1、考研数学（数学一）模拟试卷 477 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 g(x)可微，f(x)=ln 2 (1+g(x)+21n(1+g(x)，f(1)=1，g(1)= （分数：2.00）A.1B.0C.2D.3.设 （分数：2.00）A.有界，不可积B.可积，有间断点C.连续，有不可导点D.可导4.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，且 f(x)的傅里叶级数为 则 n1 时，a n =_ （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列二元函数在点(
2、0，0)处可微的是 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 是 54 矩阵，r(A)=4，则下列命题中错误的为（分数：2.00）A.AX=0 只有零解B.AA T X=0 有非零解C.对任何 5 维向量 ，AX= 都有解D.对任何 4 维向量 ，A T X= 都有无穷多解7.设 则下列矩阵中与 A 合同但不相似的是 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设事件 A，B，C 是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为 ，则下列结论中一定成立的是（分数：2.00）A.A，B，C 是一个完备事件组B.A，B，C 两两独立C.D.是两两对立事件9.设 XN(0，1)，X 1 ，X 2 ，X 7
3、 是取自 X 的简单随机样本 服从 t(n)分布，则(c，n)为 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 =(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_12.函数 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 L 为曲线x+y=1，则 L xds= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设实对称矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 Emin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00
4、)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足 （分数：2.00）_18.设 xOy 平面第一象限中有曲线 ：y=y(x)，过点 ，y(x)0又 M(x，y)为 上任意一点，满足：弧段 （分数：2.00）_19.设函数 z=z(x，y)由方程 （分数：2.00）_20.()设 f(x)在(0，+)可导，f(x)0(x(0，+)，求证 f(x)在(0，+)单凋上升()求证：在(0，+)单调上升，其中 n 为正数()设数列 （分数：2.00）_21.设 ()求 （分数：2.00）_22.设 4 阶矩阵 A=( 1 ，
5、 2 ， 3 ， 4 )，方程组 Ax= 的通解为(1，2，2，1) T +c(1，一2，4，0) T ，c 任意 记 B=( 3 ， 2 ， 1 ， 一 4 )求方程组 Bx= 1 一 2 的通解（分数：2.00）_23.设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 =E，并且 r(A+E)=kn ()求二次型 x T Ax 的规范形 ()证明 B=E+A+A 2 +A 3 +A 4 是正定矩阵，并求B（分数：2.00）_24.已知(x，y)为一个二维随机变量，X 1 =X+2Y，X 2 =X 一 2Y(X 1 ，X 2 )的概率密度为 f(x 1 ，x 2 ) （分数：2.00）_25.进行
6、独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为 5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：()试验成功率 p 的矩估计值； ()试验失败率 q 的最大似然估计值（分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 477 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 g(x)可微，f(x)=ln 2 (1+g(x)+21n(1+g(x)，f(1)=1，g(1)= （分数：2.00）A.1B.
7、0 C.2D.解析：解析：f(x)=(ln(1+g(x)+1) 2 1= 3.设 （分数：2.00）A.有界，不可积B.可积，有间断点C.连续，有不可导点 D.可导解析：解析：先求出分段函数 f(x)的变限积分当 0x1 时， F(x)= 0 x f(t)dt= 0 x costdt=sinx； 当 1x2 时， F(x)= 0 1 f(t)dt+ 1 x f(t)dt= 0 1 costdt+ 1 x (t-1)dt 易验证 F(x)在0，2上连续 当 x1 时显然 F(x)可导，且 F - (1)=(sinx) x=1 =cosx x=1 =一 ， F + (1)=( 4.设 f(x)是周
8、期为 2 的周期函数，且 f(x)的傅里叶级数为 则 n1 时，a n =_ （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：这是求傅里叶系数的问题若 f(x)以 2l 为周期，按公式 取 l=1，得 a n = -1 1 f(x)cosnxdx= 0 2 f(x)cosnxdx (周期函数积分性质) = 0 1 f(x)cosnxdx+ 1 2 f(x)cosnxdx = 0 1 f(x)cosnxdx 5.下列二元函数在点(0，0)处可微的是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题中的这 4 个函数均有 f(0，0)=0按可微定义，若 f(0，0)=0，则 f(x，y)在点(
9、0，0)处可微，且 f(x，y)=o() (0) B 中的 f(x，y)满足： 6.设 A 是 54 矩阵，r(A)=4，则下列命题中错误的为（分数：2.00）A.AX=0 只有零解B.AA T X=0 有非零解C.对任何 5 维向量 ，AX= 都有解 D.对任何 4 维向量 ，A T X= 都有无穷多解解析：解析：A 对，因为 rA=未知数个数 4B 对，因为 AA T 是 5 阶矩阵，而 r(AA T )5C 错，因为存在 5 维向量 不可用 A 的列向量组表示，使得 AX= 无解D 对，因为 r(A T )=方程个数 4，对任何 4 维向量 ，r(A T )不会大于 47.设 则下列矩阵
10、中与 A 合同但不相似的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：首先可排除 A，因为 rA=2，而 A 矩阵的秩为 1，所以它与 A 不合同两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正，负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同因此应该从计算特征值下手 求出E 一 A=(+3)( 一 3)，A 的特征值为 0，一 3，3 显然 C 中矩阵的特征值也是 0，一 3，3，因此它和 A 相似，可排除。 剩下 BD 两个矩阵中，只要看一个D 中矩阵的特征值容易求出，为 0，一 1，1，因此它和 A 合同而不相似 (也可计算出 B 中矩阵的特征值为 0，1
11、，4，因此它和 A 不合同)8.设事件 A，B，C 是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为 ，则下列结论中一定成立的是（分数：2.00）A.A，B，C 是一个完备事件组B.A，B，C 两两独立C. D.是两两对立事件解析：解析： 而任何事件与概率为 1 的事件都独立，因此应选 C 进一步分析，由于ABC=，若 相容；若9.设 XN(0，1)，X 1 ，X 2 ，X 7 是取自 X 的简单随机样本 服从 t(n)分布，则(c，n)为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 X i N(0，1)且相互独立，故 X 5 2 +X 6 2 +X 7 2 一 2 (3)且相互独立，
12、二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：简单的放大、缩小法不能解决问题，再看 x n 是否是某函数在某区间上的一个积分和 这是 在0，1上的一个积分和(将区间0，1n 等分)因此 11.设 =(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：偏导数实质上是一元函数的导数当 y 任意给定时 就是一阶线性常微分方程12.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设知 F(x)是(一，+)上连续的偶函数，且由 由于 F(0)=0，又 因此，
13、函数 F(x)的值域区间是13.设 L 为曲线x+y=1，则 L xds= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：L 是正方形的边界线，见图， 因 L 关于 x，y 轴对称，被积函数关于 y 与 x 均为偶函数，记 L 1 为 L 的第一象限部分，则 14.设实对称矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a0 或4）解析：解析：A 的正，负惯性指数分别为 2 和 1 的充分必要条件是A0(A 的对角线元素有正数，不可能特征值都负)求出 A=一 a 2 +4a， 得答案15.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0
14、)，则 Emin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 由题设 X，Y 独立，则有 Z=XYN(0，2 2 )，于是 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 xOy 平面第一象限中有曲线 ：y=y(x)，过点 ，y(x)0又 M(x，y)为 上任意一点，满足：弧段 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求出 在点 M(x，y)处的切线方程
15、 Y 一 y(x)=y(x)(X 一 x)， 其中(X，Y)是切线上点的坐标在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上的截距 这是 y(x)满足的积分、微分方程 ()两边对 x 求导，就可转化为二阶微分方程： 又由条件及式中令 x=0 得 y(0) =1 因此得y(x)满足的二阶微分方程的初值问题 问题与是等价的 ()下面求解这是不显含 x 的二阶方程，作变换 p=y，并以 y 为自变量得 )解析：19.设函数 z=z(x，y)由方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()将方程两边求全微分得 ()切平面上点的坐标为(X，Y，Z)，曲面z=z(x，y)上 点(x，y，z)处的切平面方程是 其
16、中 分别是 dz 中 dx 与 dy 的系数，代入得切平面方程 因此切平面在 Z 轴上的截距为 )解析：20.()设 f(x)在(0，+)可导，f(x)0(x(0，+)，求证 f(x)在(0，+)单凋上升()求证：在(0，+)单调上升，其中 n 为正数()设数列 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() f(x 2 )一 f(x 1 )=f()(x 2 一 x 1 )0 = f(x 2 )f(x 1 ) ()用()的结论对 x n 进行适当放大与缩小 )解析：21.设 ()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()可考虑用格林公式求 J 1 曲线 L： 围成区域记为 D 1
17、 .P(x，y)，Q(x，y)当(x，y)(一 l，0)时处处 有连续偏导，(一 1，0)D 1 ，又 于是在 D 1 上可用格林公式得 ()因为 也考虑用格林公式计算 J 2 因为 P，Q 在点(一 1，0)处没定义，所以不能在 C 围成的区域 D 2 上直接用格林公式但可在 D 2 中挖掉以(一 1，0)为圆心，0 充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见图 求解如下： 以(一 1，0)为圆心 0 充分小为半径作圆周 C - (取顺时针方向)，C 与 C 围成的区域记为 D ，在 D 上用格林公式得 其中 C + 取逆时针方向 用“挖洞法”求得(*)式后，可用 C 的方程 (x+1) 2
18、 +y 2 = 2 简化被积表达式，然后用格林公式得 )解析：22.设 4 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，方程组 Ax= 的通解为(1，2，2，1) T +c(1，一2，4，0) T ，c 任意 记 B=( 3 ， 2 ， 1 ， 一 4 )求方程组 Bx= 1 一 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先从 AX= 的通解为(1，2，2，1) T +c(1，一 2，4，0) T 可得到下列讯息： Ax=0 的基础解系包含 1 个解，即 4 一 r(A)=1， 得 r(A)=3即 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3 (1，2，2，1) T 是 Ax= 解
19、，即 1 +2 2 +2 3 + 4 = (1，一 2，4，0) T 是 Ax=0 解，即 1 2 2 +4 3 =0 1 ， 2 ， 3 线性相关，r( 1 ， 2 ， 3 )=2 显然 B(0，一 1，1，0) T = 1 一 2 ，即 (0，一 1，1，0) T 是 Bx= 1 一 2 的一个解 由，B=( 3 ， 2 ， 1 ， 一 4 )=( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )， 于是 r(B)=r( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=2 则 Bx=0 的基础解系包含解的个数为 4 一r(B)=2 个 1 2 2 +4
20、3 =0 说明(4，一 2，1，0) T 是 Bx=0 的解；又从 B=( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 ) 容易得到 B(一 2，一 2，一 1，1) T =0，说明(一 2，一 2，一 1，1) T 也是Bx=0 的解于是(4，一 2， 1，0) T 和(一 2，一 2，一 1，1) T 构成 Bx=0 的基础解系 Bx= 1 一 2 的通解为： (0，一 1，1，0) T +c 1 (4，一 2，1，0) T +c 2 (一 2，一 2，一 1，1) T ，c 1 ，c 2 任意)解析：23.设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 =E，并且 r(A+E)=kn (
21、)求二次型 x T Ax 的规范形 ()证明 B=E+A+A 2 +A 3 +A 4 是正定矩阵，并求B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 2 =E，A 的特征值 应满足 2 =1，即只能是 1 和一 1于是 A+E 的特征值 只能是 2 和 0A+E 也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵 ， 的秩等于 r(A+E)=k于是 A+E 的特征值是 2(后重)和 0(nk 重)，从而 A 的特征值是 1(k 重)和一 1(n 一 k 重)A 的正， 负关系惯性指数分别为 k 和 n 一 k，x T Ax 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 +y k 2 一 y k+1 2 一一 y
22、n 2 B 是实对称矩阵由 A 2 =E，有 B=3E+2A，B 的特征值为 5(k 重)和 1(1 一 k 重)都是正数因此 B 是正定矩阵 B=5 k )解析：24.已知(x，y)为一个二维随机变量，X 1 =X+2Y，X 2 =X 一 2Y(X 1 ，X 2 )的概率密度为 f(x 1 ，x 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()由(X 1 ，X 2 )的联合密度可知 X 1 与 X 2 相互独立，且 X 1 N(4，3)， X 2 N(2，1) 由正态分布的性质可知，X 1 ，X 2 的线性组合仍服从正态分布，而由 X 1 =X+2Y， X 2 =X 一 2Y 得 根
23、据期望和方差的性质有 ()由 X 1 =X+2Y 可知， DX 1 =DX+4DY+4cov(X，Y) 故 由二维正态分布密度函数 )解析：25.进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为 5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：()试验成功率 p 的矩估计值； ()试验失败率 q 的最大似然估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()最大似然函数 L(x 1 ，x 10 ；p)，简记为 L，则 于是试验成功率 p 的最大似然估计值 根据最大似然估计的不变性，其试验失败率 q 的最大似然估计值为 )解析：
