1、考研数学二（线性代数）-试卷 28 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，一 2，1 TC. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，一 2 T3.A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则 ( )（分数：2.00）A.A，B 的特征矩阵相同B.A，B 的特征方程相同C.A，B 相似于同一个对角阵D.存在 n 阶方阵 Q，使得 Q T AQ=B4.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数
2、：2.00）A.B.C.D.5.下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.6.A 是 nn 矩阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A 有 n 个不同的特征值B.A 有 n 个不同的特征向量C.A 的每个 r i 重特征值 i ，r( i E-A)=n 一 r iD.A 是实对称矩阵7.设 （分数：2.00）A.A，B，CB.B，DC.A，C，DD.A，C8.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A -1 B -1 正确命题的个数为 ( )（分数：2.00）
3、A.1B.2C.3D.49.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一特征值等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.已知 （分数：2.00）A. 1 ，一 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 2 3 C. 1 ， 3 ， 2 D. 1 + 2 ， 1 - 2 ， 3 11.设 A，B 均是 n 阶实对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的正、负惯性指数D.A，B 均是可逆阵12.设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与 j 列对换，然后再将第 i 行和第
4、j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.13.下列矩阵中与 合同的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.14.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )的秩为 r，符号差为 s，且 f 和一 f 合同，则必有 ( )（分数：2.00）A.r 是偶数，s=1B.r 是奇数，s=1C.r 是偶数，s=0D.r 是奇数，s=015.设 A=E 一 2XX T ，其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，且 X T X=1，则 A 不是 ( )（分数：2.00）A.对称阵B.可逆阵C.正交阵D.正定阵二、填空题(总题数：6，分数：12.00)16.
5、与 1 =1，2，3，一 1 T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_17.已知 =a，1，1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 =1，3，2 T ，=1，一 1，一 2 T ，A=E- T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的三维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.已知二次型 f(x 1 ，x 2
6、 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 3 +2tx 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设实对称矩阵 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，一 1 T ， 2 =一 1，2，2 T ， 3 =2，一 1，2 T 又 =1，2，3 T ，计算：(1)A n 1 ；(2)A
7、n （分数：2.00）_26.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_27.已知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 -2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2试确定参数 c 及二次型对应矩阵的特征值，并问 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种曲面（分数：2.00）_28.已知 A 是 mn 矩阵
8、，mn 证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_29.设矩阵 （分数：2.00）_30.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_31.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_32.证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+B T A 正定（分数：2.00）_33.设 A 与 B 均为正交
9、矩阵，并且|A|+|B|=0，证明：A+B 不可逆（分数：2.00）_34.已知 f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 ，求正交变换 P， 使得 （分数：2.00）_35.设 A=(a ij ) nn 为实对称矩阵，求二次型函数 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_36.已知三元二次型 X T AX 经正交变换化为 2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 ，又知矩阵 B 满足矩阵方程 （分数：2.00）_37.设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：2.00）_38.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合
10、同，证明： （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 28 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，一 2，1 T C. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，一 2 T解析：解析：因 A 2 = 3.A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则 ( )（分数：2.00）A.A，B 的特征矩阵相同B.A，B 的特征方程相同 C.A，B 相似于同一个对角阵D.存在 n 阶方阵 Q，使得
11、Q T AQ=B解析：解析：AB，存在可逆阵，使得 P -1 AP=B |E 一 B|=|E 一 P -1 AP|=|P -1 (E 一 A)P|=|P -1 |E 一 A|P|=|E 一 A|4.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1 = 2 =1，有二个线性无关特征向量对(C)而言，因 5.下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因(D)是对称阵，必相似于对角阵，(C)有三个不同的特征值，能相似于对角阵(A)，(
12、B)的特征值均为 =1(二重)，=2(单根)，当 =1 时，r(EA)=r =2，只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵而 =1 时，r(EB)=r6.A 是 nn 矩阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A 有 n 个不同的特征值B.A 有 n 个不同的特征向量C.A 的每个 r i 重特征值 i ，r( i E-A)=n 一 r i D.A 是实对称矩阵解析：解析：A 相似于对角阵 有 n 个线性无关特征向量 7.设 （分数：2.00）A.A，B，CB.B，DC.A，C，D D.A，C解析：解析：矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A
13、 有 3 个不同的特征值，所以 A 可相似对角化矩阵B 的特征值是 2，2，5，由于秩 所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化 矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化 矩阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于秩8.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A -1 B -1 正确命题的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由 AB 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B故 P -1 A 2 P=B 2 ， P T A T (P T ) -1
14、 =B T ， P -1 A -1 P=B -1 ，所以 A 2 B 2 ，A T B T ，A -1 B -1 又由于 A 可逆，可知 A -1 (AB)A=BA，故 ABBA故正确的命题有 4 个，选(D)9.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一特征值等于 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：10.已知 （分数：2.00）A. 1 ，一 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 2 3 C. 1 ， 3 ， 2 D. 1 + 2 ， 1 - 2 ， 3 解析：解析： P= 1 ， 2 ， 3 ，则有 AP=PA，即 11.设 A，B 均是 n 阶实
15、对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的正、负惯性指数 D.A，B 均是可逆阵解析：解析：(A)是充分条件，A，B 实对称，且 i 相同，则 AB，但反之不成立(B)是必要条件但不充分，AB，有可逆阵 C，C T AC=B;r(A)=r(B)，反之不成立(D)既不充分，又不必要(C)是两矩阵合同的充要条件12.设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题意，E i
16、j AE ij =B其中 因 E ij 是可逆阵，E ij AE ij =B，故 AB；E ij 可逆，且 E ij =E ij -1 ，则 E ij AE ij =E ij -1 AE ij =B，故 AB；E ij 是对称阵，E ij =E ij T ，则 E ij AE ij =E ij T AE ij =B，故 A B；故 AB，A 13.下列矩阵中与 合同的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因 f=X T AX=x 1 2 +2x 1 x 2 +x 3 2 =(x 1 +x 2 ) 2 一 x 2 2 +x 3 2 =y 1 2 +y 2 2 一 y 3
17、 2 ，故选(B)14.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )的秩为 r，符号差为 s，且 f 和一 f 合同，则必有 ( )（分数：2.00）A.r 是偶数，s=1B.r 是奇数，s=1C.r 是偶数，s=0 D.r 是奇数，s=0解析：解析：设 f 的正惯性指数为 P，负惯性指数为 q，一 f 的正惯性指数为 p 1 ，负惯性指数为 q 1 ，则有 p=q 1 ，q=p 1 ，又 15.设 A=E 一 2XX T ，其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，且 X T X=1，则 A 不是 ( )（分数：2.00）A.对称阵B.可逆阵C.正交阵D.正定阵 解析：解析：A T =(E
18、 一 2XX T ) T =E 一 2XX T =A，A 是对称阵； A 2 =(E 一 2XX T ) 2 =E 一 4XX T +4XX T XX T =E，A 是可逆阵； A 可逆，A 对称，且 A 2 =AA T =E，A 是正交阵； AX=(E 一 2XX T )X=一X，X0，=一 1 是 A 的特征值，故 A 不是正定阵二、填空题(总题数：6，分数：12.00)16.与 1 =1，2，3，一 1 T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 =x 1 ，x 2 ，x
19、 3 ，x 4 T ，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有 故 n-r(A)=43=1，则 Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为一 1，一 1，1，0 T ，将其单位化，得 17.已知 =a，1，1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析： 是矩阵 A -1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A -1 = 0 ，于是 = 0 A，即 即 18.已知 =1，3，2 T ，=1，一 1，一 2 T ，A=E- T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析
20、：解析：由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T )，其中 tr( T )= T =一 6故 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 719.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析： 存在可逆阵 P，使得 r(AE)=r(PAP -1 一 E)=r(P(AE)P -1 )=r(AE)= r(A+2E)=r(P(A+2E)P -1 )=r(A+2E)= 20.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的三维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_
21、 （正确答案：正确答案：E）解析：解析：因 A 1 = 2 ，A 2 = 2 ，A 3 = 3 ，合并成矩阵形式有 A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 是可逆阵，故 A= 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 -1 =E21.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 3 +2tx 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f 的对应矩阵 f 正定，即 A 正
