1、考研数学二-线性代数(三)及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：40.00)1.2，-1，a) T可以由 1=(1，-2，3，-4) T， 2=(0，1，-1，1) T， 3=(1，3，a，1) T线性表出，则a=_（分数：4.00）填空项 1:_2.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且 A2-AB=E，则 r(AB-BA+2A)=_（分数：4.00）填空项 1:_3.设 （分数：4.00）填空项 1:_4.已知 A 是 4 阶矩阵， 1与 2是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，则 r(A*)*=_（分数：4.00）填空项 1:_5.已知向量组
2、1=(1，1，1，3) T， 2=(-a，-1，2，3) T， 3=(1，2a-1，3，7) T， 4=(-1，-1，a-1，-1) T的秩为 3，则 a= _（分数：4.00）填空项 1:_6.已知 4 维列向量 1， 2， 3线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交，则秩r( 1， 2， 3， 4)=_（分数：4.00）填空项 1:_7.齐次方程组 （分数：4.00）填空项 1:_8.已知 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，其中 （分数：4.00）填空项 1:_9.已知方程组 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 1=(-3，2，0) T， 2=(-1，
3、0，-2) T是方程组（分数：4.00）填空项 1:_二、单项选择题(总题数：1，分数：4.00)11.设 1， 2， 3， 4是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 4 个解向量，且 1+ 2=(2，4，6，8)T， 2+ 3+ 4=(3，5，7，9) T， 1+2 2- 3=(2，0，O，2) T，若秩 r(A)=2，则方程组 Ax=b 的通解是（分数：4.00）A.B.C.D.三、分析论述题(总题数：21，分数：105.00)12.已知向量组() 1=(1，3，0，5) T， 2=(1，2，1，4) T， 3=(1，1，2，3) T与向量组() 1=(1，-3，6，-1) T， 2=(
4、a，0，6，2) T等价，求 a，b 的值（分数：5.00）_13.设 n 维向量 1， 2， s线性无关，而 1， 2， s， 线性相关，证明 可以由 1， 2， s线性表出，且表示方法唯一（分数：5.00）_14.已知 A 是 n 阶非零矩阵，且 A 中各行元素对应成比例，又 1， 2， t是 Ax=0 的基础解系，不是 Ax=0 的解证明任一 n 维向量均可由 1， 2， t， 线性表出（分数：5.00）_15.设向量组() 1， 2， s和() 1， 2， t，如果()可由()线性表出，且秩 r(I)=r()，证明()可由()线性表出（分数：5.00）_16.已知 4 维向量 1， 2
5、， 3， 4线性相关，而 2， 3， 4， 5线性无关，() 证明 1可由 2， 3， 4线性表出；() 证明 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出；() 举例说明 2能否由 1， 3， 4， 5线性表出是不确定的（分数：5.00）_17.已知 n 维向量 1， 2， 3线性无关，且向量 可由 1， 2， 3中的任何两个向量线性表出，证明 =0（分数：5.00）_18.已知向量组 1， 2， s线性无关，若=l 1 1+l2 2+ls s，其中至少有 li0，证明用 替换 i后所得向量组 1， i-1， i+1， s线性无关（分数：5.00）_19.设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， t是
6、齐次方程组 Ax=0 的基础解系，若存在 i使A i= i，i=1，2，t，证明向量组 1， 2， t， 1， 2， t线性无关（分数：5.00）_20.已知 n 维列向量 1， 2， s非零且两两正交，证明 1， 2， s线性无关（分数：5.00）_21.已知 1， 2是矩阵 A 两个不同的特征值， 1， 2， s和 1， 2， t分别是矩阵 A 属于特征值 1和 2的线性无关的特征向量证明： 1， 2， s， 1， 2， t线性无关（分数：5.00）_22.设 A 是 mn 矩阵，对矩阵 A 作初等行变换得到矩阵 B，证明矩阵 A 的列向量与矩阵 B 相应的列向量有相同的线性相关性（分数：
7、5.00）_23.6 试讨论 n 维向量 1， 2， s的线性相关性，其中 （分数：5.00）_24.设 1， 2， s和 1， 2， t是两个线性无关的 n 维向量组，证明：向量组 1， 2， s， 1， 2， t线性相关的充分必要条件是存在非 0 向量 ， 既可由 1， 2， s线性表出，也可由 1， 2， t线性表出（分数：5.00）_25.已知 1， 2， 3是非齐次线性方程组 3 个不同的解，证明：() 1， 2， 3中任何两个解向量均线性无关；()如果 1， 2， 3线性相关，则 1- 2， 1- 3线性相关（分数：5.00）_26.已知向量组 有相同的秩，且 3可由 1， 2，
