1、考研数学二（线性代数）-试卷 6 及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2 ) -1 =(A -1 ) 2B.(A+B) -1 =A -1 +B -1C.(A+B)(A-B)=A 2 一 B 2D.(kA) -1 =kA -1 (k0)3.已知 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+
2、BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -14.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A -1 =BB.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆5.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =0，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆，且 EA 不可逆B.A 可逆，但 E+A 不可逆C.A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆D.A 不可逆，且必有 A 2 =O6.设 A，B 是 n 阶矩阵，AB=
3、O，B0，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.|B|0C.|B*|=0D.|A*|=07.A 是 n 阶方阵，A*是 A 的伴随矩阵，则|A*|= ( )（分数：2.00）A.|A|B.|A -1 |C.|A n-1 |D.|A n |8.A 是 n 阶矩阵，|A|=3则|(A*)*|= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A*是 A 的伴随阵，则(A*)*= ( )（分数：2.00）A.|A| n-1 AB.|A| n+1 AC.|A| n-2 AD.|A| n+2 A10.设 A nn 是正交矩阵，则 (
4、)（分数：2.00）A.A*(A*) T =|A|EB.(A*) T A*=|A*|EC.A*(A*) T =ED.(A*) T A*=一 E11.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.(A+A -1 ) 2 =A 2 +2AA -1 +(A -1 ) 2B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2C.(A+A*) 2 =A 2 +2AA*+(A*) 2D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 212.已知 1 =一 1，1，a，4 T ， 2 =一 2，1，5，a T ， 3 =a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A
5、的 3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5B.a一 4C.a一 3D.a一 3 且 a一 413.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|=一 3，则|2A*B -1 |= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵
6、，且|A|=a，|B|=b，C= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 AB-B=A，其中 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 为奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，|A|0，则|AE|= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.设 =1，2，3，= （分数：2.00）填空项 1:_20.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
7、算步骤。（分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）_25.证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A*为 A 的伴随矩阵，则(A*) T =(A T )*（分数：2.00）_26.证明：若 A 为 n 阶方阵，则有|A*|=|(一 A)*|(n2)（分数：2.00）_27.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 （分数：2.00）_28.已知 X=AX+B，其中 （分数：2.00）_29.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 一 3A 一 2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.
8、00）_30.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O试证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_31.设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 （分数：2.00）_32.设 （分数：2.00）_33.设矩阵 （分数：2.00）_34.假设 （分数：2.00）_35.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：2.00）_36.设(2EC -1 B)A T =C -1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）_37.设 （
9、分数：2.00）_38.已知 （分数：2.00）_39.设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 2 ，b n T (1)计算 AB T 与 A T B； (2)求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )； (3)设 C=E-AB T 其中 E 为 n 阶单位阵证明：C T C=EBA T 一 AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_40.证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 6 答案
10、解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2 ) -1 =(A -1 ) 2 B.(A+B) -1 =A -1 +B -1C.(A+B)(A-B)=A 2 一 B 2D.(kA) -1 =kA -1 (k0)解析：解析：因(A 2 ) -1 =(AA) -1 =A -1 A -1 =(A -1 ) 2 ；(B)不成立，例：B=A，A+B 不可逆； (C)中，ABBA，BAABO；
11、(D)中，(kA) -1 = 3.已知 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1解析：解析：(A -1 +B -1 )(A(A+B) -1 B)=(E+B -1 A)(A+B) -1 B=B -1 (B+A)(A+B) -1 B=B -1 B=E， (A -1 +B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B4.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A -1 =BB.若 A，B 均为 n 阶
12、可逆阵，则 A+B 必可逆C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆 解析：解析：因 A，B 不可逆，则|A|=0，|B|=0，故|AB|=|A|B|=0，AB 不可逆(A)中 AB=E，但未指出是方阵，若 则 AB=E，但 A，B 均无逆可言(B)中，取 B=-A，则 A+B=A-A=O 不可逆(C)中，取5.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =0，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆，且 EA 不可逆B.A 可逆，但 E+A 不可逆C.A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆 D.A 不可逆，且必有 A
13、2 =O解析：解析：A 3 =O，有 E 3 +A 3 =(E+A)(A 2 一 A+E)=E， E 3 一 A 3 =(E 一 A)(A 2 +A+E)=E， 故 A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆，由以上两式知，E 一 A，E+A 也均可逆，故(A)，(B)不成立，同时(D)不成立，例： 有 6.设 A，B 是 n 阶矩阵，AB=O，B0，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.|B|0C.|B*|=0D.|A*|=0 解析：解析：AB=O，不一定有 BA=O，故(A)(A+B) 2 =A 2 +B 2 ，不成立；BO，|B|可以为零，也可以
14、不为零，|B*|也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立；BO，AB=O，AX=0 有非零解，故|A|=0，从而|A*|=|A| n-1 =07.A 是 n 阶方阵，A*是 A 的伴随矩阵，则|A*|= ( )（分数：2.00）A.|A|B.|A -1 |C.|A n-1 | D.|A n |解析：解析：AA*=|A|E，两边取行列式，得|A|A*|=|A| N 若|A|0，|A*|=|A| n-1 =|A n-1 |； 若|A|=0，则|A*|=0，故选(C)8.A 是 n 阶矩阵，|A|=3则|(A*)*|= ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：|A|=3，A 可
