1、考研数学（数学一）-试卷 154及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x0 时，曲线 y=xsin 1/x( )（分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线3.当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?( )（分数：2.00）A.x 2B.1-cosxC.D.x-tanx4.设 f(x)在 x=0处满足 f “ (0)=f “ (0)=f
2、 (n) (0)=0，f (n+1) (0)0，则( )（分数：2.00）A.当 n为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B.当 n为偶数时，x=0 是 f(x)的极小值点C.当 n为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D.当 n为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点5.f(x，y)=arctan(x/y)在(0，1)处的梯度为( )（分数：2.00）A.iB.-iC.jD.-j6.设 A是 n阶方阵，线性方程组 AX=0有非零解，则线性非齐次方程组 A T X=b对任何 b=(b 1 ，b 2 ，b n ) T ( )（分数：2.00）A.不可能有唯一解B.必有无穷多解C.无解D.或有
3、唯一解，或有无穷多解7.已知 a 1 =(-1，1，a,4) T ，a 2 =(-2，1，5，a) T ，a 3 =(a，2，10，1) T 是四阶方阵 A的属于三个不同特征值的特征向量，则 a的取值为( )（分数：2.00）A.a5B.a-4C.a-3D.a-3 且 a-48.设 X，Y 是两个随机变量，且 PX1，Y1=4/9,PX1=PY1=5/9，则 Pmin(X，Y)1=( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.设(X 1 ，X 2 ，X n )为取自正态总体 XN(， T )的样本，则 2 + 2 的矩法估计量为 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：1
4、2.00)10.已知 f(x)是微分方程 xf “ (x)-f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.极限 （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 f(x)=x+x 2 (-x)的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(u，v)是二元可微函数 （分数：2.00）填空项 1:_14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X ij (i，j=1，2，n；n2)独立同分布，E(X ij )=2，则行列式 （分数：2
5、.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18.设函数 Y=y(x)由方程 ylny-x+y=0确定，判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：2.00）_19.计算曲面积分 ，其中 S是 （分数：2.00）_20.设函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）_21.设 a 0 =1，a 1 =7/2，a n+1 =- ，n2，证明：当x1 时，幂级数 （分数：2.00）_22.设四维向量组 a 1 =(1+a，1，1，1) T ，a 2 =(2，2+a，2
6、，2) T ，a 3 =(3，3，3+a，3) T ，a 4 =(4，4，4，4+a) T ，问 a为何值时，a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关?当 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：2.00）_23.设矩阵 （分数：2.00）_24.设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)=1/4，P(BA)=1/3，P(AB)=1/2，令 （分数：2.00）_25.假设测量的随机误差 XN(0，10 2 )，试求在 100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 a，并用泊松分布求出
7、a的近似值(小数点后取两位有效数字) （分数：2.00）_考研数学（数学一）-试卷 154答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 时，曲线 y=xsin 1/x( )（分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线解析：解析：只有间断点 x=0， ，没有铅直渐近线又3.当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?( )（分数：2.00
8、）A.x 2B.1-cosxC.D.x-tanx 解析：解析：4.设 f(x)在 x=0处满足 f “ (0)=f “ (0)=f (n) (0)=0，f (n+1) (0)0，则( )（分数：2.00）A.当 n为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B.当 n为偶数时，x=0 是 f(x)的极小值点C.当 n为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D.当 n为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点 解析：解析：5.f(x，y)=arctan(x/y)在(0，1)处的梯度为( )（分数：2.00）A.i B.-iC.jD.-j解析：解析：6.设 A是 n阶方阵，线性方程组 AX=0有非零解，
