1、考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 3 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.双纽线( 2 y 2 ) 2 2 y 2 所围成的区域面积可表示为( )（分数：2.00）A.2B.4C.2D.3.设 f()，g()在区间a，b上连续，且 g()f()m，则由曲线 yg()，yf()及直线a，b 所围成的平面区域绕直线 ym 旋转一周所得旋转体体积为( )（分数：2.00）A. a b 2mf()g()f()g()dB. a b 2mf()g()f()g()d
2、C. a b mf()g()f()g()dD. a b mf()g()f()g()d二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设 f()在0，1上连续，且 f() （分数：2.00）填空项 1:_5.设 f()Ci，)，广义积分， 1 f()d 收敛，且满足 f() （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f() ，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f()二阶连续可导，且 f(0)1，f(2)3，f(2)5，则 0 1 f(2)d 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_9. 1(其中 a 为常数) （分数：2.00）填空项 1:_10.
3、 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.计算 （分数：2.00）_13.设 f()在a，b上连续，且 f()0，证明：存在 (a，b)，使得 a f()d b f()d（分数：2.00）_14.设 f()在a，b上连续，证明： a b f()d a b f(ab)d（分数：2.00）_15.设 f()为连续函数，证明： (1) 0 f(sin)d f(sin)d f(sin)d； (2) 0 2 (sin)d4 （分数：2.00）_16.证明： sin n cos n d2
4、-n （分数：2.00）_17.设 f()连续，证明： 0 0 t f(u)dudt 0 f(t)(t)dt（分数：2.00）_18.设 f()连续且关于 T 对称，aTb证明： a b f()d2 T b f()d a 2T-b f()d（分数：2.00）_19.设 f(a)f(b)0， a b f 2 ()d1，f()Ca，b (1)求 a b f()f()d； (2)证明： a b f 2 ()d a b 2 f 2 ()d （分数：2.00）_20.设 f()在区间0，1上可导，f(1)2 （分数：2.00）_21.设 f()，g()在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f()
5、 b g()dg() a ()d（分数：2.00）_22.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f()cosd 0 f()sind0证明：存在 (0，)，使得 f()0（分数：2.00）_23.设 f()在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)f(2)0，且f()2证明： 0 2 f()d2（分数：2.00）_24.设 f()在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得f()d(ba)f （分数：2.00）_25.求曲线 ycos( （分数：2.00）_26.求曲线 y 2 2、y0、1、3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（
6、分数：2.00）_27.设 L：ye (0) (1)求由 ye 、 轴、y 轴及 a(a0)所围成平面区域绕 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c) （分数：2.00）_28.设 yf()为区间0，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 yf()为曲边的曲边梯形的面积； (2)设 f()在(0，1)内可导，且 f() （分数：2.00）_29.求圆 2 y 2 2y 内位于抛物线 y 2 上方部分的面积（分数：2.00）_30.求双纽线( 2 y 2 ) 2 a 2 ( 2 y 2 )所围成的面积（分数：
7、2.00）_31.抛物线 y 2 2 把圆 2 y 2 8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比（分数：2.00）_考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 3 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.双纽线( 2 y 2 ) 2 2 y 2 所围成的区域面积可表示为( )（分数：2.00）A.2 B.4C.2D.解析：解析：双纽线( 2 y 2 ) 2 2 y 2 的极坐标形式为 r 2 cos2，再根据对称性，有 A4 3.设 f()，g()在区间a，b
8、上连续，且 g()f()m，则由曲线 yg()，yf()及直线a，b 所围成的平面区域绕直线 ym 旋转一周所得旋转体体积为( )（分数：2.00）A. a b 2mf()g()f()g()dB. a b 2mf()g()f()g()d C. a b mf()g()f()g()dD. a b mf()g()f()g()d解析：解析：由元素法的思想，对，d 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设 f()在0，1上连续，且 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 0 1 f()dk，则 两边积分得 0 1 f()d 0 1 kd，即 k ，所以
9、 k2( 1)，从而 f() 5.设 f()Ci，)，广义积分， 1 f()d 收敛，且满足 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 1 f()dA，则由 f() f()d，得 A 解得 A ，所以 f() 6.设 f() ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1 1）解析：解析：7.设 f()二阶连续可导，且 f(0)1，f(2)3，f(2)5，则 0 1 f(2)d 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：8.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*ln
10、3）解析：解析： -1 5 f(1)d -1 5 f(1)d(1) -2 4 f()d -2 0 f()d 0 4 f()d 9. 1(其中 a 为常数) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1 为被积函数的无穷间断点，则 )解析：13.设 f()在a，b上连续，且 f()0，证明：存在 (a，b)，使
11、得 a f()d b f()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g() a f(t)dt b f(t)dt， 因为 f()在a，b上连续，且f()0， 所以 g(a) a b f(t)dt0，g(b) a b f(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()0，即 a f()d b f()d)解析：14.设 f()在a，b上连续，证明： a b f()d a b f(ab)d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a b f()d )解析：15.设 f()为连续函数，证明： (1) 0 f(sin)d f(sin)d f(sin)d； (2) 0 2 (sin)d4
