1、考研数学二-92 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：11.00)1.积分中值定理的条件是 1，结论是 2 （分数：1.00）2.设 f(x)是连续函数，且 （分数：1.00）3.下列两个积分的大小关系是： （分数：1.00）4.f“(x)dx= 1 （分数：1.00）5. （分数：1.00）6.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：1.00）7.x 3 e x2 dx= 1 （分数：1.00）8. （分数：1.00）9. （分数：1.00）10. （分数：1.00）11.设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f“(x)=2(x-1)，x0
2、，2，则 f(7)= 1 （分数：1.00）二、选择题(总题数：11，分数：11.00)12.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上皆可导，且 f(x)g(x)，则必有 Af(-x)g(-x) Bf“(x)g“(x) C D （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 （分数：1.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN14.设在区间a，b上函数 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0令 ，S 2 =f(b)(b-a)， （分数：1.00）A.S1S2S3B.S2S1S3C.S3S1S2D.S2S3S115.设 （分数：1.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数16.设 （
3、分数：1.00）A.I1I21B.1I1I2C.I2I11D.1I2I117.如图所示，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2上的图形分别为直径为 2 的上、下半圆周设 ，则下列结论正的是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.18.如图所示，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 等于 （分数：1.00）A.曲边梯形 ABOD 的面积B.梯形 ABOD 的面积C.曲边三角形 ACD 的面积D.三角形 ACD 的面积19.设 （分数：1.00）A.IJKB.IKJC.J
4、IKD.KJI20.设 （分数：1.00）A.I1I2I3B.I3I2I1C.I2I3I1D.I2I1I321.设函数 f(x)在(-，+)上连续，则 df(x)dx等于（分数：1.00）A.f(x)B.f(x)dxC.f(x)+CD.f“(x)dx22.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为（分数：1.00）A.1+sinxB.1-sinxC.1+cosxD.1-cosx三、解答题(总题数：15，分数：78.00)23.计算不定积分 （分数：5.00）_24.求 （分数：5.00）_25.计算 （分数：5.00）_26.求xsin 2 xdx （分数：5.00）_27.
5、求 （分数：5.00）_28.求 （分数：5.00）_29.设 （分数：5.00）_30.求 （分数：5.00）_31.计算不定积分 （分数：5.00）_32.计算e 2x (tanx+1) 2x dx （分数：5.00）_33.设 （分数：5.00）_34.求 （分数：5.00）_35.计算不定积分 （分数：6.00）_36.求 （分数：6.00）_37.计算不定积分 （分数：6.00）_考研数学二-92 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：11.00)1.积分中值定理的条件是 1，结论是 2 （分数：1.00）解析：f(x)在a，b上连续；在
6、a，b内至少存在一点 ，使 解析 积分中值定理： 若 f(x)在a，b上连续，则在a，b内至少存在一点 ，使 2.设 f(x)是连续函数，且 （分数：1.00）解析：x-1 解析 解法 1 令 ，则 f(x)=x+2a将 f(x)=x+2a 代入 ，得 由此可得 则 f(x)=x-1 解法 2 等式 两端从 0 到 1 对 x 积分得 ， 由此可得 从而 f(x)=x-1 注意到定积 是一个数，由此可衍生出有关二重积分的此类问题， 3.下列两个积分的大小关系是： （分数：1.00）解析： 解析 当 x-2，-1时，e -x3 e x3 ，则 4.f“(x)dx= 1 （分数：1.00）解析：f
7、(x)+C，其中 C 为任意常数解析 f“(x)dx=f(x)+C(其中 C 为任意常数)5. （分数：1.00）解析：解析 6.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：1.00）解析： 解析 由题设可知 y“=xln(1+x 2 )，则 又曲线 y=f(x)过点 ，即 ，代入上式得 故 7.x 3 e x2 dx= 1 （分数：1.00）解析：解析 8. （分数：1.00）解析： ，其中 C 为任意常数 解析 本题考查积分公式： 因此 若令 ，则 9. （分数：1.00）解析：-cotxln(sinx)-cotx-x+C，其中 C 为任意常数 解析 直接令 u=ln(sinx)， ，v=-cot
8、x，便得 10. （分数：1.00）解析： (C 为任意常数) 解析 11.设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f“(x)=2(x-1)，x0，2，则 f(7)= 1 （分数：1.00）解析：1 解析 当 x0，2时，f(x)=2(x-1)dx=x 2 -2x+C由 f(0)=0 可知 C=0，即 f(x)=x 2 -2x又 f(x)是周期为 4 的奇函数，故 f(7)=f(-1)=-f(1)=1二、选择题(总题数：11，分数：11.00)12.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上皆可导，且 f(x)g(x)，则必有 Af(-x)g(-x) Bf“(x)g“(x) C D （分数：1
