1、考研数学二-388 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.连续B.有可去间断点C.有跳跃间断点D.有无穷间断点2.设函数 f(x)=arctanx，若函数 f(x)=xf“()，则 = A1. B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知函数 （分数：4.00）A.f“x-f“y=0.B.f“x+f“y=0.C.f“x-f“y=fD.f“x+f“y=f4.设函数 （分数：4.00）A.x= 是函数 F(x)的跳跃间断点B.x= 是函数 F(x)的可去间断点C.F(x)在 x= 处连续但不可导D.
2、F(x)在 x= 处可导5.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f“(0)=g“(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：4.00）A.f“(0)0，g“(0)0.B.f“(0)0，g“(0)0.C.f“(0)0，g“(0)0.D.f“(0)0，g“(0)0.6.设函数 z=f(x，y)连续，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，下列命题正确的是（分数：4.00）A.若向量组线性无关，则 rsB.若向量组线性相
3、关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.著向量组线件相关，则 rs8.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.a=b 或 n+2b=0.B.a=b 或 a+2b0.C.ab 且 a+2b=0.D.ab 且 a+2b0.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y=x 2 +x(x0)上曲率为 （分数：4.00）10.设 y=y(x)是由方程 x 2 -y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：4.00）11.微分方程 y“+y=e -x cosx 满足条件 y(0)=0 的解为 1 （分数：4.00）12.一根长度为 1 的细棒位于 x 轴的区间0，1上，若其线密度 (x)=-x
4、2 +2x+1，则该细棒的质心坐标 （分数：4.00）13.设 f(u，v)是二元可微函数， 则 （分数：4.00）14.二次型 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k的值 （分数：10.00）_16.求 （分数：10.00）_17.证明 （分数：10.00）_18.求曲线 x 3 -xy+y 3 =1(x0，y0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离 （分数：10.00）_19.设 D 是由直线 y=1，y=x，y=-x 围成的有
5、界区域，计算二重积分 （分数：10.00）_已知曲线 L 的方程 （分数：12.00）(1).讨论 L 的凹凸性；（分数：4.00）_(2).过点(-1，0)引 L 的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程；（分数：4.00）_(3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积（分数：4.00）_一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 与 连接而成的 （分数：10.00）(1).求容器的体积；（分数：5.00）_(2).若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为 gm/s 2 ，水的
6、密度为 1000kg/m 3 )（分数：5.00）_设 （分数：11.00）(1).求 ，a；（分数：5.50）_(2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_(2).求正交变换 x=Qy 把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形；（分数：3.67）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：3.67）_考研数学二-388 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.连续B.有可去间断点 C.有跳跃
7、间断点D.有无穷间断点解析：解析 函数 f(x)的定义域为 x0，先求出 f(x)，再判断间断点的类型 当 x0 时， 2.设函数 f(x)=arctanx，若函数 f(x)=xf“()，则 = A1. B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 关键是将极限式中的变量 转化为 x，再按正常求极限方法进行 由已知条件 f(x)=xf“()，有 因此 于是 3.已知函数 （分数：4.00）A.f“x-f“y=0.B.f“x+f“y=0.C.f“x-f“y=fD.f“x+f“y=f 解析：解析 故 4.设函数 （分数：4.00）A.x= 是函数 F(x)的跳跃间断点B.x= 是函数
8、 F(x)的可去间断点C.F(x)在 x= 处连续但不可导 D.F(x)在 x= 处可导解析：解析 当 0x 时， 当 x2n 时， 于是 5.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f“(0)=g“(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：4.00）A.f“(0)0，g“(0)0. B.f“(0)0，g“(0)0.C.f“(0)0，g“(0)0.D.f“(0)0，g“(0)0.解析：解析 直接利用二元函数取得极值的充分条件 显然 z“ x (0，0)=f“(0)g(0)=0，z“ y (0，0)=f(0)g
9、“(0)=0，故(0，0)是 z=f(x)g(y)可能的极值点 计算得 z“ xx (x，y)=f“(x)g(y)，z“ yy (x，y)=f(x)g“(y)，z“ xy (x，y)=f“(x)g“(y)， 所以 A=z“ xx (0，0)=f“(0)g(0)，B=z“ xy (0，0)=0，C=z“ yy (0，0)=f(0)g“(0) 由 B 2 -AC0，且 A0，C0，有 f“(0)0，g“(0)0.因此应选 A6.设函数 z=f(x，y)连续，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 的积分区域为两部分 D 1 =(x，y)|1x2，xy2， D 2 =(x
10、，y)|1y2，yx4-y， 将其写成一块 D=(x，y)|1y2，1x4-y， 故二重积分可以表示为 7.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，下列命题正确的是（分数：4.00）A.若向量组线性无关，则 rs B.若向量组线性相关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.著向量组线件相关，则 rs解析：解析 因为可由线性表示，有 r( 1 ， 2 ， r )r( 1 ， 2 ， s )s 如果线性无关，则有 r( 1 ， 2 ， r )=r 可见选项 A 正确 关于选项 B、C、D 不妨构思几个反例 B 项(1，0，0)，(0，0，0)和(1，0，0)