8、3线性表出，求 a，b 的值（分数：5.00）_27.已知 A 是 34 矩阵，秩 r(A)=1，若 1=(1，2，0，2) T， 2=(1，-1，a，5) T， 3=(2，a，-3，-5)T， 4=(-1，-1，1，a) T线性相关，且可以表示齐次方程组 Ax=O 的任一解，求 Ax=0 的基础解系（分数：5.00）_28.已知 1， 2， t是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，判断并证明 1+ 2， 2+ 3， t-1+ t， t+ 1是否为 Ax=0 的基础解系。（分数：5.00）_29.设 A 是(n-1)n 矩阵，划去 A 中第 j 列所得到的行列式记为 Dj如果 Dj(j=1，2，
9、n)不全为 0，证明(D 1，-D 2，(-1) n-1Dn)T是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：5.00）_30.解方程组（分数：5.00）_31.设 （分数：5.00）_32.设矩阵 A=( 1， 2， 3)，线性方程组 Ax= 的通解是(1，-2，o) T+k(2，1，1) T，若B=( 1， 2， 3，-5 3)，求方程组 By=+ 3的通解（分数：5.00）_考研数学二-线性代数(三)答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：40.00)1.2，-1，a) T可以由 1=(1，-2，3，-4) T， 2=(0，1，-1，1) T， 3
10、=(1，3，a，1) T线性表出，则a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：设 x1 1+x2 2+x3 3=，对( 1， 2， 3*)作初等行变换，有*当 a2 时，r(A)r(A)方程组无解， 不能由 1， 2， 3线性表出，故 a=22.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且 A2-AB=E，则 r(AB-BA+2A)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n）解析：由于 A(A-B)=E，且 A，A-B 均为 n 阶矩阵，故知 A 可逆且其逆是 A-B，那么A(A-B)=(A-B)A=E即有 A 2-AB=A2-BA故 AB=BA从而 r(AB-BA+2A)=
11、r(2A)=r(A)=n3.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由于*故本题中 r(AA*)=1 * r(A)=3因为 A 是实对称矩阵且矩阵 A 的特征值是 a+3b，a-b，a-b，a-b，因此*4.已知 A 是 4 阶矩阵， 1与 2是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，则 r(A*)*=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：因为 1 2是齐次方程组 Ax=0 的非零解，故|A|=0由于 * 评注 用关系式(A *)*=|A|n-2A 亦可5.已知向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(-a，-1，2，3) T， 3=(1，2a-1，3，
12、7) T， 4=(-1，-1，a-1，-1) T的秩为 3，则 a= _（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：对 A=( 1， 2， 3， 4)作初等行变换，有* 如果 a=1，则矩阵 A 转化为*6.已知 4 维列向量 1， 2， 3线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交，则秩r( 1， 2， 3， 4)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：记*A 是秩为 3 的 34 矩阵，由于 i与 1， 2， 3均正交，故 i是齐次方程组 Ax=0 的非零解又因 i非零，故 1r( 1， 2， 3， 4)n-r(A)=1所以秩 r(
13、 1， 2， 3， 4)=17.齐次方程组 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 1， 2）解析：* 评注 这是常见的基础题，没有难度但出错率高，应引起重视，一定要加强基本功，提高计算能力，自由变量的取法多种多样，应把握住确定自由变量的原则及赋值方法8.已知 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：因为 A 是 43 矩阵，基础解系中仅一个解向量，故 3-r(A)=1，即 r(A)=2 * 评注 本题亦可改为求 ，则应求出 a=0 后再消元求解注意只需把 a=0 代入最后一个矩阵，即有 a=(-3，1，1) T9.已知方程组
14、（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(3，-1，0) T+k(-5,2,1)，k 为任意数）解析：对增广矩阵作初等行变换，有*10.已知 1=(-3，2，0) T， 2=(-1，0，-2) T是方程组（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*二、单项选择题(总题数：1，分数：4.00)11.设 1， 2， 3， 4是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 4 个解向量，且 1+ 2=(2，4，6，8)T， 2+ 3+ 4=(3，5，7，9) T， 1+2 2- 3=(2，0，O，2) T，若秩 r(A)=2，则方程组 Ax=b 的通解是（分数：4.00）A. B.C.