9、.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 f(x)和 g(x)在(-，+)上皆可导，则必在(-，+)上连续，则 又 f(x)g(x)，从而 f(x 0 )g(x 0 )，即 13.设 （分数：1.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN 解析：解析 由被积函数的奇偶性可知 14.设在区间a，b上函数 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0令 ，S 2 =f(b)(b-a)， （分数：1.00）A.S1S2S3B.S2S1S3 C.S3S1S2D.S2S3S1解析：解析 由题目对函数 f(x)图形性态的描述，易知 f(x)在 x 轴上方、单调下降且是凹的，如图所示，且 S 1 、S 2
10、和 S 3 分别为图中所示区域的面积，显然 S 2 S 1 S 3 15.设 （分数：1.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析 由于函数 e sint sint 以 2 为周期，因此 16.设 （分数：1.00）A.I1I21B.1I1I2 C.I2I11D.1I2I1解析：解析 因为当 时，sinxxtanx，故 ， 这便排除了选项 C 和 D 又令 ，则 ，即 f(x)在 上单调增加，有 故 即选项 B 正确 从几何上更容易直接看出当 时， 是过原点与点 17.如图所示，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区
11、间-2，0，0，2上的图形分别为直径为 2 的上、下半圆周设 ，则下列结论正的是 A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由所给条件，f(x)为 x 的奇函数，故 F(x)为 x 的偶函数，所以 F(-3)=F(3)再利用定积分的几何意义，用半圆面积表示所要计算的定积分，于是有 所以 18.如图所示，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 等于 （分数：1.00）A.曲边梯形 ABOD 的面积B.梯形 ABOD 的面积C.曲边三角形 ACD 的面积 D.三角形 ACD 的面积解析：解析 19.设 （分数：1.00）A.IJKB.
12、IKJ C.JIKD.KJI解析：解析 当 时， ，且 lnx 在(0，+)单调增，于是有，ln(sinx)ln(cosx)ln(cotx)， ，选 B 虽然 20.设 （分数：1.00）A.I1I2I3B.I3I2I1C.I2I3I1D.I2I1I3 解析：解析 对定积分 两两进行比较 ，注意到在(，2)内 e x2 sinx0，可得 I 2 -I 1 0，即有 I 2 I 1 ，因为在(2，3)内 e x2 sinx0，所以 I 2 I 3 21.设函数 f(x)在(-，+)上连续，则 df(x)dx等于（分数：1.00）A.f(x)B.f(x)dx C.f(x)+CD.f“(x)dx解析
13、：解析 df(x)dx=f(x)dx“dx=f(x)dx 本题主要考查不定积分的性质22.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为（分数：1.00）A.1+sinxB.1-sinx C.1+cosxD.1-cosx解析：解析 由题设可知 f“(x)=sinx，于是 f(x)=f“(x)dx=-cosx+C 1 从而 f(x)的原函数 F(x)=f(x)dx=(-cosx+C 1 )dx=-sinx+C 1 x+C 2 (其中 C 1 ，C 2 为任意常数) 令 C 1 =0，C 2 =1，即得 f(x)的一个原函数为 1-sinx 本题主要考查原函数的概念三、解答题(总题数
14、：15，分数：78.00)23.计算不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 a0，b0 时， 当 a=0，b0 时， 当 a0，b=0 时， 24.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 25.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 26.求xsin 2 xdx （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原式27.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原式28.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法 1 原式 解法 2 原式 29.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 又 .，从而 于是 ，其中 c 为任意常数 由
15、 30.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法 1 原式= 解法 2 原式 31.计算不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原式32.计算e 2x (tanx+1) 2x dx （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原式=e 2x sec 2 xdx+2e 2x tanxdx =e 2x tanx-2e 2x tanxdx+2e 2x tanxdx =e 2x tanx+C(其中 C 为任意常数)33.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 lnx=t，则 x=e t ， 还可这样处理： 34.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 x=tanu，则 dx=sec 2 udu 原式 35.计算不定积分 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解法 1 设 x=tant，则 又e t sintdt=-e t d(cost)=-(e t cost-e t costdt)=-e t cost+e t sint-e t sintdt， 故 因此 其中 C 为任意常数 解法 2 移项整理得 36.求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 arcsine x =t，则 x=ln(sint)， 37.计算不定积分 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 于是 又 所以
