1、考研数学二（微分方程）-试卷 5 及答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 一 C 2 )y 3D.
2、C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 33.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+)B.(一，0C.(-，4D.(一，+)4.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y+y=0B.y“+y“一 y一 y=0C.y“一 6y“+11y一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=05.函数 (其中 C 是任意常数)对微分方程 （分数
3、：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解D.不是解6.微分方程 y“一 6y+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2xC.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x7.微分方程 y“+2y+2y=e -x sin x 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e -x (Acos x+Bsin x)B.e -x (Acos x+Bxsin x)C.xe -x (Acos x+Bsin x)D.e -x (Axcos x+Bsin x)8.微分方程 （分数
4、：2.00）A.2e 3x +3ey 2 =CB.2e 3x + C.2e 3x 一 D.e 3x 9.微分方程 y“一 4y“+4y=x 2 +8e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，C，d 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 3 +bx+C+dx 2 e 2xC.ax 2 +bx+cxe 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x二、填空题(总题数：14，分数：28.00)10.设 y 1 =e x ，y 2 =x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 p(x)，q(x)与
5、f(x)均为连续函数，f(x)0设 y 1 (x)，y 2 (x)与 y 3 (x)是二阶线性非齐次方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 满足初值条件 y(0)=0，y(0)= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对任意 x(一，+)，y(一，+)，成立 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，且 f“(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)在(一，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+
6、 0 x f(t)dt=xe x -e x +1，则当一x+时f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 y+ytan x=cos x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 3e x tan ydx+(1 一 e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 y“tan x=yln y 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_
7、20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_22.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1:_23.微分方程(y 2 +1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx 一 dy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 ) (1)证明：y(x)y 0 + 一 arctan x
8、 0 ； （分数：2.00）_26.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界，证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_27.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_28.求解 （分数：2.00）_29.设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y+ysinx=(x)e cos x 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由（分数：2.00）_30.设有方程 y+P(x)
9、y=x 2 ，其中 P(x)= （分数：2.00）_31.设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的特解 y(x)；(2)讨论 （分数：2.00）_32.求微分方程 xy+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_33.求(4 一 x+y)dx 一(2 一 xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_34.求 xy”一 yln y+yln x=0 满足 y(1)=2 和 y(1)=e 2 的特解（分数：2.00）_35.求 y“ 2 一 yy”=1 的通解（分数：2.00）_36.求(x+2)y“+xy“ 2 =y的通解（分数：2.00）_37.求微分方程 （分数：2.00）_
10、38.求微分方程 （分数：2.00）_39.求微分方程 y“一 2y一 e 2x =0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解（分数：2.00）_40.求微分方程 y“+2y+y=xe x 的通解（分数：2.00）_41.求微分方程 y“+4y+4y=e -2x 的通解（分数：2.00）_42.求微分方程 y“+2y一 3y=e -3x 的通解（分数：2.00）_43.求微分方程 y“+5y+6y=2e -x 的通解（分数：2.00）_44.求微分方程(3x 2 +2xy 一 y 2 )dx+(x 2 一 2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_45.设 y(x)是方程 y (4)
11、一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x)（分数：2.00）_考研数学二（微分方程）-试卷 5 答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C
12、 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 一 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 3 解析：解析：由于 C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 3 =C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 3 ，其中 y 1 一 y 3 和 y 2 一 y 3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y 3 是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解3.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上
13、有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+) B.(一，0C.(-，4D.(一，+)解析：解析：因为当 b2 时，y(x)= ，所以，当 b 2 40 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 即 b2当 b 2 40 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 4.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y+y=0B.y“+y“一 y一 y=0 C.y“一 6y“+11y一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=0解析：解析：根据题设
