1、考研数学二（常微分方程）-试卷 4 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.方程 ysinylny，满足条件 y( （分数：2.00）A.B.e sin C.D.3.设 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.yC 1 2 C 2 C 3 B. 2 y 2 CC.yln(C 1 )ln(C 1 sin)D.yC 1 sin 2 C 2 cos 2 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)4
2、.下列微分方程中(填序号) 1 是线性微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_5.已知(1)yyy0 的一个解是 y 1 ，又知 （分数：2.00）填空项 1:_6.已知方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.求下列方程的通解： ()(2)dyy2(2) 3 d； ()y 2 d(y 2 （分数：2.00）_9.求下列方程的通解或特解： （分数：2.00）_10.求方程 y2myn 2 y0 的通解；又设 yy()是满足初始条件 y(0)a，y(0)b 的特解，求 0 y()d
3、，其中，mn0，a，b 为常数（分数：2.00）_11.设 yy()在0，)内可导，且在 0 处的增量yy()y()满足y(1y) （分数：2.00）_12.设函数 f()连续，且 0 f(t)dtsin 2 0 tf(1)dt求 f()（分数：2.00）_13.设有微分方程 y2y()，其中 () （分数：2.00）_14.设函数 f(t)在0，)上连续，且满足方程 f(t) （分数：2.00）_15.已知 y 1 * e e 2 ，y 2 * e e ，y 3 * e e 2 e 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.00）_16.求解初值问题 （分数：
4、2.00）_17.设 P()在(a，b)连续，p()d 表示 p()的某个原函数，C 为任意常数，证明：y （分数：2.00）_18.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(，y)为凸弧 AB 上的任意点(图 65)已知凸弧与弦AP 之间的面积为 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_19.在0，)上给定曲线 yy()0，y(0)2，y()有连续导数已知 （分数：2.00）_20.设 f()为连续正值函数，0，)，若平面区域 R t (，y)0t，0yf()(t0)的形心纵坐标等于曲线 yf()在0，t上对应的曲边梯形面积与 （分数：2.00）_21.设曲线 yy()上 （分
5、数：2.00）_22.求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆（分数：2.00）_23.设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 （分数：2.00）_24.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂（分数：2.00）_25.求微分方程 (y 2 1)dy( 2 1)dy0 的通解（分数：2.00）_26.求解下列方程： ()求方程 yylny的通解； ()求 yy2(y 2 y)满足初始条件y(0)1，y(0)2 的特解（分数：
6、2.00）_考研数学二（常微分方程）-试卷 4 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.方程 ysinylny，满足条件 y( （分数：2.00）A.B.e sin C.D. 解析：解析：这是变量分离的方程3.设 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.yC 1 2 C 2 C 3 B. 2 y 2 CC.yln(C 1 )ln(C 1 sin)D.yC 1 sin 2 C 2 cos
7、 2 解析：二、填空题(总题数：3，分数：6.00)4.下列微分方程中(填序号) 1 是线性微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：、）解析：5.已知(1)yyy0 的一个解是 y 1 ，又知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 C 2 e 2 1，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：6.已知方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ye ）解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.求下列方程的通解： ()(2)dyy2(2)
