1、考研数学二（线性代数）-试卷 10 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 4 阶矩阵，其秩 r(A)=3，那么 r(A * ) * )为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B4.设 （分数：2.00）A.A 一 1 P 1 P 2B.P 1 A 一 1 P 2C.P 1 P 2 A 一 1D.P 2
2、A 一 1 P 15.A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(一 2) n A nB.(4A) nC.(一 2) 2n A * nD.4A n6.A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(一 2) n A * nB.2 n A * nC.(一 2) n A n 一 1D.2 n A n 一 17.设 A= ，则(P 一 1 ) 2016 A(Q 2011 ) 一 1 = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 ，线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 如果 1
3、， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.设 1 ， 2 ， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 一 2 ， 1 一 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4B.3C.2D.110.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0
4、 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 一 2 )二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_1
5、6.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：AE 可逆，并求(AE) 一 1 （分数：2.00）_20.设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A 一 1 和(A+B) 一 1 （分数：2.00）_21.设 A，B 是 n 阶方阵，B 及 E+AB 可逆，证明：E+BA 也可逆，并求(E+BA) 一 1 （分数：2.00）
6、_22.设 A=E 一 T ， 是非零列向量，证明：(1)A 2 =A 的充要条件是 T =1；(2)当 T =1 时，A 不可逆（分数：2.00）_23.设 A，B 都是 n 阶对称阵，已知 E+AB 不可逆，证明：E+BA 也不可逆（分数：2.00）_24.已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O，证明：B 不可逆（分数：2.00）_25.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.00）_26.已知 n 阶矩阵 （分数：2.00）_27.设矩阵 A 的伴随阵 A * = （分数：2.00）_28.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，其中 （分数：2.00）_29.设
7、 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B，证明：B 可逆，并推导 A 一 1 和 B 一 1 的关系（分数：2.00）_30.设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a，证明：(1)a0；(2)A 一 1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_31.(1)A，B 为 n 阶方阵，证明： （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 10 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 4 阶
8、矩阵，其秩 r(A)=3，那么 r(A * ) * )为 ( )（分数：2.00）A.0 B.1C.2D.3解析：解析：由于(A * ) * =A n 一 2 A，由于 A 不满秩，故A=0于是(A * ) * =O，r(A * ) * )=0，故应选(A)3.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第一，二行对换(再 P 1 左乘 P 2 A)得到，故(C)成立4.设 （分数：2.00）A.A 一 1 P 1 P 2B.P 1 A 一 1
9、 P 2C.P 1 P 2 A 一 1 D.P 2 A 一 1 P 1解析：解析：因 B=AP 2 P 1 ，B * =(AP 2 P 1 ) * =P * P * A * =P 1 P 2 A * 5.A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(一 2) n A nB.(4A) n C.(一 2) 2n A * nD.4A n解析：解析： 6.A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(一 2) n A * nB.2 n A * nC.(一 2) n A n 一 1D.2 n A n 一 1 解析：解析： 7.设 A= ，则(P 一 1 ) 2016 A(Q 2011 ) 一 1 =
10、 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：易知 P 2 =E，故 P 一 1 =P，进一步有 (P 一 1 ) 2016 =P 2016 =(P 2 ) 1008 =E 8.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 ，线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3
11、 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：如果 1 ， 2 ， 3 线性无关，由于 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 个 3 维向量，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 4 必能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，可知是正确的 令 1 = 9.设 1 ， 2 ， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 一 2 ， 1 一 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4 B.3C.2D.1解析：解析：由 A 1 =A 2 =A 3 =b 可知 A( 1 一 2 )=A 1 一 A 2 =b 一 b=0， A( 1 2 2
