1、考研数学二（线性方程组）-试卷 12 及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. 1 ， 2 是 n 元齐次方程组 Ax=0 的两个不同的解，若 r(A)=n 一 1，则 Ax=0 的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 。B.k 2 。C.k( 1 + 2 )。D.k( 1 一 2 )。3.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0 和()A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的
2、解也是()的解。B.()的解是()的解，()的解不是()的解。C.()的解是()的解，()的解不是()的解。D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解。4.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有四个命题： ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不是()的解； ()的解不是()的解。 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。5.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B
3、)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则r(A)=r(B)；若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。6.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A * 是 A 的伴随矩阵，则( )（分数：2.00）A.A * x=0 的解均是 Ax=0 的解。B.Ax=0 的解均是 A * x=0 的解。C.Ax=0 与 A * x=0 没有非零公共解。D.Ax=0 与 A * x=0 恰好有一个非零公共解。二、填空题(总题数：3，分数：6.00)7.若
4、 （分数：2.00）填空项 1:_8.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，一 1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0) T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知方程组(1) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：26.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.已知方程组 的一个基础解系为(b 11 ，b 12 ，b 1,2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2,2n ) T ，(b n1 ,b n2 ，b n,2n ) T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_12.已知三阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c
5、)，a，b，c 不全为零，矩阵 （分数：2.00）_13.设矩阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，其中 2 , 3 , 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 ，向量b= 1 + 2 + 3 + 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_14.已知 45 矩阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )，其中 1 , 2 , 3 , 4 , 5 均为四维列向量， 1 , 2 , 4 线性无关，又设 3 = 1 一 4 ， 5 = 1 + 2 + 4 ，=2 1 + 2 一 3 + 4 + 5 ，求 Ax= 的通解。（分数：2.00）_设四元齐次线性方程组 （分数：4.00
6、）(1).方程组(1)与(2)的基础解系；（分数：2.00）_(2).(1)与(2)的公共解。（分数：2.00）_15.设方程组 （分数：2.00）_设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：4.00）(1).求方程组(1)的一个基础解系；（分数：2.00）_(2).当 a 为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。（分数：2.00）_设线性方程组(1)Ax=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，1，0，2) T ， 2 =(1，1，0，1，1) T ， 3 =(1，0，1，1，2) T 。线性方程组(2)Bx=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，一 1，一 1，1) T
7、 ， 2 =(1，一 1，1，一 1，2) T ， 3 =(1，一 1，一 1，1，1) T 。求（分数：4.00）(1).线性方程组(3) （分数：2.00）_(2).矩阵 C=(A T ，B T )的秩。（分数：2.00）_16.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_17.已知齐次线性方程组 的所有解都是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解。试证明线性方程组 （分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）-试卷 12 答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符
8、合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. 1 ， 2 是 n 元齐次方程组 Ax=0 的两个不同的解，若 r(A)=n 一 1，则 Ax=0 的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 。B.k 2 。C.k( 1 + 2 )。D.k( 1 一 2 )。 解析：解析：因为 r(A)=n 一 1，所以 Ax=0 的基础解系只含有一个解向量， 1 一 2 为 Ax=0 的非零解，所以 Ax=0 的通解为 k( 1 一 2 )。3.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0 和()A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也
9、是()的解。 B.()的解是()的解，()的解不是()的解。C.()的解是()的解，()的解不是()的解。D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解。解析：解析：如果 是(1)的解，有 A=0，可得 A T A=A T (Aa)=A T 0=0，即 是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。反之，若 是(2)的解，有 A T A=0，用 T 左乘可得 0= T 0= T (A T A)=( T A T )(A)=(A) T (A)，若设 Aa=(b 1 ，b 2 ，b m )，那么(A) T (A)=b 1 +b 2 2 +b n 2 =0,b i =0(i=1，2，n)，即 A=0，说