8、 3 d； ()y 2 d(y 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()原方程改写成 2(2) 2 (一阶线性方程) ，两边同乘 2(2) 积分得 (2) 2 C通解 y(2) 3 C(2)，其中 C 为任意常数 ()原方程改写成 (以 y 为自变量，是一阶线性的) 两边同乘 e y 积分得 y y C 通解 ，其中 C 为任意常数 ()原方程改写成 分离变量得 积分得 )解析：9.求下列方程的通解或特解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()相应齐次方程的特征方程 2 40，特征根 2零不是特征根，方程有特解 y * a 2 bc，代入方程得 2a4(a 2 bc)4 2
9、 4a4，b0，2a4c0 a，c 得 y * 2 则通解为yC 1 e 2 C 2 e 2 2 由初值 y(0)C 1 C 2 ，y(0)2C 1 2C 2 2， 因此得特解 y ()相应齐次方程的特征方程 2 320，特征根 1 1， 2 2由于非齐次项是 e cos；1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y * e (acosbsin)代入原方程比较等式两端 e cos 与 e sin 的系数，可确定出 ，所以非齐次方程的通解为 yC 1 e C 2 e 2 )解析：10.求方程 y2myn 2 y0 的通解；又设 yy()是满足初始条件 y(0)a，y(0)b 的特解，求 0 y(
10、)d，其中，mn0，a，b 为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 2 2mn 2 0，特征根 m ，通解为 y 注意：指数均为负的 将方程两边积分 )解析：11.设 yy()在0，)内可导，且在 0 处的增量yy()y()满足y(1y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式可得(1y) ，令0 即得 1从而 yy()是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： 方程两边乘 ，两边积分得 Cln(4)yC(4)(4)ln(4) 令 0，y2 可确定常数 C 2ln2，故 y( 2ln2)(4)(4)ln(4)(4) )解析：12.设函数 f()连续，且 0 f(t)
11、dtsin 2 0 tf(1)dt求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 代入原方程即得 0 f(t)dtsin2 0 f(u)du 0 uf(u)du 由 f()连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 求导即得 f()2sincos 0 f(u)dusin2 0 f(u)du (在中令 0，得 00，不必另加条件与同解) 在式中令 0 可得 f(0)0，由式还可知 f()可导，于是将它两端对 求导，又得 f()2cos2f() 故求 yf()等价于求解初值问题 的特解解之可得 yf() )解析：13.设有微分方程 y2y()，其中 () （分数：2.00）_正确答案：(正确
12、答案：当 1 时，方程 y2y2 的两边同乘 e -2 得(ye -2 )2e -2 ，积分得通解 yC 1 e 2 1； 而当 1 时，方程 y2y0 的通解为 yC 2 e 2 为保持其在1 处的连续性，应使 C 1 e 2 1C 2 e 2 ，即 C 2 C 1 e -2 ，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C 1 1，即所求特解为 y )解析：14.设函数 f(t)在0，)上连续，且满足方程 f(t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 代入原方程得 f(t) 两边对 t 求导得 f(t)8t 2.f(1).2t.2，即 f(t)8t
13、f(t)8t 在前一个方程中令 t0 得 f(0)1 求 f(t)转化为求解初值问题这是一阶线性方程，两边同乘 得 8t 积分得 f(t)4t 2 C 由 f(0)1 得 C1因此 f(t)(4t 2 1) )解析：15.已知 y 1 * e e 2 ，y 2 * e e ，y 3 * e e 2 e 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y 1 * y 3 * e ，y 2 * y 3 * 2e e 2 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y 1 e ，y 2 2(y 1 * y 3
14、* )(y 2 * y 3 * )e 2 ， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4 * y 1 * y 1 e 因此该非齐次方程的通解是 yC 1 e C 2 e 2 e ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 ypyqyf() 它的相应特征根是 1 1， 2 2，于是特征方程是 (1)(2)=0，即 2 20 因此方程为 yy2yf() 再将特解 y 4 * e 代入得 (2)e (1)e 2e f()，即 f()(12)e 因此方程为 yy2y(12)e )解析：16.求解初值问题 （分数：2.00）_正确
