1、考研数学二（线性方程组）-试卷 11 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设非齐次线性方程组 Ax= 的通解为 x=k 1 (1，0，0，1) T +k 2 (2，1，0，1) T +(1，0，1，2) T ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数，A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，则( )（分数：2.00）A. 必可由 1 ， 2 线性表示B. 必可由 1 ， 2 ， 4 线性表示C. 必可由 3 ， 4 线性表示D. 必可由 4 ， 1 线性表示二
2、、解答题(总题数：30，分数：72.00)3.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_4.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_5.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_6.已知向量组 （分数：2.00）_7.设向量组(I) 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3)T T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组() 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+b) T ， 3 =(2，1，a+4) T 试问：当 a 为何值时，向量组(I)与()等价?当 a 为何值时，向量组(I)与()不等价?（分数：2.00）_8.设向量组 （分数：2.00）_设
3、4 元齐次方程组(I)为 （分数：4.00）(1).求方程组(I)的一个基础解系；（分数：2.00）_(2).当 a 为何值时，方程组(I)与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解（分数：2.00）_9.已知齐次线性方程组(I) （分数：2.00）_10.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_11.设线性方程组 （分数：2.00）_已知下列非齐次线性方程组(I)，()： （分数：4.00）(1).求解线性方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解；（分数：2.00）_(2).当方程组()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组(I)与()同解（分数：2.00）_12.已知齐次线
4、性方程组 （分数：2.00）_13.已知齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_14.设 1 , 2 , 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系证明 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 也是该方程组的一个基础解系（分数：2.00）_15.已知 1 , 2 , 3 , 4 是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若 1 = 1 +t 2 ， 2 = 2 +t 3 ， 3 = 3 +t 4 ， 4 = 4 +t 1 ，讨论实数 t 满足（分数：2.00）_16.设 1 , 2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +
5、t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数试问 t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 2 s 也为 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_17.设向量组 1 , 2 t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 2 ，+ 2 ，+ i 线性无关（分数：2.00）_18.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_
6、19.已知线性方程组 的一个基础解系为(b 11 ,b 12 ,，b 1,2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2,2n ) T ，(b n1 ,b n2 ，b n,2n ) T 试写出线性方程组 （分数：2.00）_设矩阵 A=( 1 , 2 , 3 )，其中 1 , 2 , 3 是 4 维列向量，已知非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为 x=k(1，一 2，3) T +(1，2，一 1) T ，k 为任意常数（分数：4.00）(1).试求 1 , 2 , 3 的一个极大线性无关组，并把向量 b 用此极大线性无关组线性表示；（分数：2.00）_(2).令矩阵 B=( 1 ， 2 ，
7、3 ，b+ 3 )，证明方程组 Bx= 1 一 2 有无穷多组解，并求其通解（分数：2.00）_20.已知 n 维向量组 1 , 2 n 中，前 n 一 1 个线性相关，后 n 一 1 个线性无关，若令 = 1 , 2 n ，A=( 1 , 2 n )试证方程组 Ax= 必有无穷多组解，且其任意解( 1 , 2 n ) T 中必有 a n =1（分数：2.00）_21.已知 4 阶方阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，其中 1 , 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量，且 2 , 3 , 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax
8、=的通解（分数：2.00）_22.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，C 不全为零，矩阵 （分数：2.00）_23.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，其中 A * 为 A 的伴随矩阵， 1 , 2 , 3 , 4 为 4 维列向量，且 1 , 2 , 3 线性无关， 4 = 1 + 2 ，则方程组 A * x=0（分数：2.00）_已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：2.00）_(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_设矩阵 （分数：4.00）(1).a
9、 值；（分数：2.00）_(2).正交矩阵 Q，使 Q T AQ 为对角矩阵（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).计算行列式A；（分数：2.00）_(2).当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多组解，并求其通解（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求线性方程组 Ax=0 的一个基础解系；（分数：2.00）_(2).求满足 AB=E 的所有矩阵 B（分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）-试卷 11 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
10、个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设非齐次线性方程组 Ax= 的通解为 x=k 1 (1，0，0，1) T +k 2 (2，1，0，1) T +(1，0，1，2) T ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数，A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，则( )（分数：2.00）A. 必可由 1 ， 2 线性表示B. 必可由 1 ， 2 ， 4 线性表示C. 必可由 3 ， 4 线性表示 D. 必可由 4 ， 1 线性表示解析：解析：本题考查非齐次线性方程组通解的结构和常数项向量与系数矩阵的列向量的关系 由题意知 1 =(1，0，0，1) T ， 2 =(2，1，0，1) T 为齐次线
11、性方程组 Ax=0 的解，即 A 1 =0，A 2 =0，可得 1 + 4 =0，2 1 + 2 + 4 =0，则 2 =一 4 ， 2 = 4 ，又 =(1，0，1，2) T 为 Ax= 的解，即有 = 1 + 3 +2 4 = 3 + 4 故知 可由 3 ， 4 线性表示，故应选 C二、解答题(总题数：30，分数：72.00)3.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：4.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的系数行列式 (1)当 ab 且 a(1 一 n)b 时，方程组仅有零解 (2)当 a=b 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 原方程组的
12、同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，其基础解系为 1 =(一 1，1，0，0) T ， 2 =(一 1，0，1，0) T ， n-1 =(一1，0，0，1) T ，故方程组的全部解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k 2 ，k n-1 为任意常数 (3)当 a=(1 一 n)b 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 原方程组的同解方程组为 )解析：解析：本题主要考查齐次线性方程组是否有非零解的判定方法及用矩阵的初等行变换求解方程组的方法设该方程组的系数矩阵为 A，当 r(A)=n 时，Ax=0 仅有零解；当 r(A)n 时，Ax=0 有无穷多
13、解本题讨论 a，b 为何值时，r(A)=n 或 r(A)n当 r(A)n 时，通常用初等行变换求解5.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该方程组的系数行列式为 (1)当 b0 且 时，r(A)=n，方程组仅有零解 (2)当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0由 可知，a 1 ，a 2 ，a n 不全为零不妨设 a 1 0，得原方程组的一个基础解系为 有 b0，原方程组的系数矩阵可化为 )解析：解析：本题主要考查齐次线性方程组是否有非零解的判定方法，行列式的计算及基础解系的概念与求法要求考生掌握对于 Ax
14、=0，当A0 时，方程组有唯一零解；当A=0 时，方程组有非零解，在A=0 的条件下再求出方程组的一个基础解系6.已知向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 可否由 1 , 2 , 3 线性表示，即非齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 是否有解由于方程组系数行列式 所以， (1)当 a4 时，即A0，方程组有唯一解， 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示式唯一 (2)当 a=一 4 时，对方程组的增广矩阵施以初等行变换 显然，当 3bc1 时，则 r(A)r(A，)，方程组无解， 不能由 1 , 2 , 3 线性表示 (3)当 a=一 4，3bc=1
15、时，r(A)=r(A，)=23，方程组有无穷多解， 可由 1 , 2 , 3 线性表示，表示式不唯一，解方程组得 )解析：解析：本题考查一个向量能否由一组向量线性表示与其对应的非齐次线性方程组是否有解的问题7.设向量组(I) 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3)T T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组() 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+b) T ， 3 =(2，1，a+4) T 试问：当 a 为何值时，向量组(I)与()等价?当 a 为何值时，向量组(I)与()不等价?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对( 1 , 2 , 3 1 ，
