1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）-试卷 3 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 矩阵，r(A)mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0)B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA0，则 B0D.行列式A T A03. 1 ， 2 ， r ，线性无关 （分数：2.00）A.存在全为零的实数 k 1 ，k 2 ，k r ，使得 k 1 1 k 2 1 k r r 0B.存在不全为零的实数 k
2、1 ，k 2 ，k r ，使得 k 1 1 k 2 1 k r r 0C.每个 i 都不能用其他向量线性表示D.有线性无关的部分组4.设 A 是 45 矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 A 的列向量组，r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )3，则( )正确（分数：2.00）A.A 的任何 3 个行向量都线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个含有 3 个向量的部分组()如果与 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 等价，则一定是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的最大无关组C.A 的 3 阶子式都不为 0D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的线性相关
3、的部分组含有向量个数一定大于 35.设 1 ， 2 ， s 是 n 维向量组，r( 1 ， 2 ， s )r，则( )不正确（分数：2.00）A.如果 rn，则任何 n 维向量都可用 1 ， 2 ， s 线性表示B.如果任何 n 维向量都可用 1 ， 2 ， s 线性表示，则 rnC.如果 rs，则任何 n 维向量都可用 1 ， 2 ， s 唯一线性表示D.如果 rn，则存在 n 维向量不能用 1 ， 2 ， s 线性表示6.n 维向量组() 1 ， 2 ， r 可以用 n 维向量组() 1 ， 2 ， s ，线性表示（分数：2.00）A.如果()线性无关，则 rsB.如果()线性相关，则 r
4、sC.如果()线性无关，则 rsD.如果()线性相关，则 rs7.设 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m 都是 n 维向量组，k 1 ，k 2 ，k m 和 P 1 ，P 2 ，p m 都是不全为 0 的数组，使得(k 1 p 1 ) 1 (k 2 p 2 ) 2 (k m p m ) m (k 1 p 1 ) 1 (k 2 p 2 ) 2 (k m p m ) m 0，则( )成立（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m 都线性相关B. 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m 都线性无关C. 1 1 ， 2 2 ， m m ， 1 1 ， 2 2 ， m
5、 m 线性无关D. 1 1 ， 2 2 ， m m ， 1 1 ， 2 2 ， m m 线性相关8.已知 n 维向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则 n 维向量组 1 ， 2 ， s 也线性无关的充分必要条件为（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 可用 1 ， 2 ， s 线性表示B. 1 ， 2 ， s 可用 1 ， 2 ， s 线性表示C. 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， s 等价D.矩阵( 1 ， 2 ， s )和( 1 ， 2 ， s )等价二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.已知 1 (1，2，3，4) T ， 2 (2，0，1，1) T ， 3 (6，0
6、，0，5) T ，则向量组的秩r( 1 ， 2 ， 3 ) 1，极大线性无关组是 2（分数：2.00）填空项 1:_10.向量组 1 (1，1，3，0) T ， 2 (2，1，a，1) T ， 3 (1，1，5，2) T 的秩为2，则 a 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ，)r，r( 1 ， 2 ， s ，)1，则 r( 1 ， 2 ， s ，) 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * ) 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知
7、 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.已知 （分数：2.00）_17.3 阶矩阵 （分数：2.00）_18.设 ， 都是 3 维列向量，A T T 证明 (1)r(A)2 (2)如果 ， 线性相关，则 r(A)2（分数：2.00）_19.设 1 (1，0，2，3) T ， 2 (1，1，3，5) T ， 3 (1，1，a2，1) T ， 4 (1，2，4，a8) T ，(1，1，b3，5) T 问：(1)a，b 为什么数时， 不能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示? (2
8、)a，b 为什么数时， 可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示，并且表示方式唯一?（分数：2.00）_20.设 1 (1，2，3) T ， 2 (3，0，1) T ， 3 (9，6，7) T ， 1 (0，1，1) T ， 2 (a，2，1) T ， 3 (6，1，0) T 已知 r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )，并且 可用 1 ， 2 ， 3 线性表示，求 a，b（分数：2.00）_21.给定向量组(1) 1 (1，0，2) T ， 2 (1，1，3) T ， 3 (1，1，2) T 和() 1 (1，2，a3) T ， 2 (2，1，ab) T ， 3 (2，1，a
9、4) T 当口为何值时()和()等价?a为何值时()和()不等价?（分数：2.00）_22.求常数 a，使得向量组 1 (1，1，a) T ， 2 (1，a，1) T ， 3 (a，1，1) T 可由向量组 1 (1，1，a) T ， 2 (2，a，4) T ， 3 (2，a，a) T 线性表示，但是 1 ， 2 ， 3 不可用 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_23.已知 可用 1 ， 2 ， s 线性表示，但不可用 1 ， 2 ， s-1 线性表示证明： (1) s 不可用 1 ， 2 ， s-1 线性表示； (2) s 可用 1 ， 2 ， s-1 ， 线性表示（分数：2.
