1、考研数学二（行列式）模拟试卷 11 及答案解析(总分：42.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.四阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 一 b 1 b 2 b 3 b 4 。B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 。C.(a 1 a 2 一 b 1 b 2 )(a 3 a 4 一 b 3 b 4 )。D.(a 2 a 3 一 b 2 b 3 )(a 1 a 4 一 b 1 b 4 )。3.设 （分数：2.00）A.m。B
2、.一 8m。C.2m。D.一 2m。4.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，且A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )=( )（分数：2.00）A.m+n。B.m 一 n。C.一(m+n)。D.nm。5.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )是三阶矩阵，则A=( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 +2 2 ， 3 ， 1 + 2 。D. 1 ， 2 + 3 ， 1 + 2 。6.设矩阵 A= （分
3、数：2.00）A.一 6。B.6。C.。D.。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_8.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_9.设三阶行列式 D 3 的第二行元素分别为 1、一 2、3，对应的代数余子式分别为一 3、2、1，则 D 3 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.已知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )是三阶矩阵，且A=4。若 B=( 1 一 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 )，则B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.00）填
4、空项 1:_13.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_14.设三阶方阵 A 与 B 相似，且2E+A=0。已知 1 =1， 2 =一 1 是方阵 B 的两个特征值，则A+2AB= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.计算行列式 （分数：2.00）_17.计算行列式 （分数：2.00）_18.计算： D 2n = （分数：2.00）_19.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_20.计算 D n = （分数：2.00）
5、_21.设矩阵 A= （分数：2.00）_考研数学二（行列式）模拟试卷 11 答案解析(总分：42.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.四阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 一 b 1 b 2 b 3 b 4 。B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 。C.(a 1 a 2 一 b 1 b 2 )(a 3 a 4 一 b 3 b 4 )。D.(a 2 a 3 一 b 2 b 3 )(a 1 a 4 一 b 1 b
6、 4 )。 解析：解析：根据行列式的按 k 行(列)展开法则，将此行列式第二、三行(列)展开，得 D= 3.设 （分数：2.00）A.m。B.一 8m。C.2m。D.一 2m。 解析：解析：将行列式A的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式B。由行列式的性质知B=一 2A=一 2m。4.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，且A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )=( )（分数：2.00）A.m+n。B.m 一 n。C.一(m+n)。D.nm。 解析：解
7、析：由行列式运算法则 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )= 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 3 ， 2 ， 1 ， 2 ，且 3 ， 2 ， 1 ， 2 =一 1 ， 2 ， 3 ， 2 = 1 ， 2 ， 2 ， 3 =B=n， 故可得 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )=一A+B=一 m+n。5.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )是三阶矩阵，则A=( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 +2 2 ， 3 ， 1 + 2 。 D. 1 ， 2 + 3 ， 1 + 2 。解析：解析：
8、1 +2 2 ， 3 ， 1 + 2 = 1 ， 2 ， 3 6.设矩阵 A= （分数：2.00）A.一 6。B.6。C.。 D.。解析：解析：化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=一 E，即(A+E)(B+E)=一 E， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 A+EBE=1， 又A+E= =一 12，故B+E=二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2(x 3 +y 3 )）解析：解析：将后两列加到第一列上8.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：120）解析：
9、解析：将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子 10，然后将第四行逐行换至第二行，即 原式=9.设三阶行列式 D 3 的第二行元素分别为 1、一 2、3，对应的代数余子式分别为一 3、2、1，则 D 3 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3 =a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 =1(一 3)+(一 2)2+31=一 4。10.已知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：
10、结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即11.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )是三阶矩阵，且A=4。若 B=( 1 一 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 )，则B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：利用行列式的性质 B= 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，5 3 =5 1 3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ， 3 =5 1 3 2 ， 2 ， 3 =5 1 ， 2 ， 3 =5A=20。12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由
11、 AB+B+A+2E=O 可知 A(B+E)+B+E=一 E，也即 (A+E)(B+E)=一 E。 取行列式可得 A+EB+E=E=1， 由于 A+E= =一 12， 故B+E=13.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据行列式按行(列)展开法则，得 D=(一 1) 33 A 14.设三阶方阵 A 与 B 相似，且2E+A=0。已知 1 =1， 2 =一 1 是方阵 B 的两个特征值，则A+2AB= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由2E+A=0，可得
12、一 2EA=0，即 =一 2 是 A 的一个特征值。 因 A 与 B 相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知， 1 =1， 2 =一 1 也是 A 的特征值，所以 A、B 的特征值均为 1 =1， 2 =一 1， 3 =一 2，则 E+2B 的三个特征值分别为 3，一 1，一 3。从而可得A= 1 2 3 =2，E+2B=3(一 1)(一 3)=9，故A+2AB=A(E+2B)=AE+2B=18。三、解答题(总题数：7，分数：14.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第一行的一 1 倍
13、分别加至其余各行，然后将第 2n 列依次加至第一列，得)解析：17.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第一行的一 1 倍分别加至其余各行得 )解析：18.计算： D 2n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该行列式只有两条对角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。=a n d n D 2n2 一 b n c n D 2n2 。 由此得递推公式 D 2n =(a n d n 一 b n c n )D 2n2 。按递推公式逐层代入得 D 2n = (a i d i b i c i )D 2 ， 而 D 2 = =a 1 d 1 一 b 1 c 1
14、， 因此原行列式 D 2n = )解析：19.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：数学归纳法。 记 D n =A= ， 以下用数学归纳法证明 D n =(n+1)a n 。 当 n=1 时，D 1 =2a，结论成立。 当 n=2 时，D 2 = =3a 2 ，结论成立。 假设结论对小于 n 的情况成立，将 D n 按第一行展开，则有 D n =2aD n1 一 )解析：20.计算 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将第一行的一 1 倍加到其余各行可得 D n = 。 当 n3 时，上述行列式第2 到 n 行是成比例的，故 D n =0。 当 n=2 时， D n = )解析：21.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵方程中出现了矩阵 A 的伴随矩阵 A * 与 A 1 ，故考虑先将等式化简。由于 A * A=AE=2E，A 1 A=E， 故在等式 ABA * =EBA 1 两边同时右乘 A，可得 2AB=AB，则有 (2A+E)B=A。 以上等式两边取行列式得 2A+EB=A=2， 易求得2A+E=55，因此B= )解析：
