1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）-试卷 2 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，AB0B.当 mn 时，AB0C.当 nm 时，AB0D.当 nm 时，AB03.A 足 mn 矩阵，B 都凡m 矩阵AB 可逆，则（分数：2.00）A.r(A)m，r(B)mB.r(A)m，r(B)nC.r(A)n，r(B)mD.r(A)n，r(B)n4.n 阶矩阵 A （分数：2.
2、00）A.1B.1(1n)C.1D.1(n1)5.AB0，A，B 是两个非零矩阵，则（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关6.设 1 ， 2 ， s ，都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则
3、 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关7. 1 ， 2 ， 3 ， 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 ， 线性相关，则（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，c 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 ，c 线性无关C. 1 ， 2 ， 3 ，c 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ，c 线性无关8.设 1 ， 2 ， 3 线性无关，则( )线性无关（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 B. 1 2 ， 2 3 ， 1 2 2 3 C. 1 2 2 ，2 2 3 3 ，3 3 1 D. 1 2 3 ，
4、2 1 3 2 22 3 ，3 1 5 2 5 3 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.与 1 (1，1，0，2) T ， 2 (2，3，1，1) T ， 3 (0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 n 维向量判断下列命题是否成立 如果 1 ， 2 ， 3 线性无关， 4 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 如果 1 ， 2 线性无关， 3 ， 4 都不能用 1 ， 2 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 如果存在 n 阶矩阵 A，使得 A 1
5、 ，A 2 ，A 3 ，A 4 线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 如果 1 A 1 ， 2 A 2 ， 3 A 3 ， 4 A 4 ，其中A 可逆， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 其中成立的为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ，)k，r( 1 ， 2 ， s ，)k1，求 r( 1 ， 2 ， s ，) 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，它们的下列部分组中，是最大无关组的有 1? (1) 1 ， 2 ， 3 (2
6、) 1 ， 2 ， 4 (3) 1 ， 2 ， 5 (4) 1 ， 3 ， 4 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关 1 t 2 ， 2 2t 3 ， 3 4t 1 线性相关则实数 t 等于 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 (1，0，0) T ，则方程组 AX的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方程组 A k X
7、0 的一个解，但是 A k-1 0证明，A，A k-1 线性无关（分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， s 线性无关， i i i+1 ，i1，s1， s s 1 判断 1 ， 2 ， s 。线性相关还是线性无关?（分数：2.00）_18.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 2 1 3 4 ， 2 2 1 2 3 ， 3 2 4 ， 4 3 4 ， 5 2 3 (1)求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )； (2)求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个最大无关组（分数：2.00）_19.设 1 ， 2 ， 3 都是 n 维非零向量，证明： 1 ， 2 ， 3
8、 线性无关 （分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， s ， 都是 n 维向量，证明： r( 1 ， 2 ， S ，) （分数：2.00）_21.设 A 是 mn 矩阵证明：r(A)1 （分数：2.00）_22.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 都是 n 维向量组，证明 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t )r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， t ) 设 A 和 B 是两个行数相同的矩阵，r(A B)r(A)r(B) 设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵，( （分数：2.00）_23.证明 r(AB)r(A)r(B)（分数：2.00）_24.设 A
