1、考研数学二（矩阵）-试卷 10 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=OB.A=OC.AB=0D.A3.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A+B=A+B。B.AB=BA。C.AB=BA。D.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B 一 1 。4.设 A 为 n 阶方阵，且 A+E 与 AE 均可逆，则下列等式中不成立的是( )（分数：2.00
2、）A.(A+E) 2 (AE)=(AE)(A+E) 2 。B.(A+E) -1 (AE)=(AE)(A+E) -1 。C.(A+E) T (AE)=(AE)(A+E) T 。D.(A+E)(AE) * =(AE) * (A+E)。5.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是( )（分数：2.00）A.(A+A 一 1 ) 2 =A 2 +2AA 一 1 +(A 一 1 ) 2 。B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2 。C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA * +(A * ) 2 。D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 2 。6.设 A
3、，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )（分数：2.00）A.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2 。B.(A+B 一 1 =A 一 1 +B 一 1 。C.A+B=A+B。D.(AB) * =B * A * 。7.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是( )（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵。B.AB 是对称矩阵。C.A * +B * 是对称矩阵。D.A 一 2B 是对称矩阵。8.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA 一 1 ) 一 1 =( )（分数：2.00）A.(A+B)B。B.E+AB 一 1 。C.A(A+B)。D
4、.(A+B)A。9.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.EA 不可逆，E+A 不可逆。B.EA 不可逆，E+A 可逆。C.EA 可逆，E+A 可逆。D.EA 可逆，E+A 不可逆。10.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=E。B.CBA=E。C.BAC=E。D.BCA=E。11.下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 一 1 =B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； 如果矩阵 A，B 均为 n
5、阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 为三维列向量，且 （分数：2.00）填空项 1:_14.如果 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 =(1，2，3) T ， （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 2CA 一 2AB=CB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_17.与矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_18.设方阵
6、A 满足 A 2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B,A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.设 （分数：2.00）_24.已知 （分数：2.00）_25.已知 （分数：2.00）_26.已知 PA=BP，其中 （分数：2.00）_27.已知 2CA 一
7、 2AB=C 一 B，其中 （分数：2.00）_28.已知 （分数：2.00）_29.已知 （分数：2.00）_已知 A，B 是反对称矩阵，证明：（分数：4.00）(1).A 2 是对称矩阵；（分数：2.00）_(2).ABBA 是反对称矩阵。（分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 10 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=OB.A=OC.AB=0 D.A解析：
8、解析：AB=AB=0，故有A=0 或B=0，反之亦成立，故应选 C。 取 则AB=O，但 AO，BO，选项 A 不成立。 取 ，选项 B 不成立。 取3.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A+B=A+B。B.AB=BA。C.AB=BA。 D.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B 一 1 。解析：解析：因为AB=AB=BA=BA，所以 C 正确。 取 B=一 A，则A+B=0，而A+B不一定为零，故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确。 因(A+B)(A 一 1 +B 一 1 )E，故 D 也不正确。 所以应选 C。4.设 A 为 n 阶方阵，且
9、 A+E 与 AE 均可逆，则下列等式中不成立的是( )（分数：2.00）A.(A+E) 2 (AE)=(AE)(A+E) 2 。B.(A+E) -1 (AE)=(AE)(A+E) -1 。C.(A+E) T (AE)=(AE)(A+E) T 。 D.(A+E)(AE) * =(AE) * (A+E)。解析：解析：由 A 与 E 可交换可得，A+E 与 AE 可交换，进而(A+E) 2 与 AE 也可交换，故选项 A 正确。显然，(A 一 E)(A+E)=(A+E)(AE)。若在等式两边同时左、右乘(A+E) 一 1 ，可得(A+E) 一 1 (AE)=(AE)(A+E) 一 1 ；若先在等式
10、两边同时左、右乘(AE) 一 1 ，可得(A+E) (AE) 一 1 =(AE) 一 1 (A+E)，再在所得的等式两边同时乘以AE，即得(A+E)(AE) * =(AE) * (A+E)。故选项 B，D 正确。 事实上，只有当 A T A=AA T 时，(A+E) T (A 一 E)=(AE)(A+E) T 才成立。而 A T A=AA T 不一定成立。例如：取 5.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是( )（分数：2.00）A.(A+A 一 1 ) 2 =A 2 +2AA 一 1 +(A 一 1 ) 2 。B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T )
11、2 。 C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA * +(A * ) 2 。D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 2 。解析：解析：由矩阵乘法的分配律可知(A+B) 2 =(A+B)A+(A+B)B=A 2 +BA+AB+B 2 ， 当且仅当矩阵 A，B可交换(即 AB=BA)时，(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 成立。 由于 A 与 A -1 ，A * ，E 都是可交换的，而 A 与 A T 不一定可交换，所以选 B。6.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )（分数：2.00）A.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2 。B.(A+B 一 1 =
12、A 一 1 +B 一 1 。C.A+B=A+B。D.(AB) * =B * A * 。 解析：解析：根据伴随矩阵的定义可知(AB) * =AB(AB) 一 1 =ABB 一 1 A 一 1 =B * A * ，故选D。7.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是( )（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵。B.AB 是对称矩阵。 C.A * +B * 是对称矩阵。D.A 一 2B 是对称矩阵。解析：解析：由题设条件，则 (A+B) T =A T +B T =A+B，(kB) T =kB T =kB，所以有 (A 一 2B) T =A T 一(2B T )=A 一 2B，从而选项 A，D
