1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 19及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.两个偏导数都不存在。B.两个偏导数存在但不可微。C.偏导数连续。D.可微但偏导数不连续。3.考虑二元函数 f(x，y)的四条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏
2、导数存在。 则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 z= f(xy)，其中函数 f可微，则 （分数：2.00）A.2yf (xy)。B.一 2yf (xy)。C.f(xy)。D.f(xy)。5.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 (x，y)0。已知(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件(x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 f x (x 0 ，y 0 )=0，则 f y (x 0 ，y 0 )=0。B.若 f x (x 0 ，y 0 )=0，则 f y (x 0 ，y 0 )0。C.若 f x (x 0 ，y 0 )0
3、，则 f y (x 0 ，y 0 )=0。D.若 f x (x 0 ，y 0 )0，则 f y (x 0 ，y 0 )0。6.设 D是圆域 D k =(x，y)x 2 +y 2 1位于第 k象限的部分，记 I k = （分数：2.00）A.I 1 0。B.I 2 0。C.I 3 0。D.I 4 0。7.设函数 f(x，y)连续，则 1 2 dx x 2 f(x，y)dy+ 1 2 dy y 4y f(x，y)dx=( )（分数：2.00）A. 1 2 dx 1 4x f(x，y)dy。B. 1 2 dx x 4x f(x，y)dy。C. 1 2 dy 1 4y f(x，y)dx。D. 1 2
4、dy y 2 f(x，y)dx。8.设 f(x，y)为连续函数，则 d 0 1 f(rcos，rsin)rdr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设区域 D由曲线 y=sinx，x= ，y=1 围成，则 （分数：2.00）A.。B.2。C.一 2。D.一 。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)10.设连续函数 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 f()可微，且 f (2)=2，则 z=f(x 2 +y 2 )在点(1，1)处的全微分 dz (1，1) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 z= （分数：2.00）填空项 1:
5、_13.设 f(x，y，z)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f(，)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则（分数：2.00）填空项 1:_15.积分 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_16.设平面区域 D由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y及 y轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 D为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.设 z=f(x，y)
6、，x=g(y，z)+( )，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_20.设 z=f(x+y，x 一 y，xy)，其中 f具有二阶连续偏导数，求出与 （分数：2.00）_设 z=z(x，y)是由方程 x 2 +y 2 一 z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有二阶导数且 一1。（分数：4.00）(1).求 dz；（分数：2.00）_(2).记 (x，y)= （分数：2.00）_21.设函数 f()具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)满足方程 （分数：2.00）_22.求曲线 x 3 一 xy+y 3 =1(x0，Y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（
7、分数：2.00）_23.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx一 2ydy，并且 f(1，1)=2。求 f(x，y)在椭圆域 D=(x，y)x 2 + （分数：2.00）_24.计算二重积分 I= ydxdy，其中 D是由 x轴，y 轴与曲线 （分数：2.00）_25.求二重积分 （分数：2.00）_26.设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。计算二重积分 （分数：2.00）_27.计算积分 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 19答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)
8、一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.两个偏导数都不存在。B.两个偏导数存在但不可微。 C.偏导数连续。D.可微但偏导数不连续。解析：解析：由偏导数定义，有 f x (0，0)= =0， 由对称性知 f y (0，0)=0，而 上式极限不存在。 事实上， 3.考虑二元函数 f(x，y)的四条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x
9、，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在。 则有( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 f(x，y)的两个偏导数连续是可微的充分条件，而 f(x，y)可微是其连续的充分条件，因此正确选项为 A。4.设 z= f(xy)，其中函数 f可微，则 （分数：2.00）A.2yf (xy)。 B.一 2yf (xy)。C.f(xy)。D.f(xy)。解析：解析：先根据函数求出偏导数的表达形式，再将结果代入5.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 (x，y)0。已知(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件(x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是(
10、)（分数：2.00）A.若 f x (x 0 ，y 0 )=0，则 f y (x 0 ，y 0 )=0。B.若 f x (x 0 ，y 0 )=0，则 f y (x 0 ，y 0 )0。C.若 f x (x 0 ，y 0 )0，则 f y (x 0 ，y 0 )=0。D.若 f x (x 0 ，y 0 )0，则 f y (x 0 ，y 0 )0。 解析：解析：令 F=f(x，y)+(x，y)， 6.设 D是圆域 D k =(x，y)x 2 +y 2 1位于第 k象限的部分，记 I k = （分数：2.00）A.I 1 0。B.I 2 0。 C.I 3 0。D.I 4 0。解析：解析：根据极坐标
11、系下二重积分的计算可知 所以，I 1 =I 3 =0，I 2 = 7.设函数 f(x，y)连续，则 1 2 dx x 2 f(x，y)dy+ 1 2 dy y 4y f(x，y)dx=( )（分数：2.00）A. 1 2 dx 1 4x f(x，y)dy。B. 1 2 dx x 4x f(x，y)dy。C. 1 2 dy 1 4y f(x，y)dx。 D. 1 2 dy y 2 f(x，y)dx。解析：解析： 1 2 dx x 2 f(x，y)dy+ 1 2 dy y 4y f(x，y)dx 的积分区域为两部分(如图 14-4)： 8.设 f(x，y)为连续函数，则 d 0 1 f(rcos，