10、00）_24.已知(2，1，1，1) T ，(2，1，a，a) T ，(3，2，1，a) T ，(4，3，2，1) T 线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_25.设 1 (1，1，1，3) T ， 2 (1，3，5，1) T ， 3 (3，2，1，P2) T ， 4 (2，6，10，p) T P 为什么数时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?此时求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )和写出一个最大无关组（分数：2.00）_26.已知 1 ， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量特征值分别为1 和 1，又 3 维向量 3 满足 A 3 2 3 证明 1 ， 2 ， 3 线性无
11、关（分数：2.00）_27.设 n 维向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，并且 1 0，证明存在 1ks，使得 k 可用 1 ， k-1 线性表示（分数：2.00）_28.设 A 为 n 阶矩阵， 0 0，满足 A 0 0，向量组 1 ， 2 满足 A 1 0 ，A 2 2 0 证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_29.设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX0 的一个非零解，向量组 2 ， 2 ， s 满足 A i-1 i 1 (i2，3，s)证明 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_考研数学二（向量组的线性关系与秩）-试卷 3 答案解析(总分：58.00，做题
12、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 矩阵，r(A)mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0) B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA0，则 B0D.行列式A T A0解析：3. 1 ， 2 ， r ，线性无关 （分数：2.00）A.存在全为零的实数 k 1 ，k 2 ，k r ，使得 k 1 1 k 2 1 k r r 0B.存在不全为零的实数 k 1 ，k 2 ，k r ，使得 k 1 1 k 2 1 k r r
13、 0C.每个 i 都不能用其他向量线性表示 D.有线性无关的部分组解析：4.设 A 是 45 矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 A 的列向量组，r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )3，则( )正确（分数：2.00）A.A 的任何 3 个行向量都线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个含有 3 个向量的部分组()如果与 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 等价，则一定是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的最大无关组 C.A 的 3 阶子式都不为 0D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的线性相关的部分组含有向量个数一定大于 3解析：解析：r( 1 ，
14、 2 ， 3 ， 4 ， 5 )3，说明 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个部分组如果包含向量超过 3 个就一定相关，但是相关不一定包含向量超过 3 个D 项不对 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )3，则 A 的行向量组的秩也是 3，因此存在 3 个行向量线性无关，但是不是任何 3 个行向量都线性无关排除 A A 的秩也是 3，因此有 3 阶非零子式，但是并非每个 3 阶子式都不为 0，C 项也不对 下面说明 B 对()与 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 等价，则()的秩r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )3()中向量的个数，于是()线性无关，由定义()是最大无关
15、组5.设 1 ， 2 ， s 是 n 维向量组，r( 1 ， 2 ， s )r，则( )不正确（分数：2.00）A.如果 rn，则任何 n 维向量都可用 1 ， 2 ， s 线性表示B.如果任何 n 维向量都可用 1 ， 2 ， s 线性表示，则 rnC.如果 rs，则任何 n 维向量都可用 1 ， 2 ， s 唯一线性表示 D.如果 rn，则存在 n 维向量不能用 1 ， 2 ， s 线性表示解析：解析：利用“用秩判断线性表示”的有关性质 当 rn 时，任何 n 维向量添加进 1 ， 2 ， s 时，秩不可能增大，从而 A 正确 如果 B 项的条件成立，则任何 n 维向量组 1 ， 2 ，
16、t 都可用 1 ， 2 ， s 线性表示，从而 r( 1 ， 2 ， t )r( 1 ， 2 ， s )如果取 1 ， 2 ， n 是一个 n 阶可逆矩阵的列向量组，则得 nr( 1 ， 2 ， n )r( 1 ， 2 ， s )n， 从而 r( 1 ， 2 ， s )n，B 项正确 D 项是 B 项的逆否命题，也正确 由排除法，得选项 C 不正确 rs 只能说明 1 ， 2 ， s 线性无关，如果 rn，则用 B 项的逆否命题知道存在 n 维向量不可用 1 ， 2 ， s 线性表示，因此 C 不正确6.n 维向量组() 1 ， 2 ， r 可以用 n 维向量组() 1 ， 2 ， s ，线性
17、表示（分数：2.00）A.如果()线性无关，则 rs B.如果()线性相关，则 rsC.如果()线性无关，则 rsD.如果()线性相关，则 rs解析：7.设 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m 都是 n 维向量组，k 1 ，k 2 ，k m 和 P 1 ，P 2 ，p m 都是不全为 0 的数组，使得(k 1 p 1 ) 1 (k 2 p 2 ) 2 (k m p m ) m (k 1 p 1 ) 1 (k 2 p 2 ) 2 (k m p m ) m 0，则( )成立（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m 都线性相关B. 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2
