1、考研数学二-95 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：9.00)1.由曲线 （分数：1.00）2.曲线 y=-x 3 +x 2 +2x 与 x 轴所围成的图形的面积 A= 1 （分数：1.00）3.位于曲线 y=xe -x (0x+)下方，x 轴上方的无界图形的面积是 1 （分数：1.00）4.设曲线的极坐标方程为 =e a (a0)，则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 1 （分数：1.00）5.设封闭曲线 L 的极坐标方程为 （分数：1.00）6.当 0 时，对数螺线 r=e 的弧长为 1 （分数：1.00）
2、7.曲线 （分数：1.00）8.质点以速度 tsint 2 米/秒作直线运动，则从时刻 （分数：1.00）9.一根长度为 1 的细棒位于 x 轴的区间0，1上，若其线密度 (x)=-x 2 +2x+1，则该细棒的质心坐标 （分数：1.00）二、解答题(总题数：29，分数：91.00)10.过点(0，1)作曲线 L：y=lnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域 D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：3.00）_11.设 D 是由曲线 （分数：3.00）_12.设 A0，D 是由曲线段 及直线 y=0， （分数：
3、3.00）_13.计算曲线 y=ln(1-x 2 )上相应于 （分数：3.00）_14.求摆线 （分数：3.00）_15.设 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)处的曲率半径，s=s(x)是抛物线上介于点 A(1，1)与M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为 （分数：3.00）_16.设有曲线 （分数：3.00）_17.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足 xf“(x)=f(x)+ （分数：3.00）_18.求微分方程 xdy+(x-2y)dx=0 的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)与直线 x=1，x=2 以及 x 轴
4、所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小 （分数：3.00）_设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 （分数：4.00）(1).求曲线 y=f(x)的方程：（分数：2.00）_(2).已知曲线 y=sinx 在0，上的弧长为 l，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s（分数：2.00）_曲线 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).计算极限 （分数：2.00）_已知曲线 L 的方程为 （分数：3.00）(1).讨论 L 的凹凸性；（分数：1.00）_(2).过点(-1，0)引 L 的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程；（分数：1.00）_(3)
5、.求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积（分数：1.00）_19.设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“-y“+2=0，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积 （分数：3.00）_设曲线 L 的方程为 （分数：4.00）(1).求 L 的弧长；（分数：2.00）_(2).设 D 是由曲线 L，直线 x=1，x=e 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标（分数：2.00）_20.设函数 ，x0，1，定义函数列： f 1 (x)=f(x)，f 2 (x)
6、=ff 1 (x)，f n (x)=ff n-1 (x)， 记 S n 是由曲线 y=f n (x)，直线 x=1 及 x 轴所围平面图形的面积，求极限 （分数：3.00）_21.已知函数 f(x，y)满足 （分数：3.00）_22.设 D 是由曲线 （分数：3.00）_23.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图)已知井深 30m，抓斗自重400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3m/s在提升过程中，污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功? (说明：1N1m=1J；m，N，s
7、，J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：3.00）_24.某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与下部承受的水压力之比为 5:4闸门矩形部分的高 h 应为多少米? （分数：3.00）_25.一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时(如图)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常量 ，单位为kg/m 3 ) （分数：3.00）_26
8、.一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 连接而成 （分数：3.00）_设 f(x)在(-，+)上有连续导数，且 mf(x)M（分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).证明 （分数：2.00）_27.设 f“(x)在0，a上连续，且 f(0)=0，证明： ，其中 （分数：3.00）_28.设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， （分数：3.00）_设函数 （分数：3.00）(1).当 n 为正整数，且 nx(n+1) 时，证明：2nS(x)2(n+1)；（分数：1.50）_(2).求 （分数：1.50）_29.设函数 f(x)在0，上连续
9、，且 （分数：3.00）_(1).证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得（分数：1.50）_(2).若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)， （分数：1.50）_设函数 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 f(x)单调增加，0g(x)1证明：（分数：3.00）(1). （分数：1.50）_(2). （分数：1.50）_已知函数 f(x)在 上连续，在 内是函数 （分数：3.00）(1).求 f(x)在区间 （分数：1.50）_(2).证明 f(x)在区间 （分数：1.50）_考研数学二-95 答案解析(总分：100.00，做题时间：