15、答案：(正确答案：这是可降价类型的(方程不显含 )令 p ，并以 y 为自变量变换原方程 代入原方程得 p 2 y -2 C 1 由初值得 C 1 1， 积分得 最后得 y )解析：17.设 P()在(a，b)连续，p()d 表示 p()的某个原函数，C 为任意常数，证明：y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为对任意常数 C，yCe p()d 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p()d e p()d yp()y0 即存在常数 C，使得 ye p()d C，即 yCe p()d )解析：18.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(，y)为凸弧 A
16、B 上的任意点(图 65)已知凸弧与弦AP 之间的面积为 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设凸弧的方程为 yf()，因梯形 OAPC 的面积为 1f()，故 3 0 f(t)dt 1f() 两边对 求导，则得 yf()所满足的微分方程为 yy6 2 1 其通解为 y C6 2 1 对任意常数 C，总有 y(0)1，即此曲线族均通过点 A(0，1) 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即 y(1)0，由此即得 C5，即所求曲线为 y56 2 1 )解析：19.在0，)上给定曲线 yy()0，y(0)2，y()有连续导数已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
17、()列方程，定初值 在0，上侧面积与体积分别为 2 0 y dt， 0 y 2 dt按题意 2 0 y(t) dt 0 y 2 (t)dt， y(0)2 ()转化将式两边求导得 2y() y 2 () (在中令 0，得 00，不必另附加条件)化简得 ()解初值问题 式分离变量得 积分得 为解出 y，两边乘 将，相加得 y )解析：20.设 f()为连续正值函数，0，)，若平面区域 R t (，y)0t，0yf()(t0)的形心纵坐标等于曲线 yf()在0，t上对应的曲边梯形面积与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 0 t f 2 ()d
18、0 t f()d 而相应的曲边梯形的面积为 0 t f()d见图 62按题意 即 0 t f 2 ()d2 0 t f()d 2 0 t f()d(0) ()转化将方程两边求导，则 方程 f 2 (t)4f(t) 0 t f()df(t) f(t)4f()d1 (中令 0，等式自然成立，不必另加条件) f()实质上是可导的，再将方程两边求导，并在中令 t0 得 方程 ()求解等价的微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘 (t)e 4dt )解析：21.设曲线 yy()上 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程曲线 yy()在 点(，y)处的切线斜率为 ，与原点
19、连线的斜率为 ，按题意 1 ()解方程将方程改写为 ydyd0，即 d( 2 y 2 )0 于是通解为 yC(C0 为 )解析：22.求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由曲率半径公式知曲线 yyf()满足 解方程 积分得 由和式得(C 1 ) 2 (yC 2 ) 2 a 2 ，即曲线是圆周 若 y )解析：23.设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()弹性恢复力 fks，由条件知 gk. k24g f24gs，g 为重力加速度重力
20、mg3g ()加速度表示由题目的需要，加速度 a ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得 3 v3g24gs 初始条件：t0 时 s(0)0， v(s) s0 0 ()求解初值问题 分离变量得 vdv(g8gs)ds gs4gs 2 c 由 v(0)0 gs4gs 2 ()当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时 v0解 gs4gs 2 0 得 s0，s 因此，s )解析：24.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q
21、(t)kg任取t，tdt，这段时间内肥皂含量的减少量：抽出水的肥皂含量，即 解此初值问题得 Q(t)5 由 1 )解析：25.求微分方程 (y 2 1)dy( 2 1)dy0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为 )解析：26.求解下列方程： ()求方程 yylny的通解； ()求 yy2(y 2 y)满足初始条件y(0)1，y(0)2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()此方程不显含 y令 py，则原方程化为 pplnp 当 p1 时，可改写为 ，其通解为 lnlnplnC，即 lnpC 1 ，即 y 这样，原方程的通解即为 y C 2 ，其中 C 1 0，C 2 为任意常数 当 P1 时，也可以得到一族解yC 3 ()此方程不显含 令 py，且以 y 为自变量， ，原方程可化为 yp 2(p 2 p) 当 p0 时，可改写为 y 2(p1)或 ，解为 p1C 1 y 2 再利用 Py，以及初始条件，可推出常数 C 1 1从而上述方程为变量可分离的方程 y1y 2 其通解为 ytan(C 2 ) 再一次利用初始条件 y(0)1，即得 C 2 所以满足初始条件的特解为 ytan( )解析：
