，其中 f，g 可微，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对 x 求偏导得 ，解得 等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对 y 求偏导得 ，解 13.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明： （分数：4.00）_正
9、确答案：()解析：证明 ，z=y+x(z)两边对 x 求偏导得 ， 解得 则 z=y+x(z)两边对 y 求偏导得 ，解得 ，则 ，所以 14.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得 及 解得 于是 15.设 z=f(x，y)由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 确定，求 dz （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 对 z-y-x+xe z-y-x =0 两边求微分，得 dz-dy-dx+e z-y-x
10、 dx+xe z-y-x (dz-dy-dx)=0， 解得 16.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 与 e z -xz=0 确定，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ，方程 e xy -y=0 两边对 x 求导得 ，解得 方程 e z -xz=0 两边对 x 求导得 ，解得 则 17.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 z=xf(x+y)及 F(x，y，z
11、)=0 两边对 x 求导数，得 解得 18.设 y=f(x，t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x 求导得 解得 19.设 且 F 可微，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 两边对 x 求偏导得 解得 两边对 y 求偏导得 ，解得 ，于是20.设变换 可把方程 简化为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 则有 将上述式子代入方程 得 ， 根据题意得
12、 21.设 z=fx+(x-y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：z=fx+(x-y)，y两边关于 y 求偏导得 22.设 ，求 f(u，v)，并求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 ，从而 ， 于是 23.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)|y0， 由 得 ， 则 因为 AC-B 2 0 且 A0，所以 为 f(x，y)的极小点，极小值为 24.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 由 得 ，代入 得 从而 u=x 2 +y 2 +z 2 在 上的最小值为 25.平面曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 曲线 绕 x 轴旋转一周所得的曲面为 根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为 M(x，y，z)，则体积为 V=8xyz 令 ，由 得 由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为