10、90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：9.00)1.由曲线 （分数：1.00）解析： 解析 由图可知所求面积为 2.曲线 y=-x 3 +x 2 +2x 与 x 轴所围成的图形的面积 A= 1 （分数：1.00）解析： 解析 本题是求一条三次抛物线与 x 轴所围图形的面积应先求出函数 y=-x 3 +x 2 +2x 的零点：x 1 =-1，x 2 =0，x 3 =2判断图形哪一部分在 x 轴下方，哪一部分在上方，则 3.位于曲线 y=xe -x (0x+)下方，x 轴上方的无界图形的面积是 1 （分数：1.00）解析：1解析 4.设曲线的极坐标方程为 =e a (a0)，则该曲线上相应于
11、从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 1 （分数：1.00）解析：解析 5.设封闭曲线 L 的极坐标方程为 （分数：1.00）解析： 解析 曲线 所围成的是“三叶玫瑰线”的一个“花瓣”，注意到图形关于极轴的对称性，其面积为 6.当 0 时，对数螺线 r=e 的弧长为 1 （分数：1.00）解析： 解析 根据弧长公式得 7.曲线 （分数：1.00）解析：解析 8.质点以速度 tsint 2 米/秒作直线运动，则从时刻 （分数：1.00）解析： 解析 质点所经过的路程为 9.一根长度为 1 的细棒位于 x 轴的区间0，1上，若其线密度 (x)=-x 2 +2x+1，则该细棒的质心坐
12、标 （分数：1.00）解析：解析 质心坐标二、解答题(总题数：29，分数：91.00)10.过点(0，1)作曲线 L：y=lnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域 D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设切点 A 的坐标为(x 1 ，y 1 )，则切线方程为 将点(0，1)代入该切线方程，并注意到 y 1 =lnx 1 ，解得 x 1 =e 2 ，y 1 =2 所求面积为 所求体积为 11.设 D 是由曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 V y =10V
13、x ，即 ，解得 12.设 A0，D 是由曲线段 及直线 y=0， （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 A0，可得 因为 V 1 =V 2 ，即 13.计算曲线 y=ln(1-x 2 )上相应于 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 14.求摆线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 15.设 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)处的曲率半径，s=s(x)是抛物线上介于点 A(1，1)与M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 所以抛物线在点 M(x，y)处的曲率半径 抛物线上 的弧长 由参
14、数方程求导公式得 从而 16.设有曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设切点的横坐标为 x 0 ，则切点 ，曲线 在此点的切线斜率为 ，于是切线方程为 又因它经过原点，以点(0，0)代入，得-2(x 0 -1)=-x 0 ，解得 x 0 =2，于是切线方程为 ，即 ，切点为(2，1) 由曲线段 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 由直线段 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 因此，所求旋转体的表面积为 17.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足 xf“(x)=f(x)+ （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由题设知，当 x0
15、 时， ，据此并由 f(x)在点 x=0 处的连续性，得 又由已知条件得 即 C=4-a， 因此 旋转体的体积为 由 得 a=-5， 又因 18.求微分方程 xdy+(x-2y)dx=0 的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)与直线 x=1，x=2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 原方程可化为 这是一阶线性非齐次微分方程，故直接套用公式得 由曲线 y=x+Cx 2 ，直线 x=1，x=2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积为 令 V“(C)=0，得 解出 又 为唯一极小值点，也就是最小
16、值点因此， 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 （分数：4.00）(1).求曲线 y=f(x)的方程：（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 曲线 y=f(x)在点 P(x，y)处的法线方程为 其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标令 X=0，则 故 Q 点坐标为 由题设知 积分得 x 2 +2y 2 =C 由 (2).已知曲线 y=sinx 在0，上的弧长为 l，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 曲线 y=sinx 在0，上的弧长为 曲线 y=f(x)的参数方程为 故 令 ，则 曲线 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_
17、正确答案：()解析：解 所以 (2).计算极限 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 已知曲线 L 的方程为 （分数：3.00）(1).讨论 L 的凹凸性；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 由于 当 t0 时， (2).过点(-1，0)引 L 的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 因为当 t=0 时，L 在对应点处的切线方程为 x=1，不合题意，故设切点(x 0 ，y 0 )对应的参数为 t 0 0，则 L 在(x 0 ，y 0 )处的切线方程为 令 x=-1，y=0得 (3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部
18、分)及 x 轴所围成的平面图形的面积（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 由 y=0 时 t=0，t=4 知 L 与 x 轴的交点分别为(1，0)和(17，0)故所求平面图形的面积为 19.设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“-y“+2=0，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 记 y“=p，则 y“=p“，代入微分方程，当 x0 时， 解得 因此 由已知 y(0)=0，有 ，于是 C 2 =0，故 由题意，有 所以 C 1 =6，因此 y