12、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 I 0 f(sin)d，则 I 0 f(sin)d 0 (t)f(sint)(dt) 0 (t)f(sint)dt 0 ()f(sin)d 0 f(sin)d 0 f(sin)d 0 f(sin)dI， 则 I (2) 0 2 f(sin)d - f(sin)d2 0 f(sin)d 2 0 f(sin)d4 )解析：16.证明： sin n cos n d2 -n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f()连续，证明： 0 0 t f(u)dudt 0 f(t)(t)dt（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
13、因为 0 f(u)du， )解析：18.设 f()连续且关于 T 对称，aTb证明： a b f()d2 T b f()d a 2T-b f()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()关于 T 对称得 f(T)f(T)， 于是 T 25-b f()d )解析：19.设 f(a)f(b)0， a b f 2 ()d1，f()Ca，b (1)求 a b f()f()d； (2)证明： a b f 2 ()d a b 2 f 2 ()d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f()在区间0，1上可导，f(1)2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()
14、 2 f()，由积分中值定理得 f(1)2 2 f()dc 2 f(c)，其中 c0， ，即 (c)(1)，显然 ()在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) )解析：21.设 f()，g()在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f() b g()dg() a ()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 () a f(t)dt b g(t)dt，显然 ()在a，b上可导，又(a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0，而 ()f() b g(t)dtg() a f(t)dt， 所以 f() b g()dg() a f()d0，即 f() b g()d
15、g() a f()d)解析：22.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f()cosd 0 f()sind0证明：存在 (0，)，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F() 0 f(t)sintdt，因为 F(0)F()0，所以存在 1 (0，)，使得 F( 1 )0，即 f( 1 )sin 1 0，又因为 sin 1 0，所以 f( 1 )0 设 1 是f()在(0，)内唯一的零点，则当 (0，)且 1 时，有 sin( 1 )f() 恒正或恒负，于是 0 sin( 1 )f()d0 而 0 sin( 1 )f()dcos 1 0 f()sindsin
16、1 0 f()cosd0，矛盾， 所以 f()在(0，)内至少有两个零点不妨设f( 1 )f( 2 )0， 1 ， 2 (0，)且 1 2 ， 由罗尔中值定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：23.设 f()在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)f(2)0，且f()2证明： 0 2 f()d2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f()f(0)f( 1 )，其中 0 1 ，f()f(2)f( 1 )(2)，其中 2 2， 于是 )解析：24.设 f()在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得f()d(ba)f （分数：2.00）_正确答案：(正确答
17、案：令 F() a f(t)dt，则 F()在a，b上三阶连续可导，取 0 ，由泰勒公式得 F(a)F( 0 )F( 0 )(a 0 ) (a 0 ) 2 (a 0 ) 3 ， 1 (a， 0 )， F(b)F( 0 )F( 0 )(b 0 ) (b 0 ) 2 (b 0 ) 3 ， 2 ( 0 ，b) 两式相减得 F(b)F(a)F( 0 )(ba) F( 1 )F( 2 )，即 因为 f()在a，b上连续，所以存在 1 ， 2 (a，b)，使得 f() f( 1 )f( 2 )，从而 )解析：25.求曲线 ycos( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：V 取，d 0， ，dV y
18、2cosd， 故 V y )解析：26.求曲线 y 2 2、y0、1、3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域面积为 )解析：27.设 L：ye (0) (1)求由 ye 、 轴、y 轴及 a(a0)所围成平面区域绕 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)V(a) 0 a e 2 d (1e -2a ) (2)由 V(c) (1e -2c )， 解得 c )解析：28.设 yf()为区间0，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)，使得在区间
19、0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 yf()为曲边的曲边梯形的面积； (2)设 f()在(0，1)内可导，且 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)S 1 (c)cf(c)，S 2 (c) c 1 f(t)dt 1 c f(t)dt， 即证明 S 1 (c)S 2 (c)，或 cf(c) 1 c f(t)dt0 令 () 1 f(t)dt，(0)(1)0， 根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 (c)0，即 cf(c) 1 c f(t)dt0，所以 S 1 (c)S 2 (c)，命题得证 (2)令 h()f() 1 f(t)dt，因为 h()2f()f()
20、0，所以 h()在0，1上为单调函数，所以(1)中的 c 是唯一的)解析：29.求圆 2 y 2 2y 内位于抛物线 y 2 上方部分的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 所围成的面积为 )解析：30.求双纽线( 2 y 2 ) 2 a 2 ( 2 y 2 )所围成的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令 则双纽线的极坐标形式为 r 2 a 2 cos2(0 )，第一卦限的面积为 )解析：31.抛物线 y 2 2 把圆 2 y 2 8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设左边的面积为 S 1 ，右边的面积为 S 2 ， )解析：
