1、考研数学二-线性代数特征值、特征向量、相似矩阵及答案解析(总分：126.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：28.00)1.A，B 是 n阶矩阵，且 AB，则（分数：4.00）A.A，B 的特征矩阵相同B.A，B 的特征方程相同C.A，B 相似于同一个对角阵D.2.已知 A是三阶矩阵，r（分数：4.00）A.=1，则 =0(A) 必是 A的二重特征值B.至少是 A的二重特征值C.至多是 A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能3.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 是可逆矩阵，且 ，则
2、A（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A是三阶矩阵，有特征值 1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（分数：4.00）A.E-AB.C.D.7.A是三阶矩阵，P 是三阶可逆矩阵， （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：28.00)8.A满足关系式 A2-2A+E=0，则 A的特征值的取值范围是 1（分数：4.00）填空项 1:_9.已知-2 是 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 =1，a T是 （分数：4.00）填空项 1:_11.三阶矩阵 A有特征值-1，1，2，B=A-3A 2，则|B|= 1（分数：4.00）填空项 1:_12.已知 （分数：4.0
3、0）填空项 1:_13.已知是 A的对应于 (单根)的特征向量，则 P-1AP对应于 的一个特征向量是 1（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A是 n阶实对称阵， 1， 2， n是 A的 n个互不相同的特征值， 1是 A的对应于 1的 1个单位特征向量，则矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：70.00)15.已知 （分数：5.00）_16.设 （分数：5.00）_17.已知 （分数：5.00）_18.已知 A=aijnn，其中 aij=1(i=1，2，n；j=1，2，n)，求可逆阵 P，使 P-1AP=A（分数：5.00）_19.设 （分数：5.00）_
4、设三阶实对称矩阵 A有特征值 1=1， 2=2， 2=3A 的对应于 1=1， 2=2的特征向量分别是 1=-1，-1，1 T， 2=1， 2，-1 T，（分数：5.00）(1).求 A的属于 3=3的特征向量（分数：2.50）_(2).求 A（分数：2.50）_20.设 A是三阶矩阵，有特征值 1， 2， 3，其对应的特征向量分别是 1=1，0，0 T， 2=1，1，0T， 3=1，1，1 T，求 An（分数：5.00）_21.设 A是三阶矩阵，有特征值 1=1， 2=-2， 3=3，对应的特征向量分别是 1=1，-2，1T， 2=1，0，-1 T， 3=1，1，1 T，=3，-1，1 T，
5、求 A100（分数：5.00）_22.已知 （分数：5.00）_23.设 A33与对角阵 （分数：5.00）_24.设 A是 n阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是数，且 ， 是 n维非零向量，证明 ， 正交（分数：5.00）_25.设 1， 2， n是 A=aijnn的 n个特征值，证明（分数：5.00）_26.已知 A是 n阶实对称阵， 1， 2， n是 A的特征值， 1， 2， n是 A的 n个标准正交特征向量，证明 A可表示为（分数：5.00）_设 A=E+XTY，其中，X=x 1，x 2，x n，y=y 1，y 2，y n，且 XYT=2（分数：5.00）(1).求 A的特征值
6、和特征向量；（分数：2.50）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A（分数：2.50）_考研数学二-线性代数特征值、特征向量、相似矩阵答案解析(总分：126.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：28.00)1.A，B 是 n阶矩阵，且 AB，则（分数：4.00）A.A，B 的特征矩阵相同B.A，B 的特征方程相同 C.A，B 相似于同一个对角阵D.解析：提示 相似矩阵有相同的特征值2.已知 A是三阶矩阵，r（分数：4.00）A.=1，则 =0(A) 必是 A的二重特征值B.至少是 A的二重特征值 C.至多是 A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析：提示
7、 至少二重(因 r(A)=1，A 是三阶矩阵)，也可能三重，如*，一重是不可能的3.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 四个矩阵的特征值均是 1，1，2，存在多重特征值时，若对应线性无关特征向量个数等于特征值重数，则该矩阵能相似于对角阵4.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：提示 只需验算 A= 即可，因*，故*是对应于 =-2 的特征向量5.设 是可逆矩阵，且 ，则 A（分数：4.00）A. B.C.D.解析：提示 *，B 可逆，右乘 B-1得 BAB-1=*6.设 A是三阶矩阵，有特征值 1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（分数：4.
