1、考研数学二-464 及答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.累次积分 其中 a0 为常数，则 I 可写成（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y=f(x)在a，b上单调，且有连续的导函数，反函数为 x=g(y)，又 a=f（分数：4.00）A.(a)，=fB.， 则 3.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A1，将 B 中第 3列乘以 得到 B1，如果 则 AB=（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设(x
2、 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则 x=x0不是 f(x)的极值点B.设 x=x0是 f(x)的极小值点，f(x)在 x=x0二阶可导，则 f(x0)=0，f(x 0)0C.f(x)在(a，b)只有一个驻点 x0，且 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x0)是 f(x)在(a，b)的最小值D.若 f-(b)0，则 f(b)不是 f(x)在a，b的最大值6.设 f(x)有一阶导数且 f(0)=1， （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 1=(1，0，2，c 1)T， 2=(0，2，1，c 2)T， 3=(1，2，3，c3) T， 4=(1，0，1，0) T其中ci(i=1，2，3
3、)为任意实数，则（分数：4.00）A. 1， 2， 3， 4必线性相关B. 1， 2， 3， 4必线性无关C. 1， 2， 3必线性相关D. 2， 3， 4必线性无关8.下列命题设 不存在，若数列 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 an0(n=1，2，3，)且 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 则 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 (z)有连续导数，1-y(z)0，z=z(x，y)由方程 z=x+y(x)确定，则 dz=_（分数：4.00
4、）填空项 1:_14.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：100.00)15.已知 y=y(x)满是方程（分数：10.00）_16.(1-x2)y“-xy+a2y=0，x(-1，1)a0 为常数，令 x=sint()求 y 作为 t 函数所满足的二阶方程()求 y(x)（分数：10.00）_17.求 （分数：10.00）_18.设 （分数：10.00）_19.求一曲线通过(2，3)，它在两坐标轴间的任意切线段被切点平分，求此曲线的方程 y=y(x)（分数：10.00）_20.设 f(x)在(-，+)连
5、续，且（分数：10.00）_21.设 f(u，v)有二阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)=f(xy， （分数：10.00）_22.设曲线 L 的参数方程为：x=(t)=t-sint，y=(t)=1-cost(0t2)()求证：由 L 的参数方程确定连续函数 y=y(x)(0x2)()求二重积分： （分数：10.00）_23.已知齐次方程组 Ax=0 为（分数：10.00）_24.已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， （分数：10.00）_考研数学二-464 答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.累次积分 其中 a0 为常数，
6、则 I 可写成（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将 I 表成*由 D 的极坐标表示：0，0rasin即 r 2=x2+y2arsin=ay可知*如图*若是先 y 后 x 的积分顺序，则*于是*因此选(C)2.设 y=f(x)在a，b上单调，且有连续的导函数，反函数为 x=g(y)，又 a=f（分数：4.00）A.(a)，=fB.， 则 解析：分析 *选(B)3.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A1，将 B 中第 3 列乘以 得到B1，如果 则 AB=（分数：4.