22、定;A 的顺序主子式大于 0，即 取公共部分，知 t 的取值范围是三、解答题(总题数：17，分数：34.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设实对称矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式 得 1 = 2 =a+1， 3 =a 一 2 当 1 = 2 =a+1 时，对应两个线性无关特征向量 1 =1，1，0 T ， 2 =1，0，1 T ； 当 3 =a 一 2 时，对应的特征向量 3 =一 1，1，1 T )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于
23、 对换|E 一 A|的 1，2 列和1，2 行，得 )解析：25.设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，一 1 T ， 2 =一 1，2，2 T ， 3 =2，一 1，2 T 又 =1，2，3 T ，计算：(1)A n 1 ；(2)A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因 A 1 = 1 1 ，故 A n 1 = 1 n 1 ，故 A n 1 =1. 1 = (2)利用 A i = i i 有 A n i = i n i ，将 表成 1 ， 2 ， 3 的线性组合设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3
24、3 ， )解析：26.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)二次型的矩阵 则二次型 f 的矩阵表达式 f=x T Ax (2)A 的特征多项式|A 一 E|=一(6+)(1 一 )(6 一 )，则 A 的特征值 1 =一 6， 2 =1， 3 =6 1 =一 6 对应的正交单位化特征向量 2 =1 对应的正交单位化特征向量 3 =6 对应的正交单位化
25、特征向量 令正交矩阵 所求正交变换 )解析：27.已知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 -2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2试确定参数 c 及二次型对应矩阵的特征值，并问 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种曲面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，r(A)=2，|A|=0，解得 c=3 )解析：28.已知 A 是 mn 矩阵，mn 证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(AA T ) T =(A T ) T A T
26、 =AA T ，所以 AA T 是对称阵 必要性 若 AA T 正定，r(AA T )=mr(A)，又 r(A mn )m，故 r(A)=m 充分性 若 r(A)=m，则齐次方程组 A T X=0 只有零解，故对任意 X0，均有 A T X0，故 X T AA T X=(A T X) T (A T X)0，即 AA T 正定)解析：29.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =( 一 2) 2 ，A 是实对称阵，故存在正交阵 Q，使得 B=(kE+A) 2 =(kE+QA 1 Q T ) 2 =(Q(kE+A 1 )Q T ) 2 =Q(kE+A 1 ) 2 Q T )解析：30
27、.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 B T AB 为对称矩阵 B T AB 为正定矩阵 ，x T (B T AB)x0，(Bx) T A(Bx)0 )解析：31.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用定义证明显然 B 为对称矩阵对 )解析：32.证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得
28、 AB+B T A 正定（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 取 B=A -1 ，则 AB+B T A=E+(A -1 ) T A=2E，所以 AB+B T A 是正定矩阵 充分性 用反证法若 A 不是可逆矩阵，则 r(A)n，于是存在实向量 x 0 0 使得 Ax 0 =0因为 A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有 x 0 T (AB+B T A)x 0 =(Ax 0 ) T Bx 0 +x 0 T B T (Ax 0 )=0， 这与AB+B T A 是正定矩阵矛盾)解析：33.设 A 与 B 均为正交矩阵，并且|A|+|B|=0，证明：A+B 不可逆（分数：2.00）_正确答
29、案：(正确答案：由 AA T =E 有|A| 2 =1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或一 1由|A|+|B|=0 有|A|.|B|=一 1，也有|A T .B T |=一 1 再考虑到|A T (A+B)B T |=|A T +B T |=|A+B|，所以一|A+B|=|A+B|，|A+B|=0故 A+B 不可逆)解析：34.已知 f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 ，求正交变换 P， 使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 =x，y f(x，y)= |E 一 A|=( 一 3)(+1)，|E 一 B|=( 一 3)(+1) 实对称矩阵 A
30、 与 B 有相同的特征值，因此 A 与 B 合同 有 Q 1 T AQ 1 =diag(3，一 1)=Q 2 T BQ 2 )解析：35.设 A=(a ij ) nn 为实对称矩阵，求二次型函数 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用拉格朗日乘数法 )解析：36.已知三元二次型 X T AX 经正交变换化为 2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 ，又知矩阵 B 满足矩阵方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知 A 的特征值为 2，一 1，一 1，则|A|=2，因为 A*的特征值为 ，所以 A*的特征值为 1，一 2，一 2，
31、由已知， 是 A*关于 =1 的特征向量，也就是 是 A 关于 =2 的特征向量 由 得 2ABA -1 =2AB+4E,B=2(E 一 A) -1 ，则 B 的特征值为一 2，1，1，且 =一2设 B 关于 =1 的特征向量为 =x 1 ，x 2 ，x 3 T ，又 B 是实对称阵， 与 正交，故 x 1 +x 2 x 3 =0，解出 1 =1，一 1，0 T ， 2 =1，0，1 T ，令 )解析：37.设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 为 n 阶正定矩阵，故存在正交矩阵 U，使得 这里，0 1 2
32、 n 为 A 的全部特征值 取 并且 H 仍为正定矩阵 如果存在另一个正定矩阵 H 1 ，使得A=H 1 2 ，对于 H 1 ，存在正交矩阵 U 1 ，使得 这里 0 1 2 2 2 n 2 为 A 的全部特征值故 i 2 = i (i=1，2，n)，于是 (i=1，2，n)，从而 由于 A=H 2 =H 1 2 ，故 则 i p ij = j p ij (i，j=1，2，n)，当 i j 时，p ij =0，这时 (i，j=1，2，n)；当 i = j 时，当然有 (i，j=1，2，n)故 )解析：38.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 1 与 B 1 合同，所以存在可逆矩阵 C 1 ，使 B 1 =C 1 T A 1 C 1 因为 A 2 与 B 2 合同，所以存在可逆矩阵 C 2 ，使 B 2 =C 2 T A 2 C 2 )解析：