13、 是正确的。 首先来证明(A * ) T =(A T ) * ，即只需证明等式两边(i,j)位置元素相等。(A * ) T 在位置(i，j)的元素等于 A * 在(j，i)位置的元素，且为元素 a ij 的代数余子式A ij 而矩阵(A T ) * 在(i,j)位置的元素等于 A T 的(j，i)位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 a ij =a ij ，则该元素仍为元素 a ij 的代数余子式 A ij 从而(A * ) T =(A T ) * =A * ，故 A * 为对称矩阵，同理，B 也为对称矩阵。结合选项 A 可知选项 C 是正确的。 因为(AB) T =B T A T
14、=BA，从而选项 B 不正确。 注意：当 A、B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA。所以应选 B。8.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA 一 1 ) 一 1 =( )（分数：2.00）A.(A+B)B。B.E+AB 一 1 。C.A(A+B)。 D.(A+B)A。解析：解析：因为 (E+BA -1 )一=(AA 一 1 +BA 一 1 ) 一 1 =(A+B)A 一 1 一 1 =(A 一 1 ) 一 1 (A+B) 一 1 =A(A+B)，所以应选 C。 注意，由(A+B) 2 =E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(
15、A+B) 一 1 =(A+B)。9.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.EA 不可逆，E+A 不可逆。B.EA 不可逆，E+A 可逆。C.EA 可逆，E+A 可逆。 D.EA 可逆，E+A 不可逆。解析：解析：已知(EA)(E+A+A 2 )=E 一 A 3 =E，(E+A)(EA+A 2 )=E+A 3 =E。故 EA，E+A 均可逆。故应选 C。10.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=E。B.CBA=E。C.BAC=E。D.BCA=E。 解
16、析：解析：由题设 ABC=E，可知 A(BC)=E 或(AB)C=E， 即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有 (BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E， 比较四个选项，应选 D。11.下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 一 1 =B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。 解析：解析：如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题当然正
17、确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故不正确。例如 显然 A 不可逆。若 A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2 =E，即(AB)(AB)=E，则可知 A、B 均可逆，于是ABA=B 一 1 ，从而 BABA=E，即(BA) 2 =E。因此正确。若设 显然 A、B 都不可逆，但 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，则 13.设 为三维列向量，且 （分数：2.00）填空项
18、1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： T 等于矩阵 T 的对角线元素之和，即 T =1+43=2。14.如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A）解析：解析：已知 且 B 2 =E，则 15.设 =(1，2，3) T ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 且矩阵的乘法满足结合律，所以 A 3 =( T )( T )( T )=( T )( T ) T 16.已知 2CA 一 2AB=CB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 2CA 一 2AB=C 一 B，得 2CAC=2AB
19、B，因此有 C(2A 一 E)=(2AE)B。因为 可逆，所以 C=(2AE)B(2AE) -1 ，于是 17.与矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设矩阵 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得 即 x 3 =一 2x 2 ，x 1 =4x 2 +x 4 ，所以 18.设方阵 A 满足 A 2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 2 一 A 一 2E=O，可得(A+2E)(A 一 3E)=一 4E，于是有(A+2E)
20、-1 (A+2E)(A 一 3E)=一4(A+2E) -1 ，因此 19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由(EB 一 1 A) T B T X=E，得B(EB 一 1 A) T X=E，即 P(BA) T X=E，因此 20.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 B+E=(E+A) 一 1 (EA)+E =(E+A) 一 1 (EA)+(E+A) 一 1 (E+A) =(E+A) 一 1 (E 一 A)+(E+A) =2(E+A) 一 1 ，可得 因此 21.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已
21、知 AB=2A+3B,A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B 一 2E，于是有 AB 一 2A 一 3B+6E=6E，则有(A 一 3E)(B 一 2E)=6E。从而三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先观察 下面用数学归纳法证明此结论成立：当 n=2 时，结论显然成立；假没 n=k 时成立，则 n=k+1 时， 由数学归纳法知 )解析：24.已知 （分数：2.00）_正确答案：(
22、正确答案：将矩阵 A 分块，即 将 B 改写成 B=3E+P，于是 B n =(3E+P) n =3 n E+C n 1 3 n-1 P+C n 2 3 n-2 P 2 ， )解析：25.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+X+B+BA=O 可得(A+E)X=一 B(E+A)，而 A+E 可逆的，所以 X=一(A+E)B(E+A)，故 X 2006 =(A+E) -1 B 2006 (E+A)=(A+E) -1 (E+A)=E。)解析：26.已知 PA=BP，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P=6，则矩阵 P 可逆。由 PA=BP 可得 A=p -1 BP
23、，于是 A 2006 =P -1 B 2008 P。又因为 )解析：27.已知 2CA 一 2AB=C 一 B，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2CA 一 2AB=CB 得 2CAC=2ABB，即 C(2AE)=(2AE)B。 因为 且2AE=1，所以 2AE 可逆，于是 C 3 =(2AE)B 3 (2AE) -1 )解析：28.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 )解析：29.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：计算可得 A 4 =E，则 B 2016 =PA 2016 P -1 =P(A 4 ) 504 P -1 =E，于是 B 201
24、6 +A 4 =2E。)解析：已知 A，B 是反对称矩阵，证明：（分数：4.00）(1).A 2 是对称矩阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A 2 ) T =A T A T =(一 A)(一 A)=A 2 ，所以 A 2 是对称矩阵。)解析：(2).ABBA 是反对称矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(ABBA) T =B T A T A T B T =BAAB=一(ABBA)，所以 ABBA 是反对称矩阵。 由 AB=AB 可得 E+ABAB=E，即(E+A)(E 一 B)=E，这说明 E+A 与 E 一 B 互为逆矩阵，所以(E 一 B)(E+A)=E，将括号展开得 BA=AB，从而可得 AB=BA，即 A，B 满足乘法交换律。)解析：
