1、考研数学二-443 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：17，分数：50.00)1.设 n 阶矩阵 （分数：3.00）2. （分数：3.00）3.设 A，B 均为 n 阶方阵，|A|=2，|B|=-3，则|A -1 B * -A * B -1 |= 1 （分数：3.00）4.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=-2，则行列式|-A 1 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，-3A 3 +2A 1 |= 1 （分数：3.00）5.设 A 是三阶方阵，且|A-E|=|A+2E|=|2
2、A+3E|=0，则|2A * -3E|= 1 （分数：3.00）6.设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B -1 A= 1. （分数：3.00）7.设 A 为 43 矩阵，且 r(A)=2，而 （分数：3.00）8.向量组 1 =0，4，2-k， 2 =2，3-k，1， 3 =1-k，2，3线性相关，则实数 k= 1. （分数：3.00）9.设三阶矩阵 （分数：3.00）10.设向量组 （分数：3.00）11.若线性方程组 （分数：3.00）12.若矩阵 （分数：3.00）13.设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式|2A|=-4
3、8，则 = 1 （分数：3.00）14.矩阵 （分数：3.00）15.已知 （分数：3.00）16.若 （分数：3.00）17.已知矩阵 （分数：2.00）二、选择题(总题数：17，分数：50.00)18.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于_. A.0 B.a2 C.-a2 D.na2（分数：3.00）A.B.C.D.19.行列式|A|非零的充分条件是_.（分数：3.00）A.A 中所有元素非零B.A 中至少有 n 个元素非零C.A 的任意两行元素之间不成比例D.以|A|为系数行列式的线性方程组有唯一解20.假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)=rn，那么
4、在 A 的 n 个行向量中_.（分数：3.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示21.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有_.（分数：3.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|0，则一定有|B|022.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则_.（分数：3.00）A.若 1，2，r 线性无关，则 rsB.若 1，2，r 线性相关，则 r
5、sC.若 1，2，s 线性无关，则 rsD.若 1，2，s 线性相关，则 rs23.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 AB=E，则_. A.B 的行向量组线性无关 B.B 的列向量组线性无关 C.A-1=B D.|AB|=|A|B|（分数：3.00）A.B.C.D.24.非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则_.（分数：3.00）A.r=m 时，方程组 AX=b 有解B.r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解D.rn 时，方程组 AX=b 有无穷多解25.设 A
6、 为 mn 矩阵且 r(A)=n(nm)，则下列结论中正确的是_.（分数：3.00）A.若 AB=AC，则 A=CB.若 BA=CA，则 B=CC.A 的任意 n 个行向量线性无关D.A 的任意 n 个行向量线性相关26.设 1 ， 2 ， 3 是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成_.（分数：3.00）A.1，2，3 的一个等价向量组B.1，2，3 的一个等秩向量组C.1，1+2，1+2+3D.1-2，2-3，3-127.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是_.（分数：3.00）A.1，2，s 均不为零向量B.1，2，a 中任意两个向量的分量不成比例C.1，2，
7、s 中任意一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示D.1，2，s 中有一部分向量线性无关28.设矩阵 A mn ，r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是_.（分数：3.00）A.A 通过初等行变换必可化为Em，0的形式B.A 的任意 m 阶子式不等于零C.A 的任意 m 个列向量必线性无关D.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多解29.设 （分数：3.00）A.3B.5C.3 或-5D.5 或-330.设 都是线性方程组 AX=0 的解向量，只要系数矩阵 A 为_. A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.31.设 （分数：3.00）A.B.C.D.3
8、2.下列矩阵中，不能相似对角化的是_. A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.33.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则_.（分数：3.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式34.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似考研数学二-443 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：17，分数：50.00)1.设 n 阶矩阵 （分数：3.00）解析：(n-1)(-1) n-1 解 2. （分数：3.0
9、0）解析：0解 3.设 A，B 均为 n 阶方阵，|A|=2，|B|=-3，则|A -1 B * -A * B -1 |= 1 （分数：3.00）解析： 解 A * =|A|A -1 =2A -1 ，B * =|B|B -1 =-3B -1 ，则 4.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=-2，则行列式|-A 1 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，-3A 3 +2A 1 |= 1 （分数：3.00）解析：12 解 由 得 5.设 A 是三阶方阵，且|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0，则|2A * -3E|
10、= 1 （分数：3.00）解析：126 解 由|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0 得 矩阵 A 的特征值为 |A|=3，A * 的特征值为 6.设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B -1 A= 1. （分数：3.00）解析： 解 由 得 7.设 A 为 43 矩阵，且 r(A)=2，而 （分数：3.00）解析：2 解 因为 8.向量组 1 =0，4，2-k， 2 =2，3-k，1， 3 =1-k，2，3线性相关，则实数 k= 1. （分数：3.00）解析：6解 由9.设三阶矩阵 （分数：3.00）解析：-1 解 因为 A 与
11、 线性相关，所以 A 与 成比例， 令 A=k，即 10.设向量组 （分数：3.00）解析：abc0解 由11.若线性方程组 （分数：3.00）解析：a 4 -a 1 +a 2 -a 3 解 12.若矩阵 （分数：3.00）解析：1 解 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3， 因为 r(B)1，所以 r(A)2， 又因为矩阵 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2. 由 13.设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式|2A|=-48，则 = 1 （分数：3.00）解析：-1解 |A|=6，由|2A|=8|A|=-48 得|A|=-6，解得 =-1.14.矩阵 （分数：3
12、.00）解析：4 解 由 15.已知 （分数：3.00）解析：-10 解 由 得 1 =1， 2 = 3 =2， 因为 A 可对角化，所以 r(2E-A)=1， 由 16.若 （分数：3.00）解析：x=-17，-12 解 设 17.已知矩阵 （分数：2.00）解析： 1 = 2 = 3 =2，a=-5 解 特征值为 1 = 2 = 3 =2， 因为 1 = 2 = 3 =2 只有两个线性无关的特征向量， 所以 r(2E-A)=1， 由 二、选择题(总题数：17，分数：50.00)18.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于_. A.0 B.a2 C.-a2
13、D.na2（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解 不妨设第一列元素及余子式都是 a，则 D=a 11 A 11 +a 21 A 21 +a 2n，1 A 2n，1 =a 2 -a 2 +-a 2 =0，应选 A19.行列式|A|非零的充分条件是_.（分数：3.00）A.A 中所有元素非零B.A 中至少有 n 个元素非零C.A 的任意两行元素之间不成比例D.以|A|为系数行列式的线性方程组有唯一解 解析：解 |A|0 的充要条件是 r(A)=n，r(A)=n 的充要条件是 AX=b 有唯一解，应选 D20.假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中_.（分数
14、：3.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示解析：解 因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由 r(A)=r 得 A 一定有 r 个行向量线性无关，应选 A21.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有_.（分数：3.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0 D.若|A|0，则一定有|B|0解析：解 因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若|A|=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即|B|
15、=0，应选 C22.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则_.（分数：3.00）A.若 1，2，r 线性无关，则 rs B.若 1，2，r 线性相关，则 rsC.若 1，2，s 线性无关，则 rsD.若 1，2，s 线性相关，则 rs解析：解 因为()可由()，所以()的秩()的秩， 所以若 1 ， 2 ， r 线性无关，即()的秩=r，则 r()的秩s，应选 A23.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 AB=E，则_. A.B 的行向量组线性无关 B.B 的列向量组线性无关 C.A-1=B D.|AB|=|A
16、|B|（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解 由 AB=E 得，r(AB)=n，从而 r(A)n，r(B)n， 又 r(A)n，r(B)n，所以 r(A)=n，r(B)=n， 故 B 的列向量组线性无关，应选 B24.非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则_.（分数：3.00）A.r=m 时，方程组 AX=b 有解 B.r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解D.rn 时，方程组 AX=b 有无穷多解解析：解 r(A)r(A)， 当 r=m 时，r(A)r(A)=m； 又 r(A)m，所以 r(
17、A)=r(A)=m，故 AX=b 有解，应选 A25.设 A 为 mn 矩阵且 r(A)=n(nm)，则下列结论中正确的是_.（分数：3.00）A.若 AB=AC，则 A=CB.若 BA=CA，则 B=C C.A 的任意 n 个行向量线性无关D.A 的任意 n 个行向量线性相关解析：解 由 BA=CA 得(B-C)A=O，则 r(A)+r(B-C)n， 由 r(A)=n 得 r(B-C)=0，故 B=C，应选 B26.设 1 ， 2 ， 3 是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成_.（分数：3.00）A.1，2，3 的一个等价向量组 B.1，2，3 的一个等秩向量组C.1，1
18、+2，1+2+3D.1-2，2-3，3-1解析：解 B 显然不对，因为与 1 ， 2 ， 3 等秩的向量组不一定是方程组的解； 因为 1 +( 1 + 2 )-( 1 + 2 + 3 )=0，所以 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 线性相关，不选 C； 由( 1 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 1 )=0，所以 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 线性相关，不选 D，应选 A.27.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是_.（分数：3.00）A.1，2，s 均不为零向量B.1，2，a 中任意两个向量的分量不成比例C.1，2，s 中任意一个向量均不能由其余 s
19、-1 个向量线性表示 D.1，2，s 中有一部分向量线性无关解析：解 若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 1 ， 2 ， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若 1 ， 2 ， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 线性无关，应选 C28.设矩阵 A mn ，r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是_.（分数：3.00）A.A 通过初等行变换必可化为Em，0的形式B.A 的任意 m 阶子式不等于零C.A 的任意 m 个列向量必线性无关D.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多解 解析：解 显然 因为 为 m(n+1)矩阵，所以
20、于是 29.设 （分数：3.00）A.3 B.5C.3 或-5D.5 或-3解析：解 因为 AX=0 的任一非零解都可由 线性表示，所以 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，从而 r(A)=2. 由 30.设 都是线性方程组 AX=0 的解向量，只要系数矩阵 A 为_. A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解 因为 1 ， 2 线性无关，所以 AX=0 的基础解系至少含两个线性无关的解向量，从而 r(A)1， 再由题意得 31.设 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解 由 得 32.下列矩阵中，不能相似对角化的是_. A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解 33.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则_.（分数：3.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩 C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式解析：解 因为 A 与 B 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T AP=B，从而 r(A)=r(B)，应选 B34.设 （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解 因为 A，B 都是实对称矩阵，且特征值相同，所以 A、B 既相似又合同，应选 A