10、明 是(1)的解。因此(2)的解也必是(1)的解。所以应选A。4.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有四个命题： ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不是()的解； ()的解不是()的解。 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.。 B.。C.。D.。解析：解析：若 A n =0，则 A n+1 =A(A n )=A0=0，即若 是(1)的解，则 必是(2)的解，可见命题正确。如果 A n+1 =0，而 A n 0，那么对于向量组 ，A，A 2 ，A n ，一方面有：若 k+k 1 A+k 2 A 2 +k n
11、A n =0，用 A n 左乘上式的两边得 kA n =0。由 A n 0 可知必有 k=0。类似地可得 k 1 =k 2 =k n =0。因此，A，A 2 ，A n 线性无关。但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 A n+1 =0 时，必有 A n =0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题正确。所以应选 A。5.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，
12、则r(A)=r(B)；若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )（分数：2.00）A.。B.。 C.。D.。解析：解析：由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以，显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。下面证明，正确：对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而 Ax=0 的有效方程的个数(即 r(A)必不少于 Bx=0 的有效方程的个数(即 r(B)，故 r(A)r(B)。对于，由于 A，B 为同型矩阵，若 Ax=0
13、 与 Bx=0 同解，则其相同，即 nr(A)=nr(B)，从而 r(A)=r(B)。6.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A * 是 A 的伴随矩阵，则( )（分数：2.00）A.A * x=0 的解均是 Ax=0 的解。B.Ax=0 的解均是 A * x=0 的解。 C.Ax=0 与 A * x=0 没有非零公共解。D.Ax=0 与 A * x=0 恰好有一个非零公共解。解析：解析：由题设知 n 一 r(A)2，从而有 r(A)n 一 2，故 A * =O，任意 n 维向量均是 A * x=0 的解，故正确选项是 B。二、填空题(总题数：3，分数：6
14、.00)7.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：矩阵 可得线性方程组 故 x 1 =2 一 x 2 ，y 1 =3 一 y 2 ，所以 8.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，一 1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0) T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(13，一 3，1，5) T ，k 为任意常数）解析：解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1)的通解 9.已知方程组(1) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
15、案：k(一 5，3，1) T ，k 为任意常数）解析：解析：将方程组(1)和方程(2)联立，得到方程组 的解就是两者的公共解。对(3)的系数矩阵作初等行变换可得 三、解答题(总题数：11，分数：26.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.已知方程组 的一个基础解系为(b 11 ，b 12 ，b 1,2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2,2n ) T ，(b n1 ,b n2 ，b n,2n ) T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，线性方程组(2)的通解为 y=c 1 (a 1 ，a 12 ，a 2,2n )
16、 T +c 2 (a 21 ，a 22 ，a 2,2n ) T +c n (a n1 ，a n2 ，a n,2n ) T ，其中 c 1 ，c 2 ，c n 是任意的常数。这是因为：设方程组(1)和(2)的系数矩阵分别为 A，B，则根据题意可知 AB T =O，因此 BA T =(AB T ) T =O，可见 A 的 n 个行向量的转置为(2)的 n 个解向量。由于 B 的秩为 n，所以(2)的解空间的维数为 2nr(B)=2n 一 n=n，又因为 A 的秩等于 2n 与(1)的解空间的维数的差，即 n，因此 A 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成 (2)的一个基础解系。)解
17、析：12.已知三阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=O 知，B 的每一列均是 Ax=0 的解，且 r(A)+r(B)3。若 k9，则 r(B)=2，于是 r(A)1，显然 r(A)1，故 r(A)=1。可见此时 Ax=0 的基础 解系所含解向量的个数为 3 一 r(A)=2，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为：x=k 1 (1，2，3) T +k 2 (3，6，k) T ，k 1 ，k 2 为任意常数。 若 k=9，则 r(B)=1，从而 1r(A)2。 若 r(A)=2
18、，则 Ax=0的通解为：x=k 1 (1，2，3) T ，k 1 为任意常数。 若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax 1 +ax 2 +cx 3 =0，不妨设 a0，则其通解为 )解析：13.设矩阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，其中 2 , 3 , 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 ，向量b= 1 + 2 + 3 + 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 2 ， 3 ， 4 线性无关，则 r(A)3.又由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关可知 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关， 故 r(A)3。 综上