16、 2 ， 3 )作初等行变换，得 (1)当 a一 1 时，r( 1 , 2 , 3 )=3，线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = i (i=1，2，3)均有唯一解，所以 1 ， 2 ， 3 可由向量组(I)线性表示由于行列式 故对任意 a，方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = j (j=1，2，3)都有唯一解，即向量组 1 , 2 , 3 能由向量组()线性表示因此，当 a-1 时，向量组(I)与()等价 (2)当 a=一 1 时，有 )解析：解析：本题考查两向量组是否等价与其对应的两组线性方程是否有解的关系若向量组(I)与()等价，即向量组(I)与()可以互相
17、线性表示也就是两组线性方程组都有解，若向量组(I)与()不等价，则在两组线性方程组中至少有一个方程无解8.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意有 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =0对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换，得 显然，当 a=0 时，r(A)=14，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =0，此时，方程组的通解为 其中 k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数当 a0 时，由 显然，当 a一 10 时，r(A)=4，故方程组仅有零解，从而 1 , 2 , 3 , 4 线性无关当 a=一 10 时，r(A)
18、=34，此时方程有非零解，从而 1 , 2 , 3 , 4 线性相关此时通解为 )解析：解析：本题考查向量组线性相关性的定义，并注意到向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，其对应的齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =0 仅有零解；若向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，其对应的齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =0 有非零解设 4 元齐次方程组(I)为 （分数：4.00）(1).求方程组(I)的一个基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有 得方程组(I)的
19、同解方程组 )解析：解析：本题考查两个齐次线性方程组是否有非零公共解的求解问题所涉及的知识点是齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构；齐次线性方程组有非零解(2).当 a 为何值时，方程组(I)与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件，方程组()的全部解为 其中，k 1 ，k 2 为任意常数 将上式代入方程组(I)，得 要使方程组(I)与()有非零公共解，只需关于 k 1 ，k 2 的方程组有非零解，因为 所以当 a一 1 时，方程组(I)和()无非零公共解。 当 a=一 1 时，方程组(*)有非零解，且k 1 ，k 2 为
20、不全为零的任意常数，此时可得方程组(I)与()的全部非零公共解为 )解析：9.已知齐次线性方程组(I) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，齐次线性方程组()的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 =(2k 1 一 k 2 ，一k 1 ，ak 1 +4k 2 ，k 1 +(a+6)k 2 ) T ，k 1 ，k 2 为任意常数，将其代入方程组(I)中，得 方程组(I)、()有公共的非零解的充分必要条件是方程组(*)有非零解 于是有 当 a=1 时，k 2 =0，当 k 1 0，则 x=k 1 1 一定是方程组(I)、()的非零解，即 x=k 1 (2，一 1，1，1) T ，其中
21、 k 1 为不为零的任意常数当 a=一 9 时，方程组(*)的系数矩阵的秩为 1，方程组(*)有非零解 ，这时方程组(I)，()有公共解 )解析：解析：本题考查两个齐次线性方程组求非零公共解的问题10.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求方程组(I)的通解，对其系数矩阵施以初等行变换，得 由 r(A)=24，可知方程组(I)有非零解，基础解系为 通解为 将通解代入方程组()中，得 对此方程组的系数矩阵施以初等行变换 当 a=0，且 b2a 一 1=0，即 a=0，b=1 时，方程组()有非零解，此时方程组(I)和方程组()有非零公共解方程组()的解为 ，代入方程组
22、(I)的通解中，得方程组(I)、()所有非零公共解为 )解析：解析：本题考查两个含参数的齐次线性方程组求解非零公共解问题11.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程组(I)与()联立得 则方程组()的解便是方程组(I)与()的公共解 对方程组()的增广矩阵 施行初等行变换： 由于方程组()有解，故其系数矩阵的秩等于增广矩阵 的秩 于是得(a 一 1)(a-2)=0，即 a=1 或 a=2当 a=1 时， 由此得方程组()亦即方程组(I)与()的公共解为 其中 k 为任意常数 当 a=2 时， )解析：解析：本题考查含参数的方程组求公共解的方法有两个解法：一是根据两个方程
23、组有公共解的条件知，把这两个方程组联列后的方程组也应有解，且其解即为所求的公共解；二是把一个方程组的解代入到另一个方程组，确立它们的公共解已知下列非齐次线性方程组(I)，()： （分数：4.00）(1).求解线性方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设方程组(I)的系数矩阵为 A 1 ，增广矩阵为 B 1 ，对 B 1 作初等行变换，得 由于 r(A 1 )=r(B 1 )=34，所以方程组(I)有无穷多组解，且通解为 )解析：解析：本题考查两个非齐次线性方程组同解具有的性质，非齐次线性方程组通解的求法 所涉及的知识点是(1)非齐次线性方程组通解