14、条件，1，一 1 是特征方程的两个根，且一 1 是重根，所以特征方程为( 一 1)(+1) 2 = 3 + 2 一 一 1=0，故所求微分方程为 y“+y“一 y一 y=0，故选(B) 或使用待定系数法，具体为： 设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是 y“+ay“+by“+cy=0 由于 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 5.函数 (其中 C 是任意常数)对微分方程 （分数：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解 D.不是解解析：解析：(1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为 C
15、 1 + (2)特解中不含有任意常数 6.微分方程 y“一 6y+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2x C.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x解析：解析：由原方程对应齐次方程的特征方程 r 2 -6r+8=0 得特征根 r 1 =2，r 2 =4又 f 1 (x)=e x ，=1 非特征根，对应特解为 y 1 *=ae x ；f 2 (x)=e 2x ，=2 为特征单根，对应特解为 y 2 *=bxe 2x 故原方程特解的形式为 ae x +bxe 2x ，即选
16、(B)7.微分方程 y“+2y+2y=e -x sin x 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e -x (Acos x+Bsin x)B.e -x (Acos x+Bxsin x)C.xe -x (Acos x+Bsin x) D.e -x (Axcos x+Bsin x)解析：解析：特征方程 r 2 +2r+2=0 即(r+1) 2 =一 1，特征根为 r 1.2 =一 1i，而 i=一 1i 是特征根，特解 y*=xe -x (Acosx+Bsin x)8.微分方程 （分数：2.00）A.2e 3x +3ey 2 =CB.2e 3x + C.2e 3x 一 D.e 3x 解析：解析
17、：原方程写成 ，分离变量有 积分得9.微分方程 y“一 4y“+4y=x 2 +8e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，C，d 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 3 +bx+C+dx 2 e 2x C.ax 2 +bx+cxe 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x解析：解析：对应特征方程为 r 2 一 4r+4=0，特征根是 r 1,2 =2 而 f 1 =x 2 ， 1 =0 非特征根，故 y 1 *=ax 2 +bx+c：又 f 2 =8e 2x ， 2 =2 是二重特征根，所以 y 2 *=dx 2 e 2x y 1 *与 y
18、 2 *合起来就是特解，选(B)二、填空题(总题数：14，分数：28.00)10.设 y 1 =e x ，y 2 =x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可 设所求的二阶线性齐次微分方程为 y“+p(x)y“+q(x)y=0 分别以 y 1 =e x ，y 2 =x 2 代入，得 11.设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y 1 (x)，y 2 (x)与 y 3 (x)是二阶线性非齐次方程 y“+p(x)y“+q(x)y
19、=f(x) 的 3 个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 (y 1 y 2 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 1 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：由线性非齐次方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可 y 1 一 y 2 与 y 2 一 y 3 均是式对应的线性齐次方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k 1 与 k 2 使 k 1 (y 1 一 y 2 )+k 2 (y 2 一 y 3 )=0 设 k 1 0，又由题设知
20、 y 2 -y 3 0，于是式可改写为 12.微分方程 满足初值条件 y(0)=0，y(0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=e y 一 e -y 一 ）解析：解析：熟悉反函数的导数的读者知道， 原方程可化为 x 关于 y 的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为 解得 x 关于 y 的通解为 x=C 1 e y +C 2 e -y 一 以 x=0 时，y=0 代入上式，得 0=C 1 +C 2 再将式两边对 y 求导，有 解得 C 1 =1，C 2 =一 1，于是得特解 x=e y e -y 一 13.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对任意 x(一，+
21、)，y(一，+)，成立 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，且 f“(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：axe x）解析：解析：由 f“(0)存在，设法去证对一切 x，f“(x)存在，并求出 f(x) 将 y=0 代入 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，得 f(x)=f(x)+f(0)e x ， 所以 f(0)=0 14.设 f(x)在(一，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x -e x +1，则当一x+时f(x)= 1（分数：2.00
22、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：未知函数含于积分之中的方程称积分方程现在此积分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对 x 求导数化成微分方程解之注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之将所给方程两边对 x 求导，有 g(f(x)f“(x)+f(x)=xe x 因 g(f(x)x，所以上式成为 xf(x)+f(x)=xe x 以 x=0 代入上式，由于 f“(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x0 时，上式成为 解得 由于 f(x)在 x=0 处可导，所以连续令 x0，得 从而知 C=1于是得 15.微分方程 y+ytan x=cos
23、 x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cos x，其中 C 为任意常数）解析：解析：属于一阶线性非齐次方程，直接根据一阶线性非齐次方程的方法即可得出答案16.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：y“一 4y=0 的特征根 =2，则其通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e 2x 设其特解 y*=Axe 2x 代入 y“*4y=e 2x ，可解得 所以 y“-4y=e 2x 的通解为 C 1 e -2x + 17.微分方程 3e x tan ydx+(1
24、 一 e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：tan y=C(e x 一 1) 3 ，其中 C 为任意常数）解析：解析：方程分离变量得 18.微分方程 y“tan x=yln y 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e Csinx ，其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程分离变量，有 19.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3x 2 +xy=C，其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程