9、 是 n 阶矩阵，证明 r(A * ) （分数：2.00）_25.设 1 ， 2 ， r 和 1 ， 2 ， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组 1 ， 2 ， r ； 1 ， 2 ， s 线性相关 （分数：2.00）_26.设 A( 1 ， 2 ， n )是实矩阵，证明 A T A 是对角矩阵 （分数：2.00）_27.设 1 ， 2 ， s 是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关（分数：2.00）_28.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 是两个线性无关的 n 维实向量组，并且每个 i 和 j 都正交，证明 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关（分
10、数：2.00）_29.设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 A T A * ，证明 A 是正交矩阵（分数：2.00）_考研数学二（向量组的线性关系与秩）-试卷 2 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，AB0B.当 mn 时，AB0 C.当 nm 时，AB0D.当 nm 时，AB0解析：3.A 足 mn 矩阵，B 都凡m 矩阵AB 可逆，则（分数：2.00）
11、A.r(A)m，r(B)m B.r(A)m，r(B)nC.r(A)n，r(B)mD.r(A)n，r(B)n解析：解析：AB 是 m 阶矩阵，AB 可逆，则 mr(AB)r(A)m，得 r(A)m同理得 r(B)m4.n 阶矩阵 A （分数：2.00）A.1B.1(1n) C.1D.1(n1)解析：解析：用初等变换化 A 为阶梯形矩阵来求秩5.AB0，A，B 是两个非零矩阵，则（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关解析：解析
12、：用秩矩阵的行(列)向量组线性相关，即其的秩小于行(列)数 设 A 是 mn 矩阵，B 是ns 矩阵，则由 AB0 得到 r(A)r(B)n由于 A，B 都不是零矩阵，r(A)0，r(B)0于是 r(A)n，r(B)nn 是 A 的列数，B 的行数，因此 A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关6.设 1 ， 2 ， s ，都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关 B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性
13、无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关解析：7. 1 ， 2 ， 3 ， 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 ， 线性相关，则（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，c 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 ，c 线性无关C. 1 ， 2 ， 3 ，c 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ，c 线性无关 解析：解析：由于 1 ， 2 ， 3 ， 线性无关， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的于是根据定理， 1 ， 2 ， 3 ，c(或 c)线性相关与否取决于 c(或 c)可否用 1 ， 2 ， 3 线性表示 条件
14、说明 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 可用 1 ， 2 ， 3 线性表示 c 可否用 1 ， 2 ， 3 线性表示取决于 c，当 c0 时 c 可用 1 ， 2 ， 3 线性表示；c0 时 c 不可用 1 ， 2 ， 3 线性表示C 不确定，选项A，B 都不能选 而 c 总是不可用 1 ， 2 ， 3 线性表示的，因此选项 C 不对，选项 D 对8.设 1 ， 2 ， 3 线性无关，则( )线性无关（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 B. 1 2 ， 2 3 ， 1 2 2 3 C. 1 2 2 ，2 2 3 3 ，3 3 1 D. 1 2 3 ，2 1 3 2
15、22 3 ，3 1 5 2 5 3 解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.与 1 (1，1，0，2) T ， 2 (2，3，1，1) T ， 3 (0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 T i 0(i1，2，3)，即 求出基础解系：(1，1，2，1) T ，单位化得 10.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 n 维向量判断下列命题是否成立 如果 1 ， 2 ， 3 线性无关， 4 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表示，则
16、1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 如果 1 ， 2 线性无关， 3 ， 4 都不能用 1 ， 2 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 如果存在 n 阶矩阵 A，使得 A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 如果 1 A 1 ， 2 A 2 ， 3 A 3 ， 4 A 4 ，其中A 可逆， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 其中成立的为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：，）解析：解析：直接从定理得到 明显不对，例如 3 不能用 1 ， 2 线性表示，而 3