15、D.解析：因为方程组 Ax=b 有解，且秩 r(A)=2，那么 n-r(A)=4-2=2，故通解形式为 +k 1 1+k2 2显然(D)不符合解的结构，应排除(C)中(3，5，7，9) T不是 Ax=b 的解也应排除下面应当用解的性质分析出特解 及导出组的基础解系由于 A( 1+ 2)=2b，有*因此(1，2，3，4) T是方程组 Ax=b 的一个解又( 2+ 3+ 4)-( 1+ 2)= 3+( 4- 1)=(1，1，1，1) T也是方程组 Ax=b 的解而( 1+ 2)-( 1+2 2- 3)= 3- 2=(0，4，6，6) T，3( 1+ 2)-2( 2+ 3+ 4)=2( 1- 3)+
16、( 1- 4)+( 2- 4)=(0，2，4，6) T是导出组 Ax=0 的解故应选(A)三、分析论述题(总题数：21，分数：105.00)12.已知向量组() 1=(1，3，0，5) T， 2=(1，2，1，4) T， 3=(1，1，2，3) T与向量组() 1=(1，-3，6，-1) T， 2=(a，0，6，2) T等价，求 a，b 的值（分数：5.00）_正确答案：(由于- 1+2 2= 3，只需考察 1， 2与 1， 2的互相线性表出问题* 方程组 x1 1+x2 2= 2有解*b-3a=0，2-2a=0 *a=1，b=3即()可由()线性表出的充要条件是 a=1，b=3反之，当 a=
17、1，b=3 时，*方程组 x1 1+x2 2= 1与 x1 1+x2 2= 2均有解，说明()可由()线性表出，所以()与()等价时，a=1，b=3)解析：13.设 n 维向量 1， 2， s线性无关，而 1， 2， s， 线性相关，证明 可以由 1， 2， s线性表出，且表示方法唯一（分数：5.00）_正确答案：(证明 因为 1， 2， s， 线性相关，故存在不全为 0 的 k1，k 2，k s，k 使得k1 1+k2 2+ks s+k=0，那么必有 k0(否则 k1，k 2，k s不全为 0，而后 k1 1+k2 2+ks s=0，这与 1， 2， s线性无关相矛盾)从而*，即 可以由 1
18、 2， s线性表出如果 有两种表示方法，设为=x 1 1+x2 2+xs s及 =y 1 1+y2 2+ys s，那么 (x 1-y1) 1+(x2-Y2) 2+(xs-Ys) s=0因为 x1-y1，x 2-y2，x s-ys不全为 0，从而 1， 2， s线性相关，与已知矛盾故 的表示法唯一)解析：14.已知 A 是 n 阶非零矩阵，且 A 中各行元素对应成比例，又 1， 2， t是 Ax=0 的基础解系，不是 Ax=0 的解证明任一 n 维向量均可由 1， 2， t， 线性表出（分数：5.00）_正确答案：(证明 因为矩阵 A 中各行元素对应成比例，故 r(A)=1，因此 t=n-1若
19、k 1 1+k2 2+kn-1 n-1+l=0， 用 A 左乘，并把 A i=0(i=1，2，n-1)代入，得lA=0由于 A0，故 l=0于是式为k1 1+k2 2+kn-1 n-1=0 因为 1， 2， n-1是基础解系，知 1， 2， n-1线性无关从而由知 k1=0，k 2=0，k n-1=0因此 1， 2， n-1， 线性无关对任一 n 维向量 ，由于任意 n+1 个 n 维向量 1， 2， n-1， 必线性相关，那么 必可由 1， n-1， 线性表出)解析：评注 由于 不是 Ax=0 的解即 不能由 1， 2， n-1线性表出，即方程组 x1 1+xn-1 n-1= 无解，故r(
20、1， n-1，)=r( 1， n-1)+1=n， 即 1， 2， n-1， 线性无关15.设向量组() 1， 2， s和() 1， 2， t，如果()可由()线性表出，且秩 r(I)=r()，证明()可由()线性表出（分数：5.00）_正确答案：(设秩 r()=r()=r，()的极大线性无关组为：*因为()可由()线性表出，那么r( 1， 2， s， 1， 2， t)=r( 1， 2， s)=r所以*是向量组 1， 2， s， 1， 2， t的一个极大线性无关组从而 1， 2， t可由*线性表出，即 1， 2， t可由 1， 2， s线性表出)解析：16.已知 4 维向量 1， 2， 3， 4