12、+ 3 )=A 1 2A 2 +A 3 =b2b+b=0， 10.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 一 2 ) 解析：解析：因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由 n 一 r(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1 ， 1 + 2 与 1 一 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1 ，a：是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k 1 可能不是通解如果 1 =一 2 0，则 1
13、， 2 是两个不同的解，但 1 + 2 =0，即两个不同的解不能保证 1 + 2 0因此要排除(B)，(C)由于 1 2 ，必有 1 一 2 0可见(D)正确二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：(2A)(2A) * =2AE，(2A) * =2A(2A) 一 1 ， (2A) * =2A(2A) 一 1 =2 n A A 一 1 =2 n 一 1 5A 一 1 =(2 n 一 1 5) n A 一 1 = 12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （
14、正确答案：正确答案：*）解析：解析：(A * ) 一 1 = 13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E+B=E+(E+A) 一 1 (E 一 A)=(E+A) 一 1 (E+A+E 一 A)=(E+A) 一 1 2E，故 15.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
15、解析：16.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换)且 B 4 =O，故 (E+B)(EB+B 2 一 B 3 )=E一 B 4 =E， 故 A=E+B 可逆，且 A 一 1 =(E+B) 一 1 =EB+B 2 一 B 3 又 )解析：19.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：AE 可逆，并求(AE) 一 1 （分数：2.00
16、）_正确答案：(正确答案：因 AB=A+B，即 ABAB=O，AB 一 AB+E=E，A(BE)一(BE)=E，即 (A 一 E)(BE)=E， 故 AE 可逆，且(AE) 一 1 =BE)解析：20.设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A 一 1 和(A+B) 一 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设：A 2 +AB+B 2 =O，得 A(A+B)=一 B 2 式右乘(一 B 2 ) 一 1 ，得A(A+B)(一 B 2 ) 一 1 =E，得 A 可逆，且 A 一 1 =(A+B)(一 B 2 )
17、一 1 式左乘(一 B 2 ) 一 1 ，得(一 B 2 ) 一 1 A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) 一 1 =(一 B 2 ) 一 1 A)解析：21.设 A，B 是 n 阶方阵，B 及 E+AB 可逆，证明：E+BA 也可逆，并求(E+BA) 一 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E+BA)=B(B 一 1 +A)=B(E+AB)B 一 1 ，因 B，E+AB 可逆，故 E+BA 可逆，且 (E+BA) 一 1 =B(E+AB)B 一 1 一 1 =B(E+AB) 一 1 B 一 1 )解析：22.设 A=E 一 T ， 是非零列向量，证明：(1)A 2
18、=A 的充要条件是 T =1；(2)当 T =1 时，A 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 =(E 一 T ) 2 =E 一 2 T +( T ) 2 =E 一(2 一 T ) T =A2 一 T =1，即 T =21=1 (2) T =1，A 2 一 A=A(AE)=O，AE，AX=0 有非零解，故A=0)解析：23.设 A，B 都是 n 阶对称阵，已知 E+AB 不可逆，证明：E+BA 也不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E+BA=(E+BA) T =E+A T B T =E+AB=0，故 E+BA 也不可逆)解析：24.已知 A，B 是三阶方阵，
19、AO，AB=O，证明：B 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB=O，(AB) T =B T A T =O，AO，B T X=0 有非零解，故B T =0，即B=0，从而有 B 不可逆)解析：25.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.已知 n 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =AE=E， )解析：27.设矩阵 A 的伴随阵 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 (AE)BA 一 1 =3E， (AE)B=3A A 一 1 (AE)B=3E， (E 一 A 一 1 )B=3
20、E (E 一 )B=3E 其中A * =8=A 3 ，A=2，从而得 (2E 一 A * )B=6E，B=6(2EA * ) 一 1 ， )解析：28.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边左乘 A，右乘 A 一 1 ，得AB=2AB 一 8E，(AE 一 2A)B=一 8E，B=一8(AE 一 2A) 一 1 =一 8 )解析：29.设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B，证明：B 可逆，并推导 A 一 1 和 B 一 1 的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 E ij
21、 为初等阵 )解析：30.设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a，证明：(1)a0；(2)A 一 1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 A 中各列加到第一列，得 若 a=0，则A=0，这与 A 是可逆阵矛盾，故 a0。 (2)令 A= 1 ， 2 ， n ，A 一 1 = 1 ， 2 ， n ，E=e 1 ，e 2 ，e n ，由 A 一 1 A=E，得 A 一 1 1 ， 2 ， n =e 1 ，e 2 ，e n ， A 一 1 j =e j ，j=1，n， A 一 1 1 +A 一 1 2 +A 一 1 n =e 1 +e 2 +e n ， )解析：31.(1)A，B 为 n 阶方阵，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