9、则线性非齐次方程组 A T X=b对任何 b=(b 1 ，b 2 ，b n ) T ( )（分数：2.00）A.不可能有唯一解 B.必有无穷多解C.无解D.或有唯一解，或有无穷多解解析：解析：因为 AX=0有非零解，而 A为 n阶方阵，所以A=A T =0因此 r(A T )n 于是线性非齐次方程组 A T X=b在 r(A T b)=r(A T )时有无穷多解；在 r(A T b)r(A T )时无解故对任何b，A T X=b不可能有唯一解所以选(A)7.已知 a 1 =(-1，1，a,4) T ，a 2 =(-2，1，5，a) T ，a 3 =(a，2，10，1) T 是四阶方阵 A的属于
10、三个不同特征值的特征向量，则 a的取值为( )（分数：2.00）A.a5 B.a-4C.a-3D.a-3 且 a-4解析：解析：因为 a 1 ，a 2 ，a 3 是 A的属于三个不同特征值的特征向量，所以它们必线性无关，由 8.设 X，Y 是两个随机变量，且 PX1，Y1=4/9,PX1=PY1=5/9，则 Pmin(X，Y)1=( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：Pmin(X，Y)1=PX1Y1=PX1+PY1-PX1，Y1=2/3应选(C)9.设(X 1 ，X 2 ，X n )为取自正态总体 XN(， T )的样本，则 2 + 2 的矩法估计量为 （分数：2.00）A.B
11、.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.已知 f(x)是微分方程 xf “ (x)-f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-/8）解析：解析：11.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：12.设函数 f(x)=x+x 2 (-x)的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：13.设 f(u，v)是二元可微函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2
12、) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设，f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +2x 1 x 2 +x 2 2 +x 3 2 -2x 2 x 3 +x 1 2 +x 3 2 +2x 1 x 3 =2 1 2 +2 2 2 +2 3 2 +2 1 x 2 -2 2 x 3 +2x 1 x 3 ， 则该二次型的矩阵为 ，由初等行变换可将 A化为 15.设随机变量 X ij (i，j=1，2，n；n2)独立同分布，E(X ij )=2，则行列式 （分数：2.0
13、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：由题设，根据行列式的定义和数学期望的性质，有三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设函数 Y=y(x)由方程 ylny-x+y=0确定，判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程 ylny-x+y=0， 两边求导得 y “ lny+y “ -1+y “ =0，即 y “ =1/ 2+lny 再求一次导得 y “ = 在点(1，1)处 y
14、“ = )解析：19.计算曲面积分 ，其中 S是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用高斯公式 用柱坐标系， 得 )解析：20.设函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题设所给变上限定积分中含有参数 x，因此令 u=2x-t，则 du=-dt， )解析：21.设 a 0 =1，a 1 =7/2，a n+1 =- ，n2，证明：当x1 时，幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设四维向量组 a 1 =(1+a，1，1，1) T ，a 2 =(2，2+a，2，2) T ，a 3 =(3，3，3+a，3) T ，a 4 =(4，4，4
15、，4+a) T ，问 a为何值时，a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关?当 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )作初等行变换，有(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )= 若 a=0，则秩 r(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )=1，a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关可取极大线性无关组为 a 1 且 a 2 =2a 1 ，a 3 =3a 1 ，a 4 =4a 1 由于 a0，继续作初等行变换有(a 1 ，
16、a 2 ，a 3 ，a 4 ) )解析：23.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，A * a= 0 a，由公式 AA * =AE=-E，则 )解析：24.设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)=1/4，P(BA)=1/3，P(AB)=1/2，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设，(X，Y)的可能取值为(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)， )解析：25.假设测量的随机误差 XN(0，10 2 )，试求在 100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 a，并用泊松分布求出 a的近似值(小数点后取两位有效数字) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 p为每次测量误差的绝对值大于 196 的概率，则 设 Y为 100次独立重复测量中事件X196出现的次数，则 Y服从参数为 n=100，p=005 的二项分布，所求概率 a=PY3=1-PY3=1-PY=0-PY=1-PY=2 由泊松定理知，Y 近似服从参数为=np=100005=5 的泊松分布， )解析：