7、00）A.B. C.D.解析：分析 矩阵 A 和 B 分别经过初等行变换和列变换得到矩阵 A1和 B1有 A1=PA，B 1=BQ*于是 A1B1=PABQ那么*4.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 已知：f(x)在-a，a连续为奇函数，则*在-a，a为偶函数于是*为偶函数F(x)=sin2n+1x 在(-，+)变号，因而 F(x)在(-，+)不单调(A)、(B)、(C)被排除，选(D)分析二 已知：设 f(x)在(-，+)连续，以 T 为周期，则*以 T 为周期*这里 f(x)=sin2n+1x 连续，以 2 为周期，*因此*以 2 为周期选(D)5.下列命题中正确的是（
8、分数：4.00）A.设(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则 x=x0不是 f(x)的极值点B.设 x=x0是 f(x)的极小值点，f(x)在 x=x0二阶可导，则 f(x0)=0，f(x 0)0C.f(x)在(a，b)只有一个驻点 x0，且 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x0)是 f(x)在(a，b)的最小值D.若 f-(b)0，则 f(b)不是 f(x)在a，b的最大值 解析：分析一 由举例易知(A)，(B)，(C)不正确如右图所示，(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点且 x=x0是 f(x)的极小值点(A)是错的*极小值点 x0处可以有 f“(x0)=0如 f(x
9、)=(x-x0)4，x=x 0是 f(x)的极小值点，f(x 0)=0(B)是错误的若 f(x)不连续，命题(C)不正确，如下图f(x)在(a，b)有唯一驻点 x0，是 f(x)的极小值点，但 f(x0)不是 f(x)在(a，b)的最小值因此，选(D)分析二 由最值点处导数性质可知(D)正确因为，若 f(b)是 f(x)在a，b的最大值且 f-(b)存在，则*于是当 f-(b)0 时，f(b)不可能是 f(x)在a，b的最大值选(D)6.设 f(x)有一阶导数且 f(0)=1， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *7.设 1=(1，0，2，c 1)T， 2=(0，2，1，c 2)
10、T， 3=(1，2，3，c3) T， 4=(1，0，1，0) T其中ci(i=1，2，3)为任意实数，则（分数：4.00）A. 1， 2， 3， 4必线性相关B. 1， 2， 3， 4必线性无关C. 1， 2， 3必线性相关D. 2， 3， 4必线性无关 解析：分析 如(B)正确则(D)必正确，因此(B)不正确若(C)正确则(A)必正确，故(C)必错误，所以正确的在(A)或(D)中*仅当 c1+c2=c3时， 1， 2， 3， 4才线性相关，故(A)不正确所以选(D)或者，由*知(0，2，1) T，(1，2，3) T，(1，0，1) T必线性无关，从而 2， 3， 4必线性无关而知(D)必正确
11、8.下列命题设 不存在，若数列 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 *现考察命题，即考察*的可导性*在题设条件下，由*在 x=x0连续)于是分别令 xx 00 得F+(x0)=f(u0) +(x0)，F -(x0)=f(u0)-(x 0)由 +(x 0)-(x 0)得*因此，f(u 0)=0 时 f(x)在 x0可导，命题不正确选(A)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 an0(n=1，2，3，)且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 记*10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=3x+2）解析：分析 先求*再求*因此，x
12、+时的斜渐近线方程是 y=3x+211.设 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=1-e -x）解析：分析 这是不显含 x 的可降阶的二阶方程令 P=y，以 y 为自变量，则*代入原方程得*化简得*(或 P=0，但它不满足初始条件)。分离变量得*积分得ln|P|=ln|y-1|+C1，即 P=C1(y-1)(P=0 时对应 C1=0)令 x=0，由初值得 C1=-1于是*再积分得ln|y-1|=-x+C2，y-1=C 2e-x*因此，所求特解为 y=1-e -x13.设 (z)有连续导数，1-y(z
13、)0，z=z(x，y)由方程 z=x+y(x)确定，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *移项并解出*14.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 因为*所以 A 2=( T)( T)=( T) T-2A那么*故*三、解答题(总题数：10，分数：100.00)15.已知 y=y(x)满是方程（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 ()*代入原方程得*()方程的特征方程是 2+a2=0特征根*于是的解为y=C1cosat+C2sinat因此 y(x)=C1cosa(