12、rsin)rdr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题设可知，积分区域 D如图 146所示，则 原式=9.设区域 D由曲线 y=sinx，x= ，y=1 围成，则 （分数：2.00）A.。B.2。C.一 2。D.一 。 解析：解析：区域 D如图 l一 49中阴影部分所示，引入曲线 y=一 sinx将区域分为 D 1 ，D 2 ，D 3 ，D 4 四部分。 由于 D 1 ，D 2 关于 y轴对称，可知在 D 1 D 2 上关于 x的奇函数积分为零，故 x 5 ydxdy=0； 又由于 D 3 ，D 4 关于 x轴对称，可知在 D 3 D 4 上关于 y的奇函数为零，故
13、 x 5 ydsdy=0。 因此 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)10.设连续函数 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dx 一 dy）解析：解析：根据 =0以及函数 z的连续性可知 f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为 =0。 或者 f(x，y)一 f(0，1)=2x 一(y 一 1)+ 11.设函数 f()可微，且 f (2)=2，则 z=f(x 2 +y 2 )在点(1，1)处的全微分 dz (1，1) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4(dx+dy)）解析：解析：由题干可知，dz=f (x 2
14、+y 2 )(2xdx+2ydy)，则 dz (1，1) =f (2)(2dx2dy)=4(dx+dy)。12.设函数 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1+2ln2)dx 一(1+2ln2)dy）解析：解析：13.设 f(x，y，z)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dx 一 dy）解析：解析：由 f(x，y，z)= ，有 lnf= (lnxlny)， 两边分别对 x、y,z 求偏导，得 14.设函数 f(，)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则（分数：2.00）填空项 1:_ （正确
15、答案：正确答案：*）解析：解析：令 =xg(y)，=y，则 f(，)= +g()，所以，15.积分 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一 sin1）解析：解析：积分区域 D如图 1412所示， = 0 1 (1一 y)sinydy=1一 sin1。 16.设平面区域 D由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y及 y轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：通过直角坐标变换求解，已知直线和圆的交点为(1，1)，上半圆周的方程为 y=1+ 。 因此直角坐标区域为 D：0x1，xy1+ 。 所以可得17.
16、设 D为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知， minx，ydxdy = 0 1 dy y 3 ydx+ 0 1 dy 0 y xdx= 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：19.设 z=f(x，y)，x=g(y，z)+( )，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=f(x，y)，有 dz=f 1 dx+f 2 dy。 由 x=g(y，z)+( )有 dx=g 1 dy+g 2 dz+ ，
17、dy= ， 代入出表达式中，得 )解析：20.设 z=f(x+y，x 一 y，xy)，其中 f具有二阶连续偏导数，求出与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 =f 1 +f 2 +yf 3 ， =f 1 一 f 2 +xf 3 ， 所以 dz= =(f 1 +f 2 +yf 3 )dx+(f 1 一 f 2 +xf 3 )dy， )解析：设 z=z(x，y)是由方程 x 2 +y 2 一 z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有二阶导数且 一1。（分数：4.00）(1).求 dz；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程两端同时求导得 2xdx+2ydy一 dz= (x
18、+y+z)(dx+dy+dz)， 整理得 ( +1)dz=(一 +2x)dx+(一 +2y)dy， 因此 dz= )解析：(2).记 (x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由第(I)问可知， ，所以 )解析：21.设函数 f()具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 =f ()e x siny， =f ()e x cosy， =f ()e x siny+f ()e 2x sin 2 y， =一 f ()e x siny+f ()e 2x cos 2 y， 代入方程 )解析：22.求曲线 x 3 一 xy+y
19、3 =1(x0，Y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造函数 L(x，y)=x 2 +y 2 +(x 3 一 xy+y 3 一 1)， 令 得唯一驻点x=1，y=1，即 M 1 (1，1)。 考虑边界上的点，M 2 (0，1)，M 3 (1，0)，距离函数 f(x，y)= 在三点的取值分别为 f(1，1)= ，f(0，1)=1，f(1，0)=1，因此可知最长距离为 )解析：23.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx一 2ydy，并且 f(1，1)=2。求 f(x，y)在椭圆域 D=(x，y)x 2 + （分数：2.00）_正确答案
20、：(正确答案：根据题意可知 =一 2y，于是 f(x，y)=x 2 +C(y)，且 C (y)=一 2y，因此有 C(y)=一 y 2 +C，由 f(1，1)=2，得 C=2，故 f(x，y)=x 2 一 y 2 +2。 令 =0得可能极值点为x=0，y=0。且 A=B 2 一 AC=40，所以点(0，0)不是极值点，也不可能是最值点。 下面讨论其边界曲线 x 2 + =1上的情形，令拉格朗日函数为 F(x，y，)=f(x，y)+(x 2 + 一 1)， 解 得可能极值点 x=0，y=2，=4；x=0，y=一 2，=4；x=1，y=0，=一 1；x=一 1，y=0，=一 1。 将其分别代入 f
21、(x，y)得，f(0，2)=一 2，f(1，0)=3，因此 z=f(x，y)在区域 D=(x，y)x 2 + )解析：24.计算二重积分 I= ydxdy，其中 D是由 x轴，y 轴与曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D如图 1417的阴影部分所示。 )解析：25.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D如图 1419所示，D 的极坐标表示是：0，0r2(1+cos)，因此 )解析：26.设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)0x 2 +y 2 1，x0，y0， D 2 =(x，y)1x 2 +y 2 ，x0，y0。 则有 )解析：27.计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设二重积分区域为 D，D 1 是 D的第一象限部分，由对称性，得 )解析：