17、 4 时， 3 ， 4 都不能用 1 ， 2 线性表示但是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 容易用秩说明：A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 的秩即矩阵(A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 )的秩，而(A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 )A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，由矩阵秩的性质， r(A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 )r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 无关，秩为 4，于是 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩也一定为 4，线性无关 也可从秩看出：A 可逆时，r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )r(A 1 ，A 2 ，A 3 ，
18、A 4 )411.已知 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ，)k，r( 1 ， 2 ， s ，)k1，求 r( 1 ， 2 ， s ，) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k1）解析：12.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，它们的下列部分组中，是最大无关组的有 1? (1) 1 ， 2 ， 3 (2) 1 ， 2 ， 4 (3) 1 ， 2 ， 5 (4) 1 ， 3 ， 4 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2)和(4)是）解析：13.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关 1 t 2 ， 2 2t 3 ， 3 4t 1
19、 线性相关则实数 t 等于 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t12）解析：解析：记矩阵 A( 1 t 2 ， 2 2t 3 ， 3 4t 1 )用矩阵分解，有 A( 1 ， 2 ， 3 ) 记 C 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，( 1 ， 2 ， 3 )是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质， r( 1 t 2 ， 2 2t 3 ， 3 4t 1 )rr(a)r(C) 于是 1 t 2 ， 2 2t 3 ， 3 4t 1 线性相关 (C)3 14.设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 (1，0，0) T ，则方程组 AX的解为 1（分数：
20、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0，0) T ）解析：解析：设 A( 1 ， 2 ， 3 )A 为正交矩阵，列向量是单位向量于是 是(1，0，0) T 则 1 A(1，0，0) T ， 解为(1，0，0) T ，三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方程组 A k X0 的一个解，但是 A k-1 0证明，A，A k-1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 c 1 c 2 Ac K A k-1 0，要推出每个 c i 0
21、 先用 A k-1 乘上式两边，注意到当 mk 时，A m 0(因为 A k X0)，得到 c 1 A k-1 0又因为 A k-1 0，所以 c 1 0上式变为 c 2 Ac k A k-1 0再用 A k-2 乘乘之，可得到 c 2 0如此进行下去，可证明每个 c i 0)解析：17.设 1 ， 2 ， s 线性无关， i i i+1 ，i1，s1， s s 1 判断 1 ， 2 ， s 。线性相关还是线性无关?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 4 对 1 ， 2 ， s 的表示矩阵为 )解析：18.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 2 1 3 4
22、， 2 2 1 2 3 ， 3 2 4 ， 4 3 4 ， 5 2 3 (1)求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )； (2)求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个最大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 对 1 ， 2 ， 3 ， 4 的表示矩阵为 C 用初等行变换化阶梯形矩阵： )解析：19.设 1 ， 2 ， 3 都是 n 维非零向量，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 s 3 ， 2 t 3 ， 1 ， 2 ， 3 的表示矩阵为 C 显然对任何数 s，t，C 的秩都
23、是 2，于是 1 s 3 ， 2 t 3 的秩为 2，线性无关 在 st0时，得 1 ， 2 线性无关，只要再证明 3 不可用 1 ， 2 线性表示如果 3 可以用 1 ， 2 线性表示，设 3 c 1 1 c 2 2 ， 则因为 3 不是零向量，c 1 ，c 2 不能全为0不妨设 c 1 0，则有 c 1 ( 1 3 )c 2 2 0， 于是 1 3 ， 2 线性相关，即当 s )解析：20.设 1 ， 2 ， s ， 都是 n 维向量，证明： r( 1 ， 2 ， S ，) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设()是 1 ， 2 ， s 的一个最大无关组，则它也是 1 ， 2 ，
24、s ， 中的一个无关组 问题是：()增添 后是否相关 若 可用 1 ， 2 ， s 表示，则 可用()表示(因为 1 ， 2 ， s ，和()等价!)，于是()增添 后相关，从而()也是 1 ， 2 ， s ， 的最大无关组，r( 1 ， 2 ， s ，)r( 1 ， 2 ， s ) 若 不可用 1 ， 2 ， s 表示，则 不可用()表示，()增添 后无关，从而()不是 1 ， 2 ， s ， 的最大无关组，此时()， 是 1 ， 2 ， s ， 的最大无关组，r( 1 ， 2 ， s ，)r( 1 ， 2 ， s )1)解析：21.设 A 是 mn 矩阵证明：r(A)1 （分数：2.00）
25、_正确答案：(正确答案：“ ”记 A 的列向量组为 1 ， 2 ， n ，则因为 r(A)1，所以r( 1 ， 2 ， n )1于是 A 一定有非零列向量，记 为一个非零列向量，则每个 i 都是 的倍数设 i b i ，i1，2，n记 B(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，则 0，并且A( 1 ， 2 ， n )(b 1 ，b 2 ，b n ) T “ )解析：22.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 都是 n 维向量组，证明 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t )r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， t ) 设 A 和 B 是两个行数相同的矩阵，r(
26、A B)r(A)r(B) 设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵，( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是 3 个互相等价的命题：是的向量形式；是的转置形式因此对其中之一的证明就完成了这 3 个命题的证明 证明取 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 的一个最大无关组()，记() t 是()中属于 1 ， 2 ， s 中的那些向量所构成的部分组，() 2 是()中其余向量所构成的部分组于是() 1 和() 2 分别是属于 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过 r( 1 ， 2 ， s )和 r( 1 ， 2 ， t )从而 r(
27、 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t )()中向量个数 () 1 中向量个数() 2 中向量个数 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， t )解析：23.证明 r(AB)r(A)r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(AB)r(ABB) 对矩阵(ABB)进行初等列变换：左边 AB 各列都减去右边 B 的对应列，化为(AB)于是 r(AB)r(ABB)r(AB)r(A)r(B)解析：24.设 A 是 n 阶矩阵，证明 r(A * ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 r(A)n 时，A 可逆，从而 A * 也可逆，秩为 n 当 r(A)n1 时，它的
28、每个余子式 M ij (是 n1 阶子式)都为 0，从而代数余子式 A ij 也都为 0于是 A * 0，r(A * )0 当r(A)n1 时，A0，所以 AA * 0于是 r(A)r(A * )n由于 r(A)n1，得到 r(A * )1 又由 r(A)n1 知道 A 有 n1 阶非 0 子式，从而存在代数余子式 A hk 不为 0，于是 A * 0，r(A * )0于是 r(A * )1)解析：25.设 1 ， 2 ， r 和 1 ， 2 ， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组 1 ， 2 ， r ； 1 ， 2 ， s 线性相关 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“ ”
29、因为 1 ， 2 ， r ； 1 ， 2 ， s 线性相关，所以存在 c 1 ，c 2 ，c r ，c r+1 ，c r+s 不全为 0，使得 c 1 1 c 2 2 c r r c r+1 1 c r+2 2 c r+s s 0 记 c 1 1 c 2 2 c r r (c r+1 1 c r+2 2 c r+s s )， 则 0(否则由 1 ， 2 ， r ，和 1 ， 2 ， s 都线性无关，推出 c 1 ，c 2 ，c r ，c r+1 ，c r+s 全为 0)，并且它既可用 1 ， 2 ， r 表示，又可用 1 ， 2 ， s 表示 “ )解析：26.设 A( 1 ， 2 ， n )
30、是实矩阵，证明 A T A 是对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A T A 的(i，j)位元素为( i j )于是 A T A 是对角矩阵 当 ij 时，A T A 的(i，j)位元素为 0 当 ij 时， 1 ， j 正交 )解析：27.设 1 ， 2 ， s 是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 ， 为列向量组构造矩阵 A( 1 ， 2 ， s )，则 A T A 是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为 1 2 ， 2 2 ， s 2 ，它们都不为0于是 r( 1 ， 2 ， s )r(A)r(A T A)s， 从而 1 ，
31、 2 ， s 线性无关)解析：28.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 是两个线性无关的 n 维实向量组，并且每个 i 和 j 都正交，证明 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 c 1 1 c 2 2 c s s k 1 1 k 2 2 k t t 0， 记 c 1 1 c 2 2 c s s (k 1 1 k 2 2 k t t )，则(，)(c 1 1 c 2 2 c s s ，k 1 1 k 2 2 k t t )0 即0，于是 c 1 ，c 2 ，c s ，k 1 ，k 2 ，k t 全都为 0)解析：29.设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 A T A * ，证明 A 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA T AA * AE，因此只用证明A1，就可由定义得出 A 是正交矩阵 由于 A0，有非零元素，设 a ij 0则 AA T 的(i，i)位元素Aa i1 2 a i2 2 a ij 2 a in 2 0，从而 AA T 0 对等式 AA T AE，两边取行列式，得A 2 A n ，即A n-2 1又由A0，得出A1)解析：