11、，(0，1，0)； C 项(1，0，0)，(2，0，0)，(0，0，0)和(1，0，0)，(0，1，0)； D 项(1，0，0)和(1，0，0)，(2，0，0)8.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.a=b 或 n+2b=0.B.a=b 或 a+2b0.C.ab 且 a+2b=0. D.ab 且 a+2b0.解析：解析 由伴随矩阵 A * 秩的公式 可见 若 a=b 易见 r(A)1 故 A、B 均不正确 由于|A|=(a+2b)(a-b) 2 当 ab，a+2b=0 时，一方面 A 中有 2 阶子式 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y=x 2 +x(x0)上曲率为 （分数：
12、4.00）解析：(-1，0) 解析 由 y=x 2 +x 得 y“=2x+1，y“=2.利用曲率公式 10.设 y=y(x)是由方程 x 2 -y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：4.00）解析：1 解析 将 x=0 代入方程 x 2 -y+1=e y 得 y=0. 在方程 x 2 -y+1=e y 两边同时对 x 求导得 2x-y“=e y y“， 代入 x=0，y=0 得 y“(0)=0. 再在方程 2x-y“=e y y“两边对 x 求导得 2-y“=e y (y“) 2 +e y y“， 代入 x=0，y=0，y“(0)=0 得 y“(0)=1.故应填 1.11.微分方程 y“
13、+y=e -x cosx 满足条件 y(0)=0 的解为 1 （分数：4.00）解析：e -x sinx 解析 直接按一阶线性微分方程公式求解 微分方程的通解为 12.一根长度为 1 的细棒位于 x 轴的区间0，1上，若其线密度 (x)=-x 2 +2x+1，则该细棒的质心坐标 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查定积分的物理应用 因为 所以细棒的质心坐标 13.设 f(u，v)是二元可微函数， 则 （分数：4.00）解析： 解析 本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可 利用复合函数求偏导公式可得 所以 14.二次型 （分数：4.00）解析： 解析 二次型矩阵 三、解答题(总题数：9，
14、分数：94.00)15.设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k的值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 用泰勒公式 由题意知 即 亦是 所以 因而 解法二 用洛必达法则 欲使 只需 由分子的极限为 0，则 a=-1. 再用洛必达法则 只需 由分子的极限为 0，则 接着用洛必达法则，只需 因而 所以 16.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 则 所以 所以 17.证明 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 当-1x1 时，f“(x)20，所以 f“
15、(x)单调增加则， 当-1x0 时，f“(x)f“(0)=0，于是 f(x)在-1x0 上单调减少，因此有 f(x)f(0)=0，即 当 0x1 时，f“(x)f“(0)=0，于是 f(x)单调增加，因此有 f(x)f(0)=0，即 综上所述得，当-1x1 时， 18.求曲线 x 3 -xy+y 3 =1(x0，y0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 点(x，y)到坐标原点的距离 问题为求目标函数 在约束条件 x 3 -xy+y 3 =1(x0，y0)下的最大值和最小值为方便求导，我们构造拉格朗日函数 F(x，y，)=x 2 +y 2 +(x 3
16、 -xy+y 3 -1) 解方程组 由，消去 得，(y-x)(3xy+x+y)=0，由于 x0，y0，得 y=x，代入得唯一可能的极值点：x=y=1.另外，曲线 L 与 x 轴，y 轴的交点分别为(1，0)，(0，1)计算这些点到坐标原点的距离得 故所求最长距离为 19.设 D 是由直线 y=1，y=x，y=-x 围成的有界区域，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 积分区域 D 关于 y 轴对称，利用对称性 方法一：用直角坐标 所以 方法二：用极坐标 所以 已知曲线 L 的方程 （分数：12.00）(1).讨论 L 的凹凸性；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解
17、因为 (2).过点(-1，0)引 L 的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由一小问知，切线方程为 设 则 即 整理得 将 t 0 =1 代入参数方程，得切点为(2，3)，故切线方程为 (3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为 A(1，0)，B(2，0)，C(2，3)，D(-1，0) 设 L 的方程 x=g(y)， 则 由参数方程可得 由于(2，3)在 L 上，则 于是 一容器的内侧是由图中曲线绕
18、y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 与 连接而成的 （分数：10.00）(1).求容器的体积；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 旋转体分为体积相等的两部分，于是 容器的体积为 或者 (2).若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为 gm/s 2 ，水的密度为 1000kg/m 3 )（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 利用微元法所做功的计算也分为两部分 设 （分数：11.00）(1).求 ，a；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，故 由 于是 =1 或 =-1. 当 =1 时， 方程
19、组 Ax=b 无解，舍去 当 =-1 时，对 Ax=b 的增广矩阵作初等行变换 可见 a=-2 时， (2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 =-1，=-2 时 所以方程组 Ax=b 的通解为 已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于二次型 f 的秩为 2，即二次型矩阵 的秩为 2，所以(2).求正交变换 x=Qy 把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 a=0 时， 得到矩阵 A 的特征值是 1 = 2 =2， 3 =0. 对于 =2，由(2E-A)x=0 得特征向量 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 对 =0 由(0E-A)x=0 得特征向量 3 =(1，-1，0) T 由于 1 ， 2 ， 3 已两两正交，单位化有 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )则 Q 是正交矩阵那么经正交变换 x=Qy，有 (3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 方程 即
