1、考研数学二（线性代数）-试卷 12 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆3.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1
2、，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 - 1 ， 2 - 2 ， s - 1 的秩为 r 1 -r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， n 的秩为 r 15.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mB.若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 Ax=b 一定有唯一
3、解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解6.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P -
4、1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B8.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 Ax=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a-2，a-1，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 为三阶矩阵，且A=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E，则(A-3E)
5、-1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，-3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.证明： （分数：2.00）_17.设
6、A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 A= （分数：2.00）_18.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O 证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_19.n 维列向量组 1 ， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， 1 ， 线性无关（分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_21.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.设 =
7、（分数：2.00）_设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 -3A=O，设(1，1，-1) T 为 A的非零特征值对应的特征向量（分数：4.00）(1).求 A 的特征值；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a-1)x 1 2 +(a-1)x 2 x 2 +2x 3 x 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2（分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_25.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3
8、 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 12 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析：若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB=AB，所以AB0，于是
9、 AB 可逆，选(B)3.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A，B 都是可逆矩阵，因为 所以4.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 - 1 ， 2 - 2 ， s - 1 的秩为 r 1 -r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ，
10、2 ， s ， 1 ， 2 ， n 的秩为 r 1 解析：解析：因为向量组 1 ， 2 ， s 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， s 与向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 等价，选(D)5.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mB.若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 Ax=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解 解析：解析：因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵)，则 r( )=m，于是 r(A)=r(6.设三阶矩阵 A 的特征值为
11、1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征向量正交 D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量解析：解析：由 1 =-1， 2 =0， 3 =1 得A=0，则 r(A)1 + 2 + 3 =tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 Ax=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质
12、，选(C)7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选(D)8.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B
13、合同B.A，B 相似C.方程组 Ax=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B) 解析：解析：因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a-2，a-1，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0 得 a=110.设 A 为三阶矩阵，且A=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由 A=AA -1 =4A -1 得 =(2
14、A -1 ) -1 = 11.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E，则(A-3E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(A+4E)）解析：解析：由 A 2 +A=3E，得 A 2 +A-3E=0，(A-3E)(A+4E)=-9E， (A-3E) (A+4E)=E，则(A-3E) -1 = 12.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，-3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 =- 1 -2 2 +3 4）解
15、析：解析：因为(1，1，2，-3) T 为 AX=0 的解， 所以 1 + 2 +2 3 -3 4 =0，故 2 =- 1 -2 2 +3 4 13.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(其中 k 为任意常数)）解析：解析：k(1，1，1) T ，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 ，又因为 r(A)=n-1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 14.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
16、3）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+3-6a=0，a=3三、解答题(总题数：13，分数：28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * BA=2BA-8E 得 AA * BA=2ABA-8A， 即-2BA=2ABA-8A，整理得(A+E)B=4E，所以 )解析：18.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O 证明：r(4E-A)+r(2E
17、+A)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 -2A-8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得 r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E-A)+r(2E+A)=n)解析：19.n 维列向量组 1 ， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， 1 ， 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 0 +k 1 1 +k n-1 n-1 =0，由 1 ， n1 与非零向量 正交及(，k 0 +k 1 1 +k n-1 n-1 )=0 得 k 0 (，)
18、=0，因为 为非零向量，所以(，)= 2 0，于是 k 0 =0，故 k 1 1 +k n-1 n-1 =0，由 1 ， n-1 线性无关得 k 1 =k n-1 =0，于是 1 ， n-1 ， 线性无关)解析：20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由，r(A)=2 可知 Ax=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 3 1 +2 2 - 3 =0， 因此 = )解析：21.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_
19、正确答案：(正确答案： (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 x 1 =1- ，x 3 =0； (2)当 a=0 时， 因为 r(A)r( )，所以方程组无解； (3)当 a=b0 时， 方程组有无穷多个解，通解为 X= )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= )解析：23.设 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= T ，由E-A= 2 (-2)=0 得 1 = 2 =0， 3 =2， 因为 6E-A n 的特征值为 6，6，6-2 n ，所以6E-A n =6 2 (6-2 n )解析：设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，
20、A 2 -3A=O，设(1，1，-1) T 为 A的非零特征值对应的特征向量（分数：4.00）(1).求 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 -3A=O A3E-A=0 )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 -x 3 =0，则 0对应的特征向量为 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(1，0，1) T ，令 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * 的特征向量也是 A 的特征向量，由 因为A=-1，所以 a=2，
21、于是 a=2，b=-3，c=2，= )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a-1)x 1 2 +(a-1)x 2 x 2 +2x 3 x 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2（分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= )解析：(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，由E-A=0 得 1 = 2 =2， 3 =0 当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 当 =0 时，由(0E-A)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 3 = 因为 1 ， 2 两两正交，单位化得 ， 则 f=X T AX )解析：25.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) 2y 1 x 2 -2y 2 x 2 +8y 1 x 3 +4y 2 x 3 =2(y 1 +2y 3 ) 2 -2(y 2 -y 3 ) 2 -6y 3 2 ， f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX )解析：