19、=2x+3x 2 由于 故所求体积为 设曲线 L 的方程为 （分数：4.00）(1).求 L 的弧长；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 ，则 于是 L 的弧长 (2).设 D 是由曲线 L，直线 x=1，x=e 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 平面图形 D 的形心横坐标的计算公式为 ，其中 所以 D 的形心的横坐标为 平面区域 D 的形心一般表达式为： 20.设函数 ，x0，1，定义函数列： f 1 (x)=f(x)，f 2 (x)=ff 1 (x)，f n (x)=ff n-1 (x)， 记 S n 是由曲线 y=f n (
20、x)，直线 x=1 及 x 轴所围平面图形的面积，求极限 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由数学归纳法得 于是 故 21.已知函数 f(x，y)满足 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(x，y)=(y+1) 2 +g(x) 又 f(y，y)=(y+1) 2 -(2-y)lny，得 g(y)=-(2-y)lny， 因此 f(x，y)=(y+1) 2 -(2-x)lnx 于是，曲线 f(x，y)=0 的方程为 (y+1) 2 =(2-x)lnx(1x2) 其所围图形绕直线 y=-1 旋转所成旋转体的体积为 对于偏微分 22.设 D 是由曲线 （分数：3.00）_正确
21、答案：()解析：解 设 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，表面积为 S，则 23.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图)已知井深 30m，抓斗自重400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3m/s在提升过程中，污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功? (说明：1N1m=1J；m，N，s，J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 作 x 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功 W=W
22、1 +W 2 +W 3 ， 其中 W 1 是克服抓斗自重所作的功；W 2 是克服缆绳重力所作的功；W 3 为提出污泥所作的功由题意知 W 1 =40030=12000(J) 将抓斗由 x 处提升到 x+dx 处，克服缆绳重力所作的功为 dW 2 =50(30-x)dx， 从而 在时间间隔t，t+dt内提升污泥需作功为 dW 3 =3(2000-20t)dt， 将污泥从井底提升至井口共需时间 ，所以 24.某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与下部承受的水压力之比
23、为 5:4闸门矩形部分的高 h 应为多少米? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 坐标系的建立如图，则闸门下部边缘抛物线的方程为 y=x 2 (-1x1) 由侧压力公式知，闸门矩形部分所承受的水压力为 其中 为水的密度，g 为重力加速度 同理，闸门下部承受的水压力为 按题意 ，因而有 即 3h 2 -5h-2=0， 解之得 h=2， 25.一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时(如图)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常量 ，单位为kg/m 3 ) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解
24、 如图所示建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形记 S 1 为下半椭圆面积，则 记 S 2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积，则 设 y=bsint，则 dy=bcostdt， 于是油的质量为 26.一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 连接而成 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解法 1 ()由对称性，所求的容积为 即该容器的容积为 ()因为当 时，功的微元 dW=10 3 g(1-y 2 )(2-y)dy； 当 时，功的微元 dW=10 3 g1-(y-1) 2 )(2-y)dy， 故所求的功为 即所求的功为 解法 2 ()所
25、求的容积为 即该容器的容积为 设 f(x)在(-，+)上有连续导数，且 mf(x)M（分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由积分中值定理和微分中值定理有 (2).证明 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证 由 f(x)的有界性及积分估值定理有 又 -M-f(x)-m， 故有 即 27.设 f“(x)在0，a上连续，且 f(0)=0，证明： ，其中 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证法 1 任取 x(0，a，由微分中值定理有 f(x)-f(0)=f“()x，(0，x) 又因 f(0)=0，故 f(x)=f“()x，x(0，a，于是 证法 2 设
26、x0，a，由 f(0)=0 知 于是 故 对积分 28.设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：证法 1 其中 0 1 2 1因 f(x)递减，则有 f( 1 )f( 2 ) 又 0，1-0，所以 (1-)f( 1 )-f( 2 )0，即原不等式成立 证法 2 令 又 f(x)递减，于是，当 0 时，F“()0，当 1 时，F“()0，且 F(0)=F(1)=0，所以 ，即 设函数 （分数：3.00）(1).当 n 为正整数，且 nx(n+1) 时，证明：2nS(x)2(n+1)；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为|cosx
27、|0，且 nx(n+1)，所以 又因为|cosx|是以 为周期的函数，在每个周期上积分值相等，所以 (2).求 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 由第一小题知，nx(n+1) 时，有 令 x+，由夹逼准则得 29.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证 令 则有 F(0)=0，F()=0又因为 所以存在 (0，)，使 F()sin=0若不然，则在(0，)内或 F(x)sinx 恒为正，或 F(x)sinx 恒为负，均与 (1).证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得（分数：1.50）_正确答案：()解析：证 设 M 与 m 是连续函数 f(x)在a，b上的最大值与最小值，即 mf(x)M，x
