1、考研数学二（线性代数）-试卷 3 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0D.若A0 则B03.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0C.向量组 1 ， 2
2、， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关4.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵6.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题：(1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A=B中正确的命题个
3、数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且A=3，B=4，则5A-2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 =(1，-1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A 为三阶矩阵，且A=3，则(-2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_1
4、1.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_13.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 1 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A= （分数：4.00）(1).-2B；（分数：2.00）_(2).AB-BA（分数：2.00）_15.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3
5、 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关（分数：2.00）_16.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关（分数：2.00）_17.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 1 + 2 = 2 + 3 = （分数：2.00）_18.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ S )（分数：2.00）_设 0 为 A 的特征值（分数：6.00）(1).证明：AT 与 A 特征值相等；（分
6、数：2.00）_(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：2.00）_(3).若A0，求 A -1 ，A * ，E-A -1 的特征值（分数：2.00）_19.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求 A 的特征向量；（分数：2.00）_(3).求可逆矩阵 P，使得 p -1 AP 为对角阵（分数：2.00）_设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).当 k
7、 为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 3 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0 D.若A0 则B0解析：解析：因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t ，使得 B=P s P 1 AQ 1 ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t ，都是
8、可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若A=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B=0，选(C)3.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关 解析：解析：(A)不对，因为 1 ， 2 ， m ， 线性无关可以保证 1 ， 2 ， m 线性无关，但 1 ， 2 ， m ，线性无关不能保证 1 ， 2 ， m
9、 ， 线性无关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，但存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0 不能保证 1 ， 2 ， m 线性无关； (C)不对，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1 = ， 2 = 4.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D
10、. 解析：解析：因为 1 ， 1 + 2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 5.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析：矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)6.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，
11、以下命题：(1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A=B中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：因为 A，B 的特征值为-2，1，1，所以A=B=-2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选(B)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且A=3，B=4，则5A-2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：63）解析：解析：由 5A-2B=(5，5 1
12、 ，5 2 )-(2，2 1 ，2 2 )=(5-2，3 1 ，3 2 )，得 5A-2B=5-2，3 1 ，3 2 =95-2， 1 ， 2 =9(5， 1 ， 2 -2， 1 ， 2 )=638.设 =(1，-1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 n-1 ）解析：解析： T =3，A 2 = T T =3 T =3A，则 A n =3 n-1 A=3 n-1 9.设 A 为三阶矩阵，且A=3，则(-2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：576）解析：解析：因为(-
13、2A) * =(-2) 2 A * =4A * ，所以(-2A) * =4A * =4 3 A 2 =649=57610.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A -1 =6A+BA，得 A -1 B=6E+B，于是(A -1 -E)B=6E， B=6(A -1 -E) -1 = 11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：53）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 = 12.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方
14、程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：令 A=13.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 = 3 =5 对应的特征向量为 得 2 = 3 =5 对应的线性无关的特征向量为 三、解答题(总题数：10，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 A= （分数：4.00）(1).-2B；（分
15、数：2.00）_正确答案：(正确答案：-2B=(-2) 3 B=-8；)解析：(2).AB-BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 + 2 + 3 )+k 2 ( 1 +2 2 +3 3 )+k 3 ( 1 +4 2 +9 3 )=0，即 (k 1 +k 2 +k 3 ) 1 +(k 1 +2k 2 +4k 3 ) 2 +(k 1 +3k 2 +9k 3 ) 3 =0， 因为 1
16、， 2 ， 3 线性无关，所以有 而 )解析：16.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 也线性无关，又向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关，所以向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，从而 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示)解析：17.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 1 + 2 = 2 + 3
17、= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 AX+,其中 为 Ax=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质， =( 2 + 3 )=( 1 + 2 )= 3 - 1 = ，=12( 1 + 2 )= ， 所以方程组 AX=b 的通解为 )解析：18.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ S )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， S 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1
18、，+ s 线性无关， 故方程组 BY=0 只有零解)解析：设 0 为 A 的特征值（分数：6.00）(1).证明：AT 与 A 特征值相等；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为E-A T =(E-A) T =E-A，所以 A T 与 A 的特征值相等)解析：(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= 0 (0)， 所以 A 2 = 0 A= 0 2 ，(A 2 +2A+3E)=( 0 2 +2 0 +3)， 于是 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值分别为 0 2 ， 0 2 +2 0 +3)解析：(3).若A0，求
19、 A -1 ，A * ，E-A -1 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为A= 1 2 n 0，所以 0 0，由 A= 0 得 0 = 由 A * A=A 得 A * = ，又(E-A -1 )= 于是 A -1 ，A * ，E-A -1 的特征值分别为 )解析：19.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AX=X，显然 A 2 X= 2 X，因为 , 正交，所以 A 2 = T T =O，于是 2 X=0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 =
20、 2 = n =0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(OE-A)=r(A)1，所以 n-r(0E-A)n-l )解析：设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =(+2)(-1) 2 =0 得矩阵 A 的特征值为 1 =-2， 2 - 3 =1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(E-A)=1， 由 E-A= )解析：(2).求 A 的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 =-2 代入(E-A)X=0，即(2E+A)X=0， 由 2E+A=- 得 =-2 对应的线性无关的特
21、征向量为 1 = 将 =1 代入(AE-A)X=0，即(E-A)X=0， 由 E-A= 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 )解析：(3).求可逆矩阵 P，使得 p -1 AP 为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P= ，则 P -1 AP= )解析：设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A=O 得 r(A)+r(a+2E)=3，从而 A 的特征值为 0 或-2，因为 A 是实对称矩阵且 f(A)=2，所以 1 =0， 2 = 3 =-2)解析：(2).当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+kE 的特征值为 k，k-2，k-2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵)解析：