18、 ， m 都线性无关C. 1 1 ， 2 2 ， m m ， 1 1 ， 2 2 ， m m 线性无关D. 1 1 ， 2 2 ， m m ， 1 1 ， 2 2 ， m m 线性相关 解析：解析：先排除选项 A 和选项 B 如果取 1 ， 2 ， m 都是零向量， 1 ， 2 ， m 线性无关，此时只要 k i P i ，i1，2，m，则条件也满足，排除了选项 A 和选项 B 现在要看 1 1 ， 2 2 ， m m ， 1 1 ， 2 2 ， m m 线性相关还是线性无关 等式(k 1 p 1 ) 1 (k 2 P 2 ) 2 (k m p m ) m (k 1 P 1 ) 1 (k 2
19、P 2 ) 2 (k m P m ) m 0，可改写为 k 1 ( 1 1 )k 2 ( 2 2 )k m ( m m )p 1 ( 1 1 )P 2 ( 2 2 )P m ( m m )0， 由 k 1 ，k 2 ，k m 和 p 1 ，p 2 ，P m 都不全为 0，得到 1 1 ， 2 2 ， m m ， 1 1 ， 2 2 ， m m 线性相关8.已知 n 维向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则 n 维向量组 1 ， 2 ， s 也线性无关的充分必要条件为（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 可用 1 ， 2 ， s 线性表示B. 1 ， 2 ， s 可用 1 ， 2 ， s
20、 线性表示C. 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， s 等价D.矩阵( 1 ， 2 ， s )和( 1 ， 2 ， s )等价 解析：解析：从条件选项 A 可推出 1 ， 2 ， s 的秩不小于 1 ， 2 ， s 的秩s， 1 ， 2 ， s 线性无关即选项 A 是充分条件，但它不是必要条件 条件选项 C 也是充分条件，不是必要条件 条件选项 B 既非充分的，又非必要的 两个矩阵等价就是它们类型相同，并且秩相等现在( 1 ， 2 ， s )和( 1 ， 2 ， s )都是 ns 矩阵，( 1 ， 2 ， s )的秩为 s，于是 1 ， 2 ， s 线性无关(即矩阵( 1 ， 2 ， s
21、)的秩也为 s) 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.已知 1 (1，2，3，4) T ， 2 (2，0，1，1) T ， 3 (6，0，0，5) T ，则向量组的秩r( 1 ， 2 ， 3 ) 1，极大线性无关组是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：用初等行变换化简矩阵( 1 ， 2 ， 3 )： ( 1 ， 2 ， 3 ) 10.向量组 1 (1，1，3，0) T ， 2 (2，1，a，1) T ， 3 (1，1，5，2) T 的秩为2，则 a 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：r( 1 ， 2 ，
22、 3 )2，计算秩 11.已知 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ，)r，r( 1 ， 2 ， s ，)1，则 r( 1 ， 2 ， s ，) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r1）解析：解析：r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ，)：r 表明 可由 1 ， 2 ， s 线性表出， 于是 r( 1 ， 2 ， s ，)r( 1 ， 2 ， s ，)，r112.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 r(A * ) 13.已知 （分数：2.00
23、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 可逆，知 A * 可逆，那么 r(AXA * )r(X)，从而 r(B)2，B0于是 14.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果先求出 ABA，再求它的秩，计算量比较大注意到 ABAA(BE)，而BE 是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质，r(ABA)r(A)，直接计算 r(A)就简单多了 )解析：17.3 阶矩阵 （分
24、数：2.00）_正确答案：(正确答案：求出 AB 也从 r(AB)小于 r(A)和 r(B)看出 A 和 B 都不可逆，于是 r(AB)r(A)3，得 r(AB)1而 AB 不是零矩阵，得 r(AB)1 再求 a，b因为 r(AB)1，AB 的 3 个行向量两两相关，则第 2 行是第 3 两行的 2 倍，得 )解析：18.设 ， 都是 3 维列向量，A T T 证明 (1)r(A)2 (2)如果 ， 线性相关，则 r(A)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)r(A)r( T )r( T )，而 r( T )r()1，同理 r( T )1 (2)不妨假设 c，则 A T c(c T
25、 )(1c 2 ) T ，于是 r(A)r( T )12)解析：19.设 1 (1，0，2，3) T ， 2 (1，1，3，5) T ， 3 (1，1，a2，1) T ， 4 (1，2，4，a8) T ，(1，1，b3，5) T 问：(1)a，b 为什么数时， 不能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示? (2)a，b 为什么数时， 可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示，并且表示方式唯一?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用秩来判断较简单，为此计算出 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )和 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)作比较 构造矩阵( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，并用