25、原方程化为 由一阶线性方程的通解公式得 20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：原方程是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为 r 2 5r+6=0，即(r 一 3)(r 一 2)=0解出特征根 r 1 =3，r 2 =2，即得上述通解21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 x)e x +1，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：原方程为二阶常系数线性非齐次微分方程其通解为 y=y 齐 +y*，其中 y 齐
26、 是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的一个特解因原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 一 2r+1=0，即(r 一 1) 2 =0，特征根为 r 1,2 =1故 y 齐 =(C 1 +C 2 x)e x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数又据观察，显然y*=1 与 y 齐 合并即得原方程通解22.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：不一定）解析：解析：例如方程(y 2 一 1)dx=(x 一 1)ydy，经分离变量有 23.微分方程(y 2 +1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
27、：正确答案：*其中 C 为任意常数）解析：解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx 一 dy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 ) (1)证明：y(x)y 0 + 一 arctan x 0 ； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx 一 dy 变形为 ，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可 对 两边从 x
28、0 到 x 积分，得 )解析：26.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界，证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程的通解为 y(x)=e -ax (C+ 0 x f(t)e at dt)， 设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即|f(x)|M，则当 x0 时，有 |y(x)|=|e -ax (C+ 0 x f(t)e at dt)| |Ce -ax |+e -ax | 0 x f(t)e at dt| |C|+Me -ax 0 x e at dt )解析：27.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y
29、)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式 曲线 y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)，令X=0，得到截距为 xy=yxy，即 xy=y(1 一 x) 此为一阶可分离变量的方程，于是， 又 y(1)=e -1 ，故 C=1，于是曲线方程为 y= )解析：28.求解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程化为 此为齐次方程，故令 ，代入上述方程得 积分得 ln(u+e u )=一 ln|y|+C 1 ，
30、 (u+e u )y=C， ，故原方程的通解为 )解析：29.设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y+ysinx=(x)e cos x 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e -sinxdx (x)e cosx e sinxdx dx+C) =e cosx (x)e cosx e -cosx dx+C) =e cosx (x)dx+C)=e cosx (x)+C(其中 C 为任意常数) (2)因为 “(x)=(x
31、)，所以 (x)= 0 x (t)dt+C 1 ，又 (0)=0，于是，(x)= 0 x (t)dt 而 (x+2)= 0 x+2 (t)dt= 0 x (t)dt+ x x+2 (t)dt=(x)+ 0 2 (t)dt，所以，当 0 2 (t)dt=0 时，(x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当 0 2 (t)dt=0 时，方程有以 2 为周期的解)解析：30.设有方程 y+P(x)y=x 2 ，其中 P(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，方程及其初值条件为 求解得 y=e -ldx (x 2 e 1dx +C)=e -x (x 2 e x dx
32、+C)=x 2 -2x+2+Ce -x 由 y(0)=2 得 C=0，故 y=x 2 一 2x+2 综上，得 又 y(x)在(一，+)内连续，有 f(1 - )=f(1 + )=f(1)，即 12+2= 所以 )解析：31.设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的特解 y(x)；(2)讨论 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一般认为，一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的计算公式为 y=e -p(x)dx (e p(x)dx .q(x)dx+C)， 而本题是要求写成变限积分形式 (1)初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式，有： )解析：32.求微分方程 xy+y=xe
33、x 满足 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由通解公式得 当 x=1，y=1 时，得 C=1，所以特解为 )解析：33.求(4 一 x+y)dx 一(2 一 xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程化为 设 x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令 解得 h=3，k=一 1，此时原方程化为 )解析：34.求 xy”一 yln y+yln x=0 满足 y(1)=2 和 y(1)=e 2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 y=p，则 y“=P，代入原方程中，xp一 pln P+pln x=0，即 由原方程知 x0，y0，从而
34、 u0，积分后，得 ln u 一 1=C 1 x，即 ln u=C 1 x+1， 代入初值条件y(1)=e 2 ，解得 C 1 =1，得到方程 )解析：35.求 y“ 2 一 yy”=1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.求(x+2)y“+xy“ 2 =y的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边同除以 p 2 ，化为 )解析：37.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为齐次方程，只要作代换 u= 解之即可方程变形为 )解析：38.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：变形和作适当代换后变为可分离变量的方程方程两边同除以 x，得 )解析：39.求微分方程 y“一 2y一 e 2x =0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y“一 2y=0 的特征方程为 2 一 2=0，由此求得特征根 1 =0， 2 =2对应齐次方程的通解为 =C 1 +C 2 e 2x ，设非齐次方程的特解为 y*=Axe 2x ，则 (y*)=(A+2Ax)e 2x ， (y*)“=4A(1+x)e 2x ， )解析：40.求微分方程 y“+2y+y=xe x 的通解（分数：2.00）_正
