1、考研数学二（线性方程组）-试卷 5 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 1 =(1，1，一 1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是( )（分数：2.00）A.(1，一 1，3) T 。B.(2，1，一 3) T 。C.(2，2，一 5) T 。D.(2，一 2，6) T 。3.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个。B.2 个。C.
2、3 个。D.4 个。4.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 。B.k 1 。C.k( 1 + 2 )。D.k( 1 一 2 )。5.设 1 , 2 , 3 , 4 是四维非零列向量组，A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，A * 为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T ，则 A * x=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 3 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 。C. 2 , 3
3、, 4 。D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。6.设 1 ， 2 , 3 ， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 + 1 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 + 4 ， 1 一 2 + 3 。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。D. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。7.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相
4、等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在。B.仅含一个非零解向量。C.含有两个线性无关的解向量。D.含有三个线性无关的解向量。8.设 A 是 mn 矩阵，AT 是 A 的转置，若 1 ， 2 , t 为方程组 A T x=0 的基础解系，则 r(A)=( )（分数：2.00）A.t。B.nt。C.mt。D.nm。9.已知四阶方阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )， 1 , 2 , 3 , 4 均为四维列向量，冥中 1 , 2 线性无关，若 1 +2 2 一 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k
5、1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为( )（分数：2.00）A.B.C.D.10.设 1 , 2 , 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( )（分数：2.00）A.B.C.D.11.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 , 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 +
6、 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1 + 2 +2 3 =(2，0，0，0) T ，3 1 + 2 =(2，4，6，8) T ，则方程组 Ax=b 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设(1，1，1) T ，(2，2，3) T 均为线性方程组 （分数：2.00）填
7、空项 1:_15.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2, 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：18.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：4.00）(1).当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x 1 ；（分数：2.00）_(2).当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).计算行列式A；（分数：2.00）_(2).当实数 a 为何值时，方程组 A
8、x=b 有无穷多解，并求其通解。（分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设线性方程组为 （分数：2.00）_19.已知线性方程组 （分数：2.00）_20.设 1 ， k 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1。证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是方程组的解。（分数：2.00）_21.设 1 , 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 +t 2 ， 2 =t 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数。试问 t 1 ，
9、t 2 满足什么条件时， 1 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）-试卷 5 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 1 =(1，1，一 1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是( )（分数：2.00）A.(1，一 1，3) T 。B.(2，1，一 3) T 。 C.(2，2，一 5) T 。D.(2，一 2，6) T
10、 。解析：解析：如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解。因此选项 A、D 均不是 Ax=0 的解。由于 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的任何一个解 均可由 1 ， 2 线性表示，也即方程组x 1 1 +x 2 2 = 必有解，而 3.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个。B.2 个。 C.3 个。D.4 个。解析：解析：因为系数矩阵的秩 r(A)=3，则 17,一 r(A)=53=2，故应当有两个自由变量。由于去掉 x 4 ，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 因为其秩与 r(A)不相等，故 x 4 ，x
11、5 不 是自由变量。同理，x 3 ，x 5 不能是自由变量。 而 x 1 ，x 5 与 x 2 ，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 4.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 。B.k 1 。C.k( 1 + 2 )。D.k( 1 一 2 )。 解析：解析：因为 A 是秩为 n 一 1 的忍阶矩阵，所以 Ax=0 的基础解系只含一个非零向量。又因为 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，所以 1 一 2 必为方程组 Ax=0 的一个非零解，即 1 一
12、2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解必定是 k( 1 一 2 )。选 D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项 A 不正确；若 1 =0，则选项 B 不正确；若 1 =一 2 0，则 1 + 2 =0，此时选项 C 不正确。5.设 1 , 2 , 3 , 4 是四维非零列向量组，A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，A * 为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T ，则 A * x=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 3 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 。C. 2
13、, 3 , 4 。 D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。解析：解析：方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵 A 的秩，r(A)=41=3，则其伴随矩阵 A * 的秩 r(A * )=1，于是方程组 A * x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。又 A * ( 1 , 2 , 3 , 4 )=A * A=AE=D，所以向量 1 , 2 , 3 , 4 都是方程组 A * x=0 的解。将(1，0，2，0) T 。代入方程组 AX=0 可得 1 +2 3 =0，这说明 1 可由向量组 2 , 3 , 4 线性表出，而向量组 1 , 2 , 3
14、 , 4 的秩等于 3，所以向量组 2 , 3 , 4 必线性无关。所以选 c。事实上，由 1 +2 3 =0 可知向量组 1 , 2 , 3 线性相关，选项 A 不正确；显然，选项B 中的向量都能被 1 , 2 , 3 线性表出，说明向量组 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 线性相关，选项 B 不正确；而选项 D 中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型 D 也不正确。6.设 1 ， 2 , 3 ， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 + 1 。B. 1