8、00）A.E-AB.C.D. 解析：提示 因-2 不是 A的特征值，故|2E+A|0，2E+A 是可逆矩阵7.A是三阶矩阵，P 是三阶可逆矩阵， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 要注意：(1)特征值和对应的特征向量排列次序应一致；(2) 1， 2是 =1 的特征向量，k1 1+k2 2(k1，k 2不同时为零)仍是 =1 的特征向量；(3)不同特征值对应的特征向量之和不再是特征向量二、填空题(总题数：7，分数：28.00)8.A满足关系式 A2-2A+E=0，则 A的特征值的取值范围是 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：设 A有特征值 ，则 f(A)=A
9、2-2A+E有特征值 f(A)= 2-2+1=(-1) 2，而 f(A)=0是零矩阵，故有(-1) 2=0，得 A的特征值为 1，即 A的特征值只能是 1(1 是 A的 n重特征值)9.已知-2 是 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：由|E-A|=|-2E-A|=0，可求得 x=-410.已知 =1，a T是 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5 或-1）解析：11.三阶矩阵 A有特征值-1，1，2，B=A-3A 2，则|B|= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-80）解析：B 有特征值-4，-2，-10，故|B|=-8012.已知 （分数：
10、4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：r(A-E)=r(PAP -1-E)=r(P(A-E)P-1)=r(A-E)=1，同理 r(A+E)=3，故 r(A-E)+r(A+E)=413.已知是 A的对应于 (单根)的特征向量，则 P-1AP对应于 的一个特征向量是 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：P -1）解析：设 P-1AP的特征向量为 ，则 P-1AkP=，AP=P，取 P=，=p -1(或 kP-1，其中k是不为零的任意常数)14.设 A是 n阶实对称阵， 1， 2， n是 A的 n个互不相同的特征值， 1是 A的对应于 1的 1个单位特征向量，则矩阵 （分数：4
11、.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：A 是实对称阵，其余的特征向量为 2， 3， n因不同特征值对应的特征向量相互正交，且有(A-*故知*有特征值 0， 2， 3， n三、解答题(总题数：14，分数：70.00)15.已知 （分数：5.00）_正确答案：(A 不能相似于对角阵，因 =-2 是二重特征值但只对应一个线性无关特征向量)解析：16.设 （分数：5.00）_正确答案：(A，B 均是实对称阵，它们均可相似于对角阵，而|E-A|=0 及|E-B|=0，解得相同的特征值4，1，-2，故 A，B 相似于同一个对角阵，由相似关系的传递性，得 AB)解析：17.已知 （分数：5.00）_
12、正确答案：( 1=1-a， 2=a， 3=1+n当*且 a0 时， 1 2 3，AA；当*时； 1- 2=*；当 a=0时， 1= 3=1,r(E-A)=2，AA)解析：18.已知 A=aijnn，其中 aij=1(i=1，2，n；j=1，2，n)，求可逆阵 P，使 P-1AP=A（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：19.设 （分数：5.00）_正确答案：( 1=5， 2= 3=-1*)解析：设三阶实对称矩阵 A有特征值 1=1， 2=2， 2=3A 的对应于 1=1， 2=2的特征向量分别是 1=-1，-1，1 T， 2=1， 2，-1 T，（分数：5.00）(1).求 A的属于 3=
13、3的特征向量（分数：2.50）_正确答案：( 3=1，0，1 T，*)解析：(2).求 A（分数：2.50）_正确答案：(*)解析：20.设 A是三阶矩阵，有特征值 1， 2， 3，其对应的特征向量分别是 1=1，0，0 T， 2=1，1，0T， 3=1，1，1 T，求 An（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：21.设 A是三阶矩阵，有特征值 1=1， 2=-2， 3=3，对应的特征向量分别是 1=1，-2，1T， 2=1，0，-1 T， 3=1，1，1 T，=3，-1，1 T，求 A100（分数：5.00）_正确答案：(由 =x 1 1+x2 2+x3 3，解得x 1，x 2，x 3=
14、1，1，1= 1+ 2+ 3，A 100=A 100( 1+ 2+ 3)= 1+(-2)100 2+3100 3=*)解析：22.已知 （分数：5.00）_正确答案：(A 的特征值为 =3(二重根)，=-1(单根)=3 时应有两个线性无关特征向量，定出参数x=2，且*)解析：23.设 A33与对角阵 （分数：5.00）_正确答案：(设 A=PP -1，代入 B得B=(PP -1- 1E)(PP -1- 2E)(PP -1- 3E)=P(- 1E)P-1P(- 2E)P-1P(- 2E)P-1)解析：24.设 A是 n阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是数，且 ， 是 n维非零向量，证明
15、， 正交（分数：5.00）_正确答案：(A=， TAT= T，右乘 ，得 TAT= T， T=0)解析：25.设 1， 2， n是 A=aijnn的 n个特征值，证明（分数：5.00）_正确答案：(A 的特征值为 1， 2， n，则 A2有特征值*，故*)解析：26.已知 A是 n阶实对称阵， 1， 2， n是 A的特征值， 1， 2， n是 A的 n个标准正交特征向量，证明 A可表示为（分数：5.00）_正确答案：(设*，Q 是正交阵，则A=QAQT*)解析：设 A=E+XTY，其中，X=x 1，x 2，x n，y=y 1，y 2，y n，且 XYT=2（分数：5.00）(1).求 A的特征值和特征向量；（分数：2.50）_正确答案：(=3，=1(n-1 重根)； 1=-y2，y 1，0，0 T， 2=-y3，0，y 1，0，0 T， n-1=-yn，0，0，y 1T， n=x1，x 2，x nT)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A（分数：2.50）_正确答案：(*)解析：