14、arcsinx)+C2sina(arcsinx) C1，C 2为*常数)解析：16.(1-x2)y“-xy+a2y=0，x(-1，1)a0 为常数，令 x=sint()求 y 作为 t 函数所满足的二阶方程()求 y(x)（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 这是求瑕积分，x=1 是瑕点易求得被积函数在(1，2上的原函数，并由瑕积分的牛顿一莱布尼兹公式得*其中*再求*这里 lnx=ln(1+(x-1)x-1(x1)因此*)解析：17.求 （分数：10.00）_正确答案：(分析与证明 *于是*()x0，x1，显然 f(x)连续在 x=0 处*f(x)在 x=0 不连续，是第一类间断点在
15、x=1 附近*在 x=1 既左连续又右连续，于是 f(x)在 x=1 处连续因此，f(x)在(-，0)，(0，+)连续，x=0 是 f(x)的第一类间断点()题()中已证明：这个分段函数 f(x)分别在(-，0，(0，+)连续，且*存在，要判断 f(x)在(-，1上的有界性，只须考察*)解析：18.设 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 曲线 y=y(x)上*点(x，y(x)处的切线方程是Y-y(x)=y(x)(X-x)其中(X，Y)是切线上点的坐标，切线与 y 轴的交点是(0，Y)：Y-y(x)=-xy(x)与 x 轴的交点(X，0)：*由条件得(Y-y(x)2+x2=(X-x)2
16、+y2即*化简得*不合题意因此，所求曲线的方程为xy=6)解析：19.求一曲线通过(2，3)，它在两坐标轴间的任意切线段被切点平分，求此曲线的方程 y=y(x)（分数：10.00）_正确答案：(分析与证明 ()改写*F(0)=0由变限积分的性质，可导性及连续性运算法则可知，当 x0 则*连续又*即 F(x)在 x=0 连续*因此，F(x)在(-，+)连续()由题()，x0 时*其中*于是*)解析：20.设 f(x)在(-，+)连续，且（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 由复合函数求导法得*现将，式相加得*其中由条件知 f“11+f“22=1)解析：21.设 f(u，v)有二阶连续偏导
17、数，且满足 又 g(x，y)=f(xy， （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 ()*)解析：22.设曲线 L 的参数方程为：x=(t)=t-sint，y=(t)=1-cost(0t2)()求证：由 L 的参数方程确定连续函数 y=y(x)(0x2)()求二重积分： （分数：10.00）_正确答案：(曲线 L：y=y(x)在 x 轴上方，与 x 轴交于(0，0)及(2，0)点，故区域 D 为：0x2，0yy(x)*)解析：23.已知齐次方程组 Ax=0 为（分数：10.00）_正确答案：(解 ()由 B( 1， 2)=0 有( 1， 2)TBT=0那么矩阵 BT的列向量(亦即矩阵 B
18、的行向量)是齐次方程组( 1， 2)Tx=0 的解对系数矩阵( 1， 2)T作初等行变换，有*得到基础解系：(1，2，1，0) T，(-1，-1，0，1) T故矩阵*()由于两个方程组同解，那么 1， 2必是齐次方程组 Ax=0 的基础解系*解出 a 1=1，a 2=3，a 3=2，a 4=1()由于 Ax=0 的通解是k1 1+k2 2-(k1，-2k 1+k2，3k 1-2k2，-k 1+k2)T因为 x3=-x4即 3k1-2k2=k1-k2即 k2=2k1所以 Ax=0 满足条件 x3=-x4的所有解为(k，0，-k，k) T，k 为任意常数)解析：注 矩阵 B 的行向量是齐次方程组的
19、解，因此矩阵 B 的答案不唯一24.已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， （分数：10.00）_正确答案：(解 ()按定义，设 A*= 0，则 AA*= 0A，即 0A=|A| 由于矩阵 A 可逆，知|A|0， 00，于是*对于*由矩阵 A 的特征多项式*得矩阵 A 的特征值是 1，2，3于是|A|=6从而 A*的特征值是 6，3，2对 =1，由(E-A)x=0*得矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量是 1=(-1，1，1) T于是 A*属于特征值 =6 的特征向量是k1 1，(k 10)对 =2，由(2E-A)x=0*得矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量 2=(-2，2，3) T，于是 A*属于特征值 =3 的特征向量是k2 2，(k 20)对 =3，由(3E-A)x=0*得矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量 3=(-1，2，3) T，于是 A*属于特征值 =2 的特征向量是k3 3，(k 30)()因为 A*有 3 个线性无关的特征向量，故 A*A*)解析：评注 若已知特征向量 ，通常可用定义法建立方程组来求参数本题不必去求伴随矩阵 A*，而应当用关系式 AA*=A*A=|A|E 把 A*的特征值问题转化为 A 的特征值问题
