1、考研数学二-409 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小2.设 f(x)满足： （分数：4.00）A.x=0 为 f(x)的极小值点B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点3.设 （分数：4.00）A.两个可去间断点B.两个无穷间断点C.一个可去间断点，一个跳跃间断点D.一个可去间断点，一个无穷间断点4.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可偏导C.可偏导但不可微D.可微
2、分5.考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的下面四条性质： 连续 可微 若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 y=y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.37.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_ A.若 A2B 2，则 AB B.矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等 C.若 A，B 的特征值相同，则 AB D.若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化（分数：4
3、.00）A.B.C.D.8.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_ A.设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零 B.设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值 C.设 A 为对称矩阵，A 2=2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零 D.设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）11.曲线 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.y“-2y“-3y=e -x
4、 的通解为 1 （分数：4.00）14.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(m，-m，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(m，1，1-m) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 m= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)可导，且 ，计算 （分数：9.00）_16.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：9.00）_设 （分数：11.00）(1).用变换 x=t 2 将原方程化为 y 关于 t 的微分方程；（分数：5.50）_(2)
5、.求原方程的通解（分数：5.50）_17.设直线 y=ax+b 为曲线 y=ln(x+2)的切线，且 y=ax+b，x=0，x=4 及曲线 y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求 a，b 的值 （分数：11.00）_18.求二重积分 （分数：10.00）_19.设 y= f(x，t)，而 t 是由方程 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，其中 f(x，t)，G(x，y，t)为可微函数，求 （分数：11.00）_20.设 f(x)在1，+)上连续且可导，若曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴围成的平面区域绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积为 且 （分数：11.0
6、0）_设 A 为 mn 矩阵，且 ，其中 （分数：11.00）(1).证明方程组 AX=b 有且仅有 n-r+1 个线性无关解；（分数：5.50）_(2).若 （分数：5.50）_设二次型 的矩阵合同于 （分数：11.00）(1).求常数 a 的值；（分数：5.50）_(2).用正交变换法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )为标准形（分数：5.50）_考研数学二-409 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析 因为2.设 f(x)
7、满足： （分数：4.00）A.x=0 为 f(x)的极小值点 B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点解析：解析 由 得 f(0)=0，f“(0)=0 当 x0 时，由 xf “ (x)-x 2 f “2 (x)=1-e -2x 得 ， 再由 f(x)二阶连续可导得 3.设 （分数：4.00）A.两个可去间断点B.两个无穷间断点C.一个可去间断点，一个跳跃间断点 D.一个可去间断点，一个无穷间断点解析：解析 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点 由 f(0+0)=f(0-0)=0，得 x=0 为 f(x)的可去间断点；
8、4.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可偏导C.可偏导但不可微 D.可微分解析：解析 当(x，y)(0，0)时， ， 由迫敛定理得 ，从而 f(x，y)在(0，0)处连续，A 不对； 由 得 f “ x (0，0)=0， 由 得 f “ y (0，0)=0，B 不对； 令 因为 5.考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的下面四条性质： 连续 可微 若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 若 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微，若 f(x，y)在(x 0
9、，y 0 )处可微，则 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续，选 B.6.设 y=y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 因为 y(0)=0，y“(0)=1，所以由 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 得 y“(0)=2， 从而 7.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_ A.若 A2B 2，则 AB B.矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等 C.若 A，B 的特征值相同，则 AB D.若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对
10、角化（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1 ， 2 ， n ，且存在可逆矩阵 P 1 ，使得 ； 因为 A 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 2 ，使得 即 于是有 取 8.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_ A.设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零 B.设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值 C.设 A 为对称矩阵，A 2=2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零 D.设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同（分数：4.00）A.B.C. D.解析：