21、线性相关，而 2， 3， 4， 5线性无关，() 证明 1可由 2， 3， 4线性表出；() 证明 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出；() 举例说明 2能否由 1， 3， 4， 5线性表出是不确定的（分数：5.00）_正确答案：()由 2， 3， 4， 5线性无关，可知 2， 3， 4线性无关，又因 1， 2， 3， 4线性相关，所以 1可由 2， 3， 4线性表出或者，由 1， 2， 3， 4线性相关知有不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4，使k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，那么必有 k10(否则有 k2，k 3，k 4不全为 0 而 k2 2+k3 3+k4 4=
22、0，于是 2， 3， 4线性相关，这与 2， 3， 4， 5线性无关相矛盾)从而*即 1可由 2， 3， 4线性表出 ()如果 5=k1 1+k2 2+k3 3+k4 4，由()可设 1=l2 2+l3 3+l4 4，那么 5=(k1l2+k2) 2+(k1l3+k3) 3+(k1l4+k4) 4，这与 2， 3， 4， 5线性无关相矛盾，从而 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出()设 2=(1，0，0，0) T， 1=(0，1，0，0) T， 4=(0，0，1，0) T， 5=(0，0，0，1) T，那么当 1=(1，1，1，0) T时， 2可由 1， 3， 4， 5线性表出；而当 1=
23、 3时， 2不能由 1， 3， 4， 5线性表出)解析：17.已知 n 维向量 1， 2， 3线性无关，且向量 可由 1， 2， 3中的任何两个向量线性表出，证明 =0（分数：5.00）_正确答案：(因为 可由 1， 2， 3中的任何两个向量线性表出，故可设=x 1 1+x2 2， = y 2 2+y3 3， =z 1 1 +z3 3， -：x 1 1+(x2-y2) 2-y3 3=0，-：(x 1-z1) 1+x2 2-z3 3=0因为 1， 2， 3线性无关，所以x1=0， x 2-y2=0， y 3=0， x 1-z1=0， x 2=0， z 3=0从而 x1=x2=Y2=Y3=z1=Z
24、3=0故 =0)解析：18.已知向量组 1， 2， s线性无关，若=l 1 1+l2 2+ls s，其中至少有 li0，证明用 替换 i后所得向量组 1， i-1， i+1， s线性无关（分数：5.00）_正确答案：(证法一 (用定义) 如果 k1 1+ki-1 i-1+k+k i+1 i+1+ks s=0，将已知条件=l 1 1+ks s代入，并整理有(k1+kl1) 1+(k2+kl2) 2+(ki-1+kli-1) i-1 +kli i +(ki+1+kli+1) i+1+(ks+kls) s=0由于已知向量组 1， 2， s线性无关，故必有* 由于 li0，kl i=0 知 k=0，进
25、而知必有 k 1=0，k 2=0，k s=0所以向量组 1， i-1， i+1， s线性无关证法二 (用秩) 由于 1， i-1， i+1， s可用 1， 2， s线性表出，用矩阵表示有( 1， i-1， i+1， s)= 1， 2， s)C，其中*记 A=( 1， i-1， i+1， s)， B=( 1， 2， s)，即 A=BC，因为 liO，C 是 s 阶可逆矩阵，故r(A)=r(BC)=r(B)=r( 1， s)=s所以向量组 1， i-1， i+1， s线性无关证法三 (用等价向量组) 令() 1， 2， s与() 1， i-1， i+1， s由于 1， i-1， i+1， s()，
26、且已知 =l i i所以向量组()可以由向量组()线件表出又因 li0，有*即 i可以由向量组()线性表出，进而向量组()可由向量组()线性表出因此，向量组()与()可以互相线性表出，它们有相同的秩，r()=r()由于()线性无关，r()=s，故 r()=r( 1， i-1， i+1， s)=s即向量组()线性无关)解析：*评注二 若 1， 2， s可以由 1， 2， t线性表出，则秩 r( 1， 2， s)r( 1， 2， t)，那么，当向量组 1， 2， s与向量组 1， 2， t等价时，这两个向量组有相同的秩，要注意的是，两个等价的向量组由于向量的个数不一定相同，因而它们的线性相关性不一