24、的结构(2)两个非齐次线性方程组同解(2).当方程组()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组(I)与()同解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(I)的通解代入()的第一个方程，得 (一 2+k)+m(一 4+k)一(一 5+2k)一 k=一5，比较上式两端关于 k 的同次幂的系数，解得 m=2 再将(I)的通解代入()的第二个方程，得 n(一4+k)一(一 5+2k)一 2k=一 11，比较上式两端关于 k 的同次幂的系数，解得 n=4再将(I)的通解代入()的第三个方程，得(一 5+2k)一 2k=一 t+1解得 t=6 因此，当 m=2，n=4，t=6 时，方程组(I)的全部解
25、都是方程组()的解。 这时，方程组()化为 设方程组()的系数矩阵为 A 2 ，增广矩阵为 B 2 ，对 B 2 作初等行变换，得 解得方程组()的通解为 )解析：12.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组()的未知量个数大于方程的个数，故方程组()有无穷多个解 因为方程组(I)与()同解，所以方程组(I)的系数矩阵的秩小于 3对方程组(I)的系数矩阵施以初等行变换， 从而 a=2此时，方程组(I)的系数矩阵可化为 故(一 1，一 1，1) T 是方程组(I)的一个基础解系将 x 1 =一 1，x 2 =一 1，x 3 =1 代入方程组()，可得 b=1，c=2
26、 或 b=0，c=1当 b=1，c=2 时，对方程组()的系数矩阵施以初等行变换，有 故方程组(I)与()同解当 b=0，c=1 时，方程组()的系数矩阵可化 )解析：解析：本题考查两个齐次线性方程组同解具有的性质，齐次线性方程组基础解系的概念及其求法所涉及的知识点是(1)齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构(2)两个齐次线性方程组同解13.已知齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 =(s，2，3，16) T ， 2 =(2，1，2，t) T ，依题意可知 1 ， 2 为方程组()的基础解系把 1 ， 2 分别代入方程组(I)中，得 以下证明当m=3，n
27、=2，s=3，t=10 时方程组(I)和()同解 此时方程组()的基础解系为 1 =(3，2，3，16) T ， 2 =(2，1，2，10) T 先求方程组(I)的基础解系 1 ， 2 ，为此对方程组(I)的系数矩阵施以初等行变换，得 同解方程组为 其中 k 1 ，k 2 为任意常数 于是方程组(I)的基础解系为 1 =(0，1，0，2) T ， 2 =(1，0，1，4) T ，要证方程组(I)与()同解，只需证明( 1 ， 2 )与( 1 ， 2 )等价即可，为此 )解析：解析：本题是两个齐次线性方程组的同解问题，由于一个方程组已知，一个未知，故考虑用代入法，先把方程组()两个解向量代入方程
28、组(I)中，得到参数 m，n，s，t 的取值注：要证明两个方程组同解，应先把方程组(I)的基础解系 1 ， 2 求出来，再证其与方程组()的基础解系等价即可14.设 1 , 2 , 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系证明 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 也是该方程组的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 , 2 , 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系 故 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 都是方程组 Ax=0 的解 设 k 1 ，k 2 ，k 3 使 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 + 3 )+k 3 ( 3
29、+ 1 )=0，即 (k 1 +k 2 ) 1 +(k 1 +k 2 ) 2 +(k 2 +k 3 ) 3 =0 由于 1 , 2 , 3 线性无关，所以 其系数行列式 )解析：解析：本题考查齐次线性方程组基础解系的概念和向量组线性相关性的证明方法15.已知 1 , 2 , 3 , 4 是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若 1 = 1 +t 2 ， 2 = 2 +t 3 ， 3 = 3 +t 4 ， 4 = 4 +t 1 ，讨论实数 t 满足（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 使 k 1 ( 1 +t 2 )+k 2 ( 2 +t 3 )+
30、k 3 ( 3 +t 4 )+k 4 ( 4 +t 1 )=0，即 (k 1 +tk 4 ) 1 +(tk 1 +k 2 ) 2 +(tk 2 +k 3 ) 3 +(tk 3 +k 4 ) 4 =0，由于 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，得 )解析：解析：本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念、解的性质和向量组线性相关性的证明方法注意到 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 Ax=0 的基础解系的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关16.设 1 , 2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数试问 t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 2 s 也为 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 i (i=1，2，s)为 1 , 2 s 的线性组合，所以 i (i=1，2，s)均为 Ax=0 的解设 k 1 1 +k 2 2 +k s s