11、解析 取 ，显然 A 的特征值为 0，0，1，但 r(A)=2，A 不对； 设 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 方法一： 由 10.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）解析： 解析 当 t=0 时，x=1 e x sint-x+1=0 两边对 t 求导，得 ，于是 ； 两边对 t 求导，得 ，于是 故 11.曲线 （分数：4.00）解析：y=2x-1 解析 故曲线 12. （分数：4.00）解析： 解析 改变积分次序得 13.y“-2y“-3y=e -x 的通解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 特征方程 2 -2-3=0，特征值
12、为 1 =-1， 2 =3，则方程 y“-2y“-3y=0 的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x . 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe -x ，代入原方程得 ，于是原方程的通解为 14.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(m，-m，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(m，1，1-m) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 m= 1 （分数：4.00）解析：1 解析 由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值， 1 =(m，-m，1) T 为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，|A+E|=0，=-1 为 A
13、 的另一个特征值，其对应的特征向量为 2 =(m，1，1-m) T ，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=1三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)可导，且 ，计算 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ， 于是 16.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 令 ，显然函数 (x)在区间a，b上连续，函数 (x)在区间(a，b)内可导，且 另外又有 (a)=(b)=0 所以根据
14、罗尔定理可知存在 (a，b)使 “()=0，即 由于 g(b)=0 及 g“(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0，从而就有 ， 于是有 设 （分数：11.00）(1).用变换 x=t 2 将原方程化为 y 关于 t 的微分方程；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 代入，得 整理，得 (2).求原方程的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 -6=0，特征值为 1 =-2， 2 =3， 方程 的通解为 y=C 1 e -2t +C 2 e 3t 令 的特解为 y 0 =Ate 3t ，代入得 ，故原方程的通解为 17.设直线 y=ax+b 为曲线 y=l
15、n(x+2)的切线，且 y=ax+b，x=0，x=4 及曲线 y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求 a，b 的值 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 设直线 y=ax+b 为曲线 y=ln(x+2)在点(x 0 ，ln(x 0 +2)处的切线， 切线为 ，解得 令 得 x 0 =2 当 x 0 (-2，2)时，S“(x 0 )0，当 x 0 2 时，S“(x 0 )0，则 x 0 =2 为 S(x 0 )的最小点，从而当 18.求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 方法一： 在区域 D 内作圆 x 2 +y 2 =x，将区域 D 分为 D 1 ，D 2 ，则
16、第一卦限的角平分线将 D 1 分为 D 11 及 D 12 ， 而 方法二： 在区域 D 内作圆 x 2 +y 2 =x，将区域 D 分为 D 1 ，D 2 ，则 而 又 19.设 y= f(x，t)，而 t 是由方程 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，其中 f(x，t)，G(x，y，t)为可微函数，求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由方程组 确定两个一元函数，其中 x 为自变量，y，t 为函数， 对 x 求导得 20.设 f(x)在1，+)上连续且可导，若曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴围成的平面区域绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积为
17、且 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由旋转体的体积公式得 由已知条件得 等式两边对 t 求导得 3f 2 (t)=2tf(t)+t 2 f “ (t)， 于是有 x 2 y “ =3y 2 -2xy，变形得 令 ，则有 ，分离变量并两边积分得 即 y-x=Cx 3 y， 由 得 C=-1，故 设 A 为 mn 矩阵，且 ，其中 （分数：11.00）(1).证明方程组 AX=b 有且仅有 n-r+1 个线性无关解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令 1 ， 2 ， n-r ，为 AX=0 的基础解系， 0 为 AX=b 的特解，显然 0 = 0 ， 1 = 1 + 0
18、， n-r = n-r + 0 为 AX=b 的一组解，令 k 0 0 +k 1 1 +k n-r n-r =0，即 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r +(k 0 +k 1 +k n-r ) 0 =0 上式左乘 A 得(k 0 +k 1 +k n-r )b=0，因为 b0 时，k 0 +k 1 +k n-r =0，于是 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =0，因为 1 ， 2 ， n-r 为 AX=0 的基础解系，所以 k 1 =k 2 =k n-r =0，于是 k 0 =0，故 0 ， 1 ， n-r 线性无关 若 0 ， 1 ， n-r+1 为 AX=b 的线性
19、无关解，则 1 = 1 - 0 ， n-r+1 = n-r+1 - 0 为 AX=0 的解，令 k 1 1 +k 2 2 +k n-r+1 n-r+1 =0，则 k 1 1 +k 2 2 +k n-r+1 n-r+1 -(k 1 +k 2 +k n-r+1 ) 0 =0 因为 0 ， 1 ， n-r+1 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k n-r+1 =0，即 1 ， 2 ， n-r+1 为 AK=0 的线性无关解，矛盾，故方程组 AX=b 恰有 n-r+1 个线性无关解(2).若 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令 则 化为 AX= 因为 AX= 有三个非零解，所以 AX=0
20、 有两个非零解，故 4-r(A)2，r(A)2，又因为 r(A)2，所以 则 a=-3，b=-1 由 得原方程组的通解为 设二次型 的矩阵合同于 （分数：11.00）(1).求常数 a 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解令 ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX. 因为 A 与 合同，所以 r(A)=23，故|A|=0 由 (2).用正交变换法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )为标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 得 1 =0， 2 =4， 3 =9 由(0E-A)X=0 得 由(4E-A)X=0 得 由(9E-A)X=0 得 单位化得 令 则