27、定相同19.设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， t是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，若存在 i使A i= i，i=1，2，t，证明向量组 1， 2， t， 1， 2， t线性无关（分数：5.00）_正确答案：(定义法，同乘)如果k1 1+k2 2+kt t+l1 1+l2 2+lt t=0，用 A 左乘上式，并把 A i=0，A i= i，i=1，2，t 代入，得l1 1+l2 2+lt t=0 因为 1， 2， t是 Ax=0 的基础解系，它们线性无关，故对必有l1=0，l 2=0，l t=0代入式，有 k 1 1+k2 2+kt t=0所以必有 k 1=0，k 2=0，k t=0即向量
28、组 1， 2， t， 1， 2， t线性无关)解析：评注 请你证明：若 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s是矩阵 A 属于特征值 1的线性无关的特征向量， 1， 2， t是矩阵 A 属于特征值 2的线性无关的特征向量，且 1 2，证明 1， 2， s， 1， 2， t线性无关(提示：定义法，用 A 乘，用 1乘)20.已知 n 维列向量 1， 2， s非零且两两正交，证明 1， 2， s线性无关（分数：5.00）_正确答案：(证明 (定义法，同乘)若 k1 1+k2 2+ks s=0，用*左乘上式，得* 由于 1与 2， n均正交，有*(i=2，s)从而 *又因 10 知| 1|0，得到 k
29、1=0同理可证 k2=0，k s=0，因此，向量组 1， 2， s线性无关)解析：分析 向量 ， 正交，即内积为 0，即 T= T=0 *21.已知 1， 2是矩阵 A 两个不同的特征值， 1， 2， s和 1， 2， t分别是矩阵 A 属于特征值 1和 2的线性无关的特征向量证明： 1， 2， s， 1， 2， t线性无关（分数：5.00）_正确答案：(按特征值定义，有A i= 1 i(i=1，2，s)，A j，= 2 j(j=l，2，t)如果 k1 1+k2 2+ks s+l1 1+l2 2+lt t=0， (1)用 A 左乘(1)式两端，有 1k1 1+ 1k2 2+ 1ks s+ 2l
30、1 1+ 2l2 2+ 2lt t=0 (2)由(1) 1-(2)得( 1- 2)(l1 1+l2 2+lt t)=0因为 1 2，故l1 1+l2 2+lt t=0由于 1， 2， t线性无关，故必有 l1=0，l 2=0，l t=0同理可证 k1=0，k 2=0，k s=0从而 1， 2， s， 1， 2， t线性无关)解析：22.设 A 是 mn 矩阵，对矩阵 A 作初等行变换得到矩阵 B，证明矩阵 A 的列向量与矩阵 B 相应的列向量有相同的线性相关性（分数：5.00）_正确答案：(因经初等行变换由 A 可得到 B，故存在初等矩阵 P1，P 2，P s使 PsP2P1A=B对矩阵 A，
31、B 按列分块，并记 A=( 1， 2， n)， B=( 1， 2， n)，P=P sP2P1，则有P( 1， 2， n)=( 1， 2， n)于是 P i= i(i=1，2，n)A 的列向量*线性相关，)解析：评注 由于 A 的列向量中相应的列向量有相同的线线性相关性，这就为我们求向量组的秩与极大线性无关组提供了方法*23.6 试讨论 n 维向量 1， 2， s的线性相关性，其中 （分数：5.00）_正确答案：(若 i= j，则向量组中有相等的向量，必线性相关下设 1， 2， s互不相同，则()若 sn，则 1， 2， s必线性相关()若 s=n，则因*必有 1， 2， n线性无关()若 sn
32、，令*由()知 1， 2， s线性无关，那么其延伸组 1， 2， s必线性无关)解析：24.设 1， 2， s和 1， 2， t是两个线性无关的 n 维向量组，证明：向量组 1， 2， s， 1， 2， t线性相关的充分必要条件是存在非 0 向量 ， 既可由 1， 2， s线性表出，也可由 1， 2， t线性表出（分数：5.00）_正确答案：(因为 1， 2， s， 1， 2， t线性相关，故存在不全为 0 的k1，k 2，k s，l 1，l 2，l i使得 k 1 2+k2 2+ks s+l1 1+l2 2+lt t=0，令=k 1 1+k2 2+ks s=-l1 1-l2 2-lt t，则必有 y0否则k1 1+k2 2+ks s=0 且-l 1 1-l2 2-lt t=0由于 1， 2， s与 1， 2， t均线性无关，故 k1=k2=ks=0，l 1=l2=lt=0，这与k1，k 2，k s，l 1，l 2，l t不全为 0 相矛盾从而有非 0 的 ，它既可由 1， 2， s线性表出，也可由 1， 2，