26、初等行变换化阶梯形矩阵： ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) )解析：20.设 1 (1，2，3) T ， 2 (3，0，1) T ， 3 (9，6，7) T ， 1 (0，1，1) T ， 2 (a，2，1) T ， 3 (6，1，0) T 已知 r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )，并且 可用 1 ， 2 ， 3 线性表示，求 a，b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题中有两个未知数，两个条件其中第二个条件只涉及未知数 b于是可用它先求出 b，再用另一个条件求出 a 因为 3 可用 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 r( 1 ， 2 ， 3 ， 3 )r( 1
27、 ， 2 ， 3 ) ( 1 ， 2 ， 3 3 ) 得 r( 1 ， 2 ， 3 )2，于是 r( 1 ， 2 ， 3 ， 3 )2，得 b5 由条件 r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )2，则 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 ， 3 0 1 ， 2 ， 3 )解析：21.给定向量组(1) 1 (1，0，2) T ， 2 (1，1，3) T ， 3 (1，1，2) T 和() 1 (1，2，a3) T ， 2 (2，1，ab) T ， 3 (2，1，a4) T 当口为何值时()和()等价?a为何值时()和()不等价?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：思
28、路()和()等价用秩来刻画，即 r( 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 ) 当 a10 时，r( 1 ， 2 ， 3 )2，而 r( 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 )3，因此()与()不等价 当 a10 时，r( 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )3 再来计算 r( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：22.求常数 a，使得向量组 1 (1，1，a) T ， 2 (1，a，1) T ， 3 (a，1，1) T 可由向量组 1 (1，1，a) T ， 2 (2，a，4) T ， 3
29、 (2，a，a) T 线性表示，但是 1 ， 2 ， 3 不可用 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.已知 可用 1 ， 2 ， s 线性表示，但不可用 1 ， 2 ， s-1 线性表示证明： (1) s 不可用 1 ， 2 ， s-1 线性表示； (2) s 可用 1 ， 2 ， s-1 ， 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 可用 1 ， 2 ， s 线性表示，可设有表示式 k 1 1 k 2 2 k m m ， () (1)用反证法 如果 s 可用 1 ， 2 ， s-1 线性表示；设 s t 1 1 t 2 2 t
30、m-1 m-1 ，代入()式得 用 1 ， 2 ， s-1 线性表示式： (k 1 t 1 ) 1 (k 2 t 2 ) 2 (k m-1 t m-1 ) m-1 ，与条件矛盾 (2)()中的 k m 0(否则 可用 1 ， 2 ， s-1 线性表示)于是有 s )解析：24.已知(2，1，1，1) T ，(2，1，a，a) T ，(3，2，1，a) T ，(4，3，2，1) T 线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为这 4 个向量线性相关，所以以它们为列向量的 4 阶行列式为 0求出此行列式的值： )解析：25.设 1 (1，1，1，3) T ， 2 (1
31、，3，5，1) T ， 3 (3，2，1，P2) T ， 4 (2，6，10，p) T P 为什么数时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?此时求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )和写出一个最大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：计算 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) )解析：26.已知 1 ， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量特征值分别为1 和 1，又 3 维向量 3 满足 A 3 2 3 证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据特征向量的性质， 1 ， 2 都是 A 的特征向量，特征值不
32、相等，于是它们是线性无关的 用反证法如果 3 可用 1 ， 2 表示，设 3 c 1 1 c 2 2 ，用 A左乘等式两边之，得 2 3 c 1 1 c 2 2 ， 减去原式得 2 2c 1 1 ， 与 1 ， 2 线性无关矛盾，说明 3 不可用 1 ， 2 线性表示)解析：27.设 n 维向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，并且 1 0，证明存在 1ks，使得 k 可用 1 ， k-1 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， s 线性相关，所以存在不全为 0 的数 c 1 ，c 2 ，c s ，便得 c 1 1 c 2 2 c s s 0 设 c k 是 c
33、 1 ，c 2 ，c s 中最后一个不为 0 的数，即 c k 0，但 ik 时，c i 0则 k1(否则 1 0，与条件矛盾)，并且有 c 1 1 c 2 2 c k k 0则于 k )解析：28.设 A 为 n 阶矩阵， 0 0，满足 A 0 0，向量组 1 ， 2 满足 A 1 0 ，A 2 2 0 证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即要说明当 c 1 ，c 2 ，c 3 满足 c 1 0 c 2 1 c 3 2 0 时它们一定都是 0 记此式为(1)式，用 A 乘之，得 c 2 0 c 3 A 2 0 (2) 再用 A 乘(2)得 c 3 0 0由 0 0，得 c 3 0代入(2)得 c 2 0再代入(1)得 c 1 0)解析：29.设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX
