1、考研数学二-93 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：16，分数：16.00)1. （分数：1.00）2. （分数：1.00）3. （分数：1.00）4. （分数：1.00）5. （分数：1.00）6.函数 在区间 （分数：1.00）7. （分数：1.00）8. （分数：1.00）9. （分数：1.00）10. （分数：1.00）11. （分数：1.00）12. （分数：1.00）13. （分数：1.00）14.反常积分 （分数：1.00）15.已知 （分数：1.00）16.设函数 则 （分数：1.00）二、选择题(总题数：5，分数：5.00)17.已知函
2、数 则 f(x)的一个原函数是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.18.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：1.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关19.设函数 若反常积分 （分数：1.00）A.-2B.2C.-20D.0220.下列反常积分中收敛的是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.21.反常积分 （分数：1.00）A.收敛，收敛B.收敛，发散C.发散，收敛D.发散，发散三、解答题(总题数：16，分数：79.00)22.计算定积分 （分数：5.00）_23.已知 ，f“(2)=
3、0 及 （分数：5.00）_24.计算 （分数：5.00）_25.设函数 f(x)在(-，+)上满足 f(x)=f(x-)+sinx，且 f(x)=x，x0，)，计算 （分数：5.00）_26.求 （分数：5.00）_27.设 （分数：5.00）_28.求 （分数：5.00）_29.计算 （分数：5.00）_30.设 （分数：5.00）_31.计算 （分数：5.00）_32.设函数 f(x)，g(x)满足 f“(x)=g(x)，g“(x)=2e x -f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：5.00）_33.如图所示，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，
4、直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：5.00）_34.求 （分数：5.00）_35.计算积分 （分数：5.00）_36.计算 （分数：5.00）_37.计算 （分数：4.00）_考研数学二-93 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：16，分数：16.00)1. （分数：1.00）解析：解析 2. （分数：1.00）解析：2(e 2 +1) 解析 3. （分数：1.00）解析：解析 4. （分数：1.00）解析： 解析 令 ，原式= 一般地 (作
5、t=1-x 的换元)，于是直接有 对于这种积分 5. （分数：1.00）解析：2 解析 原式= 其中 6.函数 在区间 （分数：1.00）解析： 解析 函数 y=f(x)在区间a，b上的平均值是指 ， 故所求的平均值为 令 x=sin，则上式等于 7. （分数：1.00）解析： 解析 这是对称区间上的定积分一般都可利用积分性质而化简计算，所以 8. （分数：1.00）解析：1解析 9. （分数：1.00）解析：解析 10. （分数：1.00）解析：解析 11. （分数：1.00）解析： 解析 令 ，则 x=t 2 +2，dx=2tdt当 x=2 时，t=0；当 x+，t+所以 原式= 12.
6、（分数：1.00）解析： 解析 若令 x=sect，则 dx=secttantdt，于是 也可令 ，于是 13. （分数：1.00）解析： 解析 令 x=sint，dx=costdt，则有 14.反常积分 （分数：1.00）解析：解析 15.已知 （分数：1.00）解析：-2 解析 因为 又因为极限存在，所以 k0， 16.设函数 则 （分数：1.00）解析：解析 二、选择题(总题数：5，分数：5.00)17.已知函数 则 f(x)的一个原函数是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 解法 1 则 C 1 =-1+C 2 ，令 C 1 =C，则 C 2 =1+C， 令
7、 C=0，则 故应选 D 解法 2 利用变限积分函数表示一个原函数记 当 xx 时， 当 x1 时， 故 故应选 D (1)本题考查的是分段函数的原函数，关键是分段点的处理，由于原函数一定是连续函数，故排除选项A，C； (2)解法 2 较解法 1 简单，读者应学会利用变限积分函数来表示一个具体的原函数，即f(x)dx= 18.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：1.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关 解析：解析 当 x0 + 时， ，由于对任意正整数 m，n 都有 故积分 收敛； 当 x1 - 时， 同敛散，且
8、当 x1 - 时， ，则当 x1 - 时， 特殊地，取 ，当 x1 - 时， 成立，此时 收敛，则 收敛，进而 收敛 19.设函数 若反常积分 （分数：1.00）A.-2B.2C.-20D.02 解析：解析 考虑积分 ，当 -10，即 1 时，为普通定积分，积分自然存在；当 -10时， 为无界函数的反常积分，且当 -11，即 2 时收敛，当 -11，即 2 时发散 无穷区间上的反常积分 当 0 时，此反常积分收敛，当 0 时，发散 由以上分析知，若反常积分 20.下列反常积分中收敛的是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 解法 1 排除法易知 A，B，C 三个反常积
9、分是发散的因为 解法 2 直接考查 D 21.反常积分 （分数：1.00）A.收敛，收敛B.收敛，发散 C.发散，收敛D.发散，发散解析：解析 ，收敛； 三、解答题(总题数：16，分数：79.00)22.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 x=sint，有 23.已知 ，f“(2)=0 及 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 t=2x，则 24.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 x=t 2 ，dx=2tdt，于是有 原式= 25.设函数 f(x)在(-，+)上满足 f(x)=f(x-)+sinx，且 f(x)=x，x0，)，计算 （
10、分数：5.00）_正确答案：()解析：解法 1 解法 2 x 在，3中有 26.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原式 对于定积分，开平方在不确定正负的情况下，要加绝对值，本题中 27.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 x-2=t，则原式= 也可以先求出 f(x-2)的表达式，然后再去作积分 28.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原式=29.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 x 2 =sint，则 x=0 时，t=0；x=1 时， 30.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 本题是属于含变限积分的定积分的问题，处理这
11、类定积分时有两种方法：一是可以采用分部积分法(取变限积分函数作为分部积分中的 u，如上解答)，二是可以化累次积分为二重积分，然后交换积分次序进行计算，具体表述为 31.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法 1 原式 解法 2 令 e -x =sint，则 ， 原式= 32.设函数 f(x)，g(x)满足 f“(x)=g(x)，g“(x)=2e x -f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 f“(x)=g(x)得 f“(x)=g“(x)=2e x -f(x)，于是有 解之得 f(x)=sinx-cosx+e x 故 33.如图所
12、示，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 34.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原式=35.计算积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 x-x 2 =x(1-x)， 于是 因此 36.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原式37.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由于 ，故 是反常积分 令 arcsinx=t,有 x=sint， ，则
