1、考研数学二（矩阵）-试卷 2 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.r(A)=m，r(B)=mB.r(A)=m，r(B)=nC.r(A)=n，r(B)=mD.r(A)=n，r(B)=n3.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=O，若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D.4.设矩阵 （分数：2.00）A.一 6B.6C.一D
2、.5.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算正确的是( )（分数：2.00）A.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2 B.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B 一 1 C.(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 D.(AB) * =B * A * 6.设 A=E 一 2 T ，其中 =(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，且有 T =1则 (1)A 是对称阵 (2)A 2 是单位阵 (3)A 是正交阵 (4)A 是可逆阵 上述结论中，正确的个数是( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 （分数：2.00）A.AP 1 P
3、2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B9.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.OB.一 IC.I.D.I+ T 10.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_13.设矩阵 X 满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2
4、.00）填空项 1:_15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_16.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=A 一 2B，B= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 XA=A T +X，其中 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明：（分数：4.00
5、）(1).若A=0，则A * =0；（分数：2.00）_(2).A * =A n-1 （分数：2.00）_23.设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.证明 r(A)=1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 b T ，使 A=ab T （分数：2.00）_26.设向量组 （分数：2.00）_27.在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n
6、=1) (1)求关系式 中的矩阵 A； (2)设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_28.设 A、B 是 n 阶矩阵，E 一 AB 可逆，证明：E 一 BA 可逆（分数：2.00）_29.设 A 是 n 阶实对称矩阵，且 A 2 =O，证明：A=O（分数：2.00）_30.已知 A 是 2n+1 阶正交矩阵，即 AA T =A T A=E，证明：EA 2 =0（分数：2.00）_31.已知 若 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 2 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
7、个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.r(A)=m，r(B)=m B.r(A)=m，r(B)=nC.r(A)=n，r(B)=mD.r(A)=n，r(B)=n解析：解析：本题主要考查矩阵的秩的性质因为 AB=E，所以 r(AB)=m又 r(AB)=mminr(A)，r(B)，即 r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以 r(A)=m，r(B)=m故选 A3.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=O，若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D.
8、 解析：解析：本题考查的是矩阵相似的性质，实对称矩阵可对角化的性质，矩阵的特征值，矩阵的秩等设 A 的特征值为 ，因为 A 2 +A=O，所以 2 +=0，即 (+1)=0，则 =0 或 =一 1又因为r(A)=3，而由题意 A 必可相似对角化，且对角矩阵的秩也是 3，所以 =一 1 是三重特征根，则 4.设矩阵 （分数：2.00）A.一 6B.6C.一 D.解析：解析：化简矩阵方程，构造曰+E，用分组因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=一 E，即(A+E)(B+E)=一 E，两边取行列式，由行列式乘法公式得5.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算正确的是( )（分数：2.00
9、）A.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2 B.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B 一 1 C.(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 D.(AB) * =B * A * 解析：解析：矩阵的乘法没有交换律，因此 A，B 可逆不能保证 AB=BA，例如 , 所以选项A、C 均不正确A，B 可逆时，A+B 不一定可逆，即使 A+B 可逆，其逆一般也不等于 A -1 +B -1 仍以 而 6.设 A=E 一 2 T ，其中 =(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，且有 T =1则 (1)A 是对称阵 (2)A 2 是单位阵 (3)A 是正交阵 (4)A 是可逆阵 上述结论中，正确的个数是
10、( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：A T =(E 一 2 T ) T =E T 一(2 T ) T =E 一 2 T =A，(1)成立A 2 =(E 一2 T )(E 一 2 T )=E 一 4 T +4 T T =E 一 4 T +4( T ) T =E，(2)成立由(1)、(2)，得 A 2 =A T =E，故 A 是正交阵，(3)成立由(3)知正交阵是可逆阵，且 A -1 =A T ，(4)成立故应选 D7.设 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：P、Q 均为初等矩阵，因为 P -1 =P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的 1、3 两行，那
11、么 P 2010 A 表示把 A 的 1、3 两行互换 2010 次，从而(P -1 ) 2010 A=P 2010 A=A又 8.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：由于对矩阵 A mn 施行一次初等变换相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A mn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、b 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第 1 行加到第 3 行上，再把所得的矩阵的第 1、2 两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩
12、阵分别为题中条件的 P 2 与 P 1 ，因此选项 C 正确9.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.OB.一 IC.I. D.I+ T 解析：解析：由题意可知， AB=(I T )(I+2 T ) =I 一 T +2 T 一 2 T T =I+ T 一 2 T ( T ) =I+ T 一 2( T ) T 又因为 10.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩 C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式解析：解析：由合同的定义可知，A 与 B 合同，则存在可逆矩阵 C，使
13、 C T AC=b，且 r(A)=r(c T AC)=r(B)因此应选 B二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题可以采用单位矩阵恒等变形的技巧则 B 一 E=(EA)(E+2A) 一 1 一(E+2A)(E+2A) 一 1 =(EA)一(E+2A)(E+2A) 一 1 =一 3A(E+2A) 一 1 ， 12.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AA * =AE，因此 A=A(A * ) -1 ，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得A
14、* =一 8=A 3 ，因此A=一 2，又 13.设矩阵 X 满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：将 B 按列分块，设 B=( 1 ， 2 ， 3 )，则 AB=A( 1 ， 2 ， 3 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=0，因此可得 A 1 =0，A 2 =0,A 3 =0，因此 1 ， 2 ， 3 都是齐次线性方程组Ax=0 的解向量?对于齐次线性方程组 AB=0，求出其通解对 A 作初等行变换 则 Ax=0 有通解 k一2，一 1，1 T 令 1 ， 2 ，
15、 3 都是齐次线性方程组 Ax=0 的通解，再合并成矩阵 B，即得 15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据已知 AX+2B=BA+2X，得 Ax 一 2X=BA 一 2B，即(A 一 2E)X=B(A 一 2E)，由于 是可逆的，因此 X=(A 一 2E) 一 1 B(A 一 2E)，那么 X 2 =(A 一 2E) 一 1 B 2 (A 一 2E) 16.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：依矩阵乘法直接计算得 17.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由
16、AB+2A=A(B+2E)，且 是可逆矩阵，因此 r(AB+2A)=r(A(B+2E)=r(A)因为经过初等变换，矩阵的秩不变，则18.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A * 也是可逆的，因此 r(AXA * )=r(X)=2=r(B)，因此可得B=0，则 19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 BA T =D 可知，r(B)+r(A T )3，即 r(A)+r(B)3又因为 BO，因此 r(B)1，从而有 r(A)3，即A=0，因此 于是可得 20.设 A，B 均为
17、 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=A 一 2B，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知 AB=A 一 2B，则21.设 XA=A T +X，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知 XAX=A T ，则有 X(AE)=A T 因为已知矩阵 A 是可逆的，则矩阵 X 和(AE)均是可逆矩阵，故 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明：（分数：4.00）(1).若A=0，则A
18、* =0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设A * 0，由矩阵可逆的充分必要条件可知 A * 是可逆矩阵，则有 A * (A * ) -1 =E，又因为 A * =A -1 A，这里A0，由此得 A=AE=AA * (A * ) -1 =AE(A * ) 一 1 =O，所以 A * =O这与A * 0 矛盾，故当A=0 时，有A * =0)解析：(2).A * =A n-1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AA * =AE，两端同时取行列式得AA * =A n 当A0 时，A * =A n-1 ；当A=0 时，A * =0综上，有A * =A n-1 成立)解析：2
19、3.设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 ，其中，X 1 为 ns 矩阵，X 2 为 nn 矩阵，X 3 为 ss 矩阵，X 4 为 sn 矩阵，由矩阵互逆的定义可得 (2)将 其中，X 1 为 nn 矩阵，X 2 为 ns 矩阵，X 3 为 sn 矩阵，X 4 为 ss 矩阵，由矩阵互逆的定义可得 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 作初等变换， )解析：25.证明 r(A)=1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 b T ，使 A=ab T （分数：2.00）_正确答案：(正确答
20、案：充分性：设 a=(a 1 ，a 2 ，a m ) T ，b=(b 1 ，b 2 ，b m ) T ，设 a 1 b 1 0，根据矩阵秩的性质 r(AB)minr(A)，r(B)，因为 A=ab T ，所以 r(A)r(A)=1另一方面，根据假设 a 1 b 1 0 可知，A 的第一行第一列的元素 a 1 b 1 0，所以 r(A)1综上所述 r(A)=1必要性：设 A=(a ij ) mn ，因 r(A)=1，设 a 11 0，由矩阵的等价可知，存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵Q，使 )解析：26.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=(a 3 ，a 4 ，a
21、 1 ，a 2 )，并对矩阵 A 作初等行变换 )解析：27.在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n =1) (1)求关系式 中的矩阵 A； (2)设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题意，人口迁移的规律不变 x n+1 =x n +qy n 一 px n =(1 一 p)x n +qy n ，y n+1 =y n +px n 一 qy n =px n +(1 一 q)
22、y n ，用矩阵表示为 )解析：28.设 A、B 是 n 阶矩阵，E 一 AB 可逆，证明：E 一 BA 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用反证法若EBA=0，则齐次方程组(EBA)x=0 有非零解假设 是其非零解，则(EBA)=0，即 BA=，且 0 (*) 又因为(EAB)A=A 一(AB)A=A 一 A(BA)=A 一 A=0，从(*)式中知，A0，那么(EAB)x=0 有非零解 A，这与 EAB 可逆相矛盾)解析：29.设 A 是 n 阶实对称矩阵，且 A 2 =O，证明：A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于矩阵 A 是实对称矩阵，则矩阵 A 必可对角化
23、设 P 一 1 AP=A，那么 A=PAP 一 1 ，可得 A 2 =PA 2 P -1 因为 A 2 =O，所以 A 2 =O，即 A=O 故 A=PAP -1 =O)解析：30.已知 A 是 2n+1 阶正交矩阵，即 AA T =A T A=E，证明：EA 2 =0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件可得A 2 =A.A T =AA T =E=1若A=1，则EA=AA T A=A(A T E T )=A.AE=一(EA)=(一 1) 2n+1 E 一 A=一EA，从而E 一 A=0若A=一 1，则由E+A=AA T +A=A(A T +E T )=A.A+E=一E+A，可得E+A=0又因E 一 A 2 =(EA)(E+A)=EA.E+A，所以无论A为 1 还是一 1，一定有EA 2 =0)解析：31.已知 若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得A=4，用矩阵 A 左乘方程(*)两端，则 )解析：
