1、考研数学（数学一）-试卷 191 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.-1C.1/2D.-24.设 f(X)是连续函数，且 F(x)= ，则 f “ (x)等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设幂级数 的收敛半径分别为 ，则幂级数 （分数：2.00）A.5B.C.1/3D.1/
2、56.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解7.设 A 是 n 阶矩阵，下列不是命题“0 是矩阵 A 的特征值”的充分必要条件的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组线性相关B.方程组 AX=0 有非零解C.对任何非零向量 b，方程组 AX=b 都没有唯一解D.存在自然数 k，使得 A k =08.设随机
3、变量 X，Y 独立同分布，且 X 的分布函数 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F 2 (x)B.F(x)F(y)C.1-1-F(x) 2D.1-F(x)1-F(y)9.设总体 XN(， 2 )，其中 2 未知，s 2 = ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1-a 的置信区间为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.极限 （分数：2.00）填空项 1:_11.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 dy/dx=xln(1+x 2 )，且 y(0)=1/2，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项
4、 1:_13.星形线 （分数：2.00）填空项 1:_14.从 R 2 的基 （分数：2.00）填空项 1:_15.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：2.00）_18.假设 f(x)在a，+)上连续，f “ (x)在(a，+)内存在且大于零，记 F(x)= （分数：2.00）_19.设函数 f(x
5、)在0，上连续，且 （分数：2.00）_20.已知抛物线 y=px 2 +qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S (I)问 p 和 q 何值时，S 达到最大值? ()求出此最大值 （分数：2.00）_21.设 n 是曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的方法向量，求函数 u= （分数：2.00）_22.设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(a ij ) nxm 中元素 a ij (i，j=1，2，n)的代数余子式，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )
6、= （分数：2.00）_23.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 1 = （分数：2.00）_24.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布，(I)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；()求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率 Q（分数：2.00）_25.设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_考研数学（数学一）-试卷 191 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9
7、，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)、(B)、(C)选项都正确，只有(D)选项错误， 3.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.-1C.1/2D.-2 解析：解析：本题实际上要求 f “ (1)，由题设 4.设 f(X)是连续函数，且 F(x)= ，则 f “ (x)等于( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：5.设幂级数 的收敛半径分别为 ，则幂级数 （分数：2
8、.00）A.5 B.C.1/3D.1/5解析：解析：6.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解 解析：解析：7.设 A 是 n 阶矩阵，下列不是命题“0 是矩阵 A 的特征值”的充分必要条件的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组线性相关B.方程组 AX=0 有非零解 C.对任何非零向量 b，方程组 AX
9、=b 都没有唯一解D.存在自然数 k，使得 A k =0解析：解析：若 0 是矩阵 A 的特征值，则A=0，即 r(A)n，所以方程组 AX=0 有非零解，反之若方程AX=0 有非零解，则 r(A)n，即A=0，所以 0 是矩阵 A 的特征值，选(B)8.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 X 的分布函数 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F 2 (x) B.F(x)F(y)C.1-1-F(x) 2D.1-F(x)1-F(y)解析：解析：设 Z 的分布函数为 G(x)因为随机变量 X，Y 独立同分布，所以有 G(x)=PZx=PmaxX，Yx=PXxPYx=
10、F(x)F(x)=F 2 (x)，故应选(A)9.设总体 XN(， 2 )，其中 2 未知，s 2 = ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1-a 的置信区间为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为 2 未知，所以选用统计量 故 的置信度为 1-a 的置信区间为 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 ，且 sinx 和 cosx 均为有界函数，故11.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：- 1/2p1/2）解析：解析：12.设 dy/dx=xln(1+x
11、 2 )，且 y(0)=1/2，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1/2(1+x 2 )ln(1+x 2 )-1+1）解析：解析：13.星形线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(12/5)a 2）解析：解析：14.从 R 2 的基 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设过渡矩阵为 P，则(a 1 a 2 )P=( 1 2 ) 所以 15.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1/
12、）解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，所以 XN(，2 2 /n)，从而 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设函数 F(x)=xsinx+2cosx+x，则 F(x)在0，有连续的二阶导数， 且 F “ (x)=xcosx-sinx+，F “ ()=0， F “ (x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0 (x(0，) 所以 F
13、“ (x)在0，单调减少，从而 F “ (x)F “ ()=0(x(0，) 于是 F(x)在0，单调增加，因此当0ab 时，F(b)F(a) 即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a)解析：18.假设 f(x)在a，+)上连续，f “ (x)在(a，+)内存在且大于零，记 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 (x)=f “ (x)(x-a)-f(x)+f(a)(xa)， 由于 “ (x)=f “ (x)(x-a)0，因此 (x)在(a+)内单调增加，(x)(a)=0， 故 )解析：解析：要证 F(x)在(a，+)内单调增加，只需证 f “ (x)0， 为
14、此须先求出 F(x)的导数 F “ (x)，再利用 f “ (x)大于零的条件进行推证19.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入辅助函数 ，则 f(0)=0，f()=0， 又由 )解析：20.已知抛物线 y=px 2 +qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S (I)问 p 和 q 何值时，S 达到最大值? ()求出此最大值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，抛物线与直线的位置关系如图所示 抛物线 y=px x +qx 与 x 轴的交点为(0，0)及(- q/p，0
15、)，面积 又知抛物线与直线相切，因此二者的公共点唯一，从而方程组 有唯一解，可推知 px 2 +(q+1)x-5=0 的根的判别式为 0， 即=(q+1) 2 +20p=0，可解得 p=-1/20(1+q) 2 由此 )解析：21.设 n 是曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的方法向量，求函数 u= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求方向 n 的方向余弦，再求 gradu，最后按方向导数的计算公式求出 曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6 上点 P(1，1，1)的法向量为4x，6y，2z P =22，3，1，在 P 点指向外侧，取正
16、号，并单位化得 )解析：22.设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(a ij ) nxm 中元素 a ij (i，j=1，2，n)的代数余子式，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设， 已知 A 为 n 阶实对称矩阵，从而上式两边可转置， 已知 r(A)=n，从而A0，A 可逆，且 A -1 = )解析：23.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.假设一大型设备在任何长为 t 的
17、时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布，(I)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；()求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件知，事件N(t)=k表示设备在任何长为 t 的时间内发生 k 次故障，其概率为 PN(t)=k= (I)由于 T 是非负随机变量，所以当 t0 时，事件Tt与事件N(t)=0等价，因此 F(t)=PTt=1-PTt=1-PN(t)=0=1- =1-e -t 因此 F(t)= ，即 T 服从参数为 的指数分布 )解析：25.设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图，由 f(x，y)= 当 x0 或 y0 时，F(x，y)=0； 当 0x1，0y1时， 当 x1，0y1 时， 当 x1，y1 时，F(x，y)=1 所以，X 和 Y 的联合分布函数F(x，y)= )解析：