15、逆 (A*)(A*)*=|A*|E，9.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A*是 A 的伴随阵，则(A*)*= ( )（分数：2.00）A.|A| n-1 AB.|A| n+1 AC.|A| n-2 A D.|A| n+2 A解析：解析：AA*=|A|E，得 A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*) -1 ， 10.设 A nn 是正交矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A*(A*) T =|A|EB.(A*) T A*=|A*|EC.A*(A*) T =E D.(A*) T A*=一 E解析：解析：A 正交阵，则有 11.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成
16、立的是 ( )（分数：2.00）A.(A+A -1 ) 2 =A 2 +2AA -1 +(A -1 ) 2B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2 C.(A+A*) 2 =A 2 +2AA*+(A*) 2D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 2解析：解析：由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2 =(A+B)A+(A+B)B=A 2 +BA+AB+B 2 ， 因此，(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充要条件是 BA=AB，也即 A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A -1 ，A 与 A*以及 A 与 E 都是可交换的，故(A)(C)(D)中的等式都
17、是成立的故选(B)12.已知 1 =一 1，1，a，4 T ， 2 =一 2，1，5，a T ， 3 =a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A的 3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5 B.a一 4C.a一 3D.a一 3 且 a一 4解析：解析： 1 ， 2 ， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由 13.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE
18、-B 相似 解析：解析：A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，则 tE 一 B=tE 一 P -1 AP=P -1 (tE)PP -1 AP=P -1 (tE 一 A)P，即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，选(D)对于(A)：E 一 A=E 一 B;A=B；对于(B)：A与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与 B 不一定能够相似对角化二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|=一 3，则|2A*B -1 |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
19、答案：*）解析：解析：|2A*B -1 |=2 n |A*|B -1 |=2 n .|A| n-1 15.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，C= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) mn ab）解析：解析：16.已知 AB-B=A，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 A 为奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，|A|0，则|AE|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：|AE|=|AAA T |=|A(E 一 A T )|=|A|(E
20、一 A) T =|A|E 一 A| 由于 AA T =A T A=E，可知|A| 2 =1又由于|A|0，可知|A|=1又由于 A 为奇数阶矩阵，故 |EA|=|一(AE)|=|A-E|，故有|AE|=一|AE|，可知|AE|=018.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：diag(3，2，1)）解析：解析：由 A -1 BA=6A+BA 得 B=6A(E-A) -1 =diag(3，2，1)，其中， 19.设 =1，2，3，= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 n-1 A）解
21、析：解析：A= T = 20.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：14 n-1 B）解析：解析：因 21.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：A 2 = 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) )解析：24.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换 必要性
22、设 与任何对角阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角阵 可交换，即 b 1 a 12 =b 2 a 12 ，b 1 b 2 ，故 a 12 =0，b i a ij =b j a ij ，ij，b i b j ，a ij =0，i=1，2，n，j=1，2，n，故 A= )解析：25.证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A*为 A 的伴随矩阵，则(A*) T =(A T )*（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A*) T =(|A|A -1 ) T =|A|(A -1 ) T =|A|(A T ) -1 =|A T |(A T ) -1 =(A T )*)解析：26.证明：若 A 为 n 阶
23、方阵，则有|A*|=|(一 A)*|(n2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=(a ij ) nn ，|A|的元素 a ij 的代数余子式为 A ij ，则|A|的元素一 a ij 的代数余子式为 B ij =(一 1) n-1 A ij ， 于是(一 A)*=(一 1) n-1 (A ji ) nn =(一 1) n-1 A*，所以|(-A)*|=|(一 1) n-1 A*|=(一 1) n-1 n |A*|=|A*|)解析：27.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.已知 X=AX+B，其中 （分数：2.00）_正确答案
24、：(正确答案： )解析：29.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 一 3A 一 2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 一 3A 一 2E=O )解析：30.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O试证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E=EA k =E k -A k =(E 一 A)(E+A+A k-1 )，所以 E 一 A 可逆，且 (E-A) -1 =E+A+A k-1)解析：31.设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=
25、A+2B，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+E=A 2 +X (AE)X=(AE)(A+E)又|AE|=一 10，则 )解析：34.假设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先计算出 由于|A|=1，所以 )解析：35.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)由(1)得|P|.|Q|=|PQ|=|A| 2 (b 一 T A -1 ) |Q|=|A|(b
26、一 T A -1 ) Q 可逆 |Q|0 )解析：36.设(2EC -1 B)A T =C -1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2E 一 C -1 B)A T =C -1 A=(2C-B) T -1 = )解析：37.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =E+B，又 EB=BE，所以 )解析：38.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 分块为 则 B=3E+J，于是 B n =(3E+J) n =3 n E+C n 1 3 n-1 J+C n 2 3 n-2 J 2 +J n
27、 ，而 ，C 2 =6C，C n =6 n-1 C，所以 )解析：39.设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 2 ，b n T (1)计算 AB T 与 A T B； (2)求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )； (3)设 C=E-AB T 其中 E 为 n 阶单位阵证明：C T C=EBA T 一 AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) )解析：40.证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意到 当 B 有一个 t 1 阶子式不为 0，A 有一个 t 2 阶子式不为 0 时， 一定有一个 t 1 +t 2 阶子式不为 O，因此 )解析：