15、+ 2 ， 2 + 3 + 4 ， 1 一 2 + 3 。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。D. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。 解析：解析：由已知条件知 Ax=0 的基础解系由四个线性无关的解向量所构成。选项 B 中仅三个解向量，个数不合要求，故排除 B 项。选项 A 和 C 中，都有四个解向量，但因为( 1 2 )+( 2 + 3 )一( 2 一 4 )一( 4 + 1 )=0，( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0 说明选项 A、C 中的解向量组均线性相关，因而排除 A 项和 C
16、 项。用排除法可知选 D。或者直接地，由( 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 )=( 1 ， 2 , 3 ， 4 ) 因为 7.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在。B.仅含一个非零解向量。 C.含有两个线性无关的解向量。D.含有三个线性无关的解向量。解析：解析：由 A * O 可知，A * 中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A 中至少有一个n1 阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有 r(A)n
17、一 1。又因 Ac=b 有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有 r(A)n，从而 r(A)=n 一 1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选 B。8.设 A 是 mn 矩阵，AT 是 A 的转置，若 1 ， 2 , t 为方程组 A T x=0 的基础解系，则 r(A)=( )（分数：2.00）A.t。B.nt。C.mt。 D.nm。解析：解析：r(A T )+t 等于 A T 的列数，即 r(A T )+t=m，所以 r(A T )=mt=r(A)。9.已知四阶方阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )， 1 , 2 , 3 , 4 均为四维列向量，冥中 1 ,
18、2 线性无关，若 1 +2 2 一 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由 1 +2 2 一 3 = 知 10.设 1 , 2 , 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据线性方程组解的结构性质，易知 2 1 一( 2 + 3 )
19、=(2，3，4，5) T 是 Ax=0 的一个非零解，所以应选 C。11.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 , 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ 解析：解析：对于 A、C 选项，因为 所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确。对于选项 D，虽然
20、 1 一 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故D 也不正确，所以应选 B。事实上，对于选项 B，由于 1 ， 1 一 2 与 1 ， 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故 1 ， 1 一 2 也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 可知 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T ，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析：因为矩阵 A 的秩是 2，所以A=O，且 r(A * )=1。再由 A * A=AE=O 可知，A 的列向量为 A *
21、 x=0 的解，因此 A * x=0 的通解是 A * x(1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T 。13.设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1 + 2 +2 3 =(2，0，0，0) T ，3 1 + 2 =(2，4，6，8) T ，则方程组 Ax=b 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( ）解析：解析：由于 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系只含有 4 一 r(A)=1 个解向量。又因为 ( 1 + 2 +2 3 )一(3 1 + 2 )=2( 3 一 1
22、 )=(0，一 4，一 6，一 8) T 是 Ax=0 的解，所以其基础解系为(0，2，3，4) T ，由 A( 1 + 2 +2 3 )=A 1 +A 2 +2A 3 =4b，可知 ( 1 + 2 +2 3 )是方程组 Ax=b 的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是( 14.设(1，1，1) T ，(2，2，3) T 均为线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，1，2) T +(1，1，1) T ，kR）解析：解析：该线性方程组的系数矩阵为 。已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵 A 不满秩，也即 r(A)3，又因为 A 的一个二阶子
23、式 15.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2, 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 +k 1 ( 2 一 1 )+k 2 ( 2 一 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析： 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2 一 1 ， 3 一 1 是 Ax=0 的两个非零解，且它们线性无关。又 nr(A)=2，故 2 一 1 ， 3 一 1 是Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1 +k 1 ( 2 一 1 )+k 2
24、 ( 2 一 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数。三、解答题(总题数：8，分数：18.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：4.00）(1).当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x 1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式A=D n =(n+1)a n 。 当 a0 时，D n 0，方程组有唯一解。将 A 的第一列换成 b，得行列式为 所以由克拉默法则得 )解析：(2).当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=
25、0 时，方程组为 )解析：设 （分数：4.00）(1).计算行列式A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).当实数 a 为何值时，方程组 Ax=b 有无穷多解，并求其通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得 要使原线性方程组有无穷多解，则有 1 一 a 4 =0 且一 a 一 a 2 =0，即 a=一 1。当 a=一 1 时， )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 由 ACCA=B 得 该方程组是四元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得
26、当 a=一 1，b=0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 ACCA=B。此时增广矩阵变换为 所以通解为 即 )解析：18.设线性方程组为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 k 2 1 时，r(A)=3r(B)=4，方程组无解； 当 k 2 =1 时，r(A)=r(B)=34，方程组有无穷多解，且 )解析：19.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 1 ， k 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1。证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是方程组的解。（分数
27、：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有 A i =b(i=1，s)。 因为 k 1 +k 2 +k s =1，所以 Ax=A(k 1 1 +k 2 2 +k s s ) =k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s ， =b(k 1 +k s )=b， 由此可见 x 也是方程组的解。)解析：21.设 1 , 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 +t 2 ， 2 =t 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数。试问 t 1 ，t 2 满足什么条件
28、时， 1 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 i (i=1，2，s)是 1 , 2 ， s 的线性组合，且 1 , 2 ， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知 i (i=1，2，s)均为 Ax=0 的解。从 1 , 2 ， s 是 As=0 的基础解系知 s=nr(A)。以下分析 1 2 ， s 线性无关的条件：设 k 1 2 +k 2 2 +k s s =0，即 (t 1 k 1 +t 2 k 2 ) 1 +(t 2 k 1 +t 1 k 2 ) 2 +(t 2 k 2 +t 1 k 3 ) 2 +(t 2 k t-1 +t 1 k s ) s =0，由于 1 , 2 ， s 线性无关，所以 又因系数矩阵的行列式 )解析：