19、所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为 43=1。又因为 所以 x=(1，一 2，1，0) T 是方程组 Ax=0 的基础解系。 又由 b=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 可知 x=(1，1，1，1) T 是方程组 Ax=b 的一个特解。 于是原方程组的通解为 x=c(1，1，1，1) T +c(1，一 2，1，0) T ，cR。)解析：14.已知 45 矩阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )，其中 1 , 2 , 3 , 4 , 5 均为四维列向量， 1 , 2 , 4 线性无关，又设 3 = 1 一 4 ， 5 = 1 + 2 + 4 ，=2 1 +
20、2 一 3 + 4 + 5 ，求 Ax= 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， 2 ， 4 线性无关， 3 = 1 一 4 ， 5 =a 1 +a 2 +a 4 ，所以 r(A)=3。由已知条件 =2 1 + 2 一 3 + 4 + 5 ，从而线性方程组 Ax= 有特解=(2，1，一 1，1，1) T 。由 3 = 1 一 4 ， 5 = 1 + 2 + 4 ，可知导出组 Ax=0 的两个线性无关的解为 1 =(1，0，一 1，一 1，0) T ， 2 =(1，1，0，1，一 1) T 。由 r(A)=3，可知齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由两个线性无关的解构成
21、，故 1 ， 2 为 Ax=0 的基础解系，方程组Ax= 的通解为 x=+k 1 1 +k 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数。)解析：设四元齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).方程组(1)与(2)的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求方程组(1)的基础解系： 对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换 求方程(2)的基础解系： 对方程组(2)的系数矩阵作初等行变换 分别取 其基础解系可取为 )解析：(2).(1)与(2)的公共解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 为(1)与(2)的公共解，用两种方法求
22、 x 的一般表达式：将(1)的通解 x=(c 1 ，一 c 1 ，c 2 ，一 c 1 ) T 代入(2)得 c 2 =一 2c 1 ，这表明(1)的解中所有形如(c 1 ，一 c 1 ，一 2c 1 ，一 c 1 ) T 的解也是(2)的解，从而是(1)与(2)的公共解。因此(1)与(2)的公共解为 x=k(一 1，1，2，1) T ，kR。)解析：15.设方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组 则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组(3)有解，所以(a 一 1)(a 一 2)=0
23、。当 a=1 时, 此时方程组(3)的通解为 k(一 1，0，1) T (k 为任意常数)，此即为方程组(1)与(2)的公共解。当 a=2 时, )解析：设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：4.00）(1).求方程组(1)的一个基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 )解析：(2).当 a 为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 =k 1 1 +k 2 2 =l 1 1 +l 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 与 l 1 ，l
24、2 均是不全为 0 的常数。由 k 1 1 +k 2 2 l 1 1 l 2 2 =0，得齐次方程组 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 当 a一 1 时，方程组(3)的系数矩阵变为 。 可知方程组(3)只有零解，即 k 1 =k 2 =l 1 =l 2 =0，于是 =0，不合题意。当 a=一 1 时，方程组(3)系数矩阵变为 )解析：设线性方程组(1)Ax=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，1，0，2) T ， 2 =(1，1，0，1，1) T ， 3 =(1，0，1，1，2) T 。线性方程组(2)Bx=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，一 1，一 1，1) T ， 2 =(
25、1，一 1，1，一 1，2) T ， 3 =(1，一 1，一 1，1，1) T 。求（分数：4.00）(1).线性方程组(3) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线性方程组(1)Ax=0 的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k 2 3 ；线性方程组(2)Bx=0 的通解为 x=l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 ；线性方程组(3) 的解是方程组(1)和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 ，将其系数矩阵作初等行变换，即 )解析：(2).矩阵 C=(A T ，B T )的秩。（分数：2.00）_正
26、确答案：(正确答案：线性方程组(3) )解析：16.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组(2)中“方程个数未知数个数”，所以方程组(2)必有非零解。于是方程组(1)必有非零解，则(1)的系数行列式为 0，即 所以 a=2。对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 则方程组(1)的通解是 k(一 1，一 1，1) T 。 因为(一 1，一 1，1) T 是方程组(2)的解，所以 故 b=1，c=2 或 b=0，c=1。 当 b=1，c=2 时，方程组(2)为 其通解是 k(一 1，一 1，1) T ，所以方程组(1)与(2)同解。 当 b=0，c=1 时，方程组(2)为 )解析：17.已知齐次线性方程组 的所有解都是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解。试证明线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知齐次线性方程组 的所有解都是方程 b 1 x 1 +b 1 x 2 +b n x n =0 (2) 的解，可知方程组(1)与方程组 由 r(A)=r(A T )，r(B)=r(B T )，所以 r(A T )=r(B T )，即方程组 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，故线性方程组 )解析：
