1、考研数学（数学一）模拟试卷 480 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知当 0 时，f()arcsinarctana 与 g()bln(1)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.ab1。B.a1，b2。C.a2，b1。D.ab1。3.设函数 f()在0，1上连续，且 1。f() b n sin，R，其中 b n 2 0 1 f()sinnd，n1，2，3，测 （分数：2.00）A.0B.1C.1D.4.设 f()是连续且单调递增的奇函数，设
2、F() 0 (2u)f(u)du，则 F()是( )（分数：2.00）A.单调递增的奇函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数D.单调递减的偶函数5.已知函数 f(，y)满足 （分数：2.00）A.f(，y)在(0，0)点可微B.f (0，0)2。C.f y (0，0)1D.f (0，0)和 f y (0，0)不一定都存在。6.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同不相似C.相似不合同D.既不相似，也不合同7.设 A，B 均为 3 阶非零矩阵，满足 ABO，其中 B （分数：2.00）A.若 a2，则 r(A)1。B.若 a2，则 r(A)2。C.若 a1，则 r(A)1。D.若 a
3、1，则 r(A)2。8.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2 ， 2 ；)，则随机变量 XY 与 XY 必( )（分数：2.00）A.相互独立且同分布B.相互独立但不同分布C.不相互独立但同分布D.不相互独立也不同分布9.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(，y)，其中 X 服从正态分布 N(0，1)，且 YX，若F(a，b) （分数：2.00）A.ab0。B.a0，b0。C.a0，b0。D.mina，b0。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设有曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_11.设 F() （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(u，v)
4、为二元可微函数，zf( 2y ，3y )，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 yy()由方程 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 为三阶相似矩阵，且2EA0， 1 1， 2 1 为 B 的两个特征值，则行列式A2AB 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 和 Y 均服从二项分布 b(1， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f() （分数：2.00）_18.设 f(u)有连续的二阶导数，且 zf(e siny)满足方程
5、（分数：2.00）_19.设函数 f()在a，b上连续，在(a，b)上二阶可导，且 f(a)0，f(b)0，f (a)0。证明： ()在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()0； ()在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()0。（分数：2.00）_20.在微分方程 （分数：2.00）_21.计算曲面积分 （分数：2.00）_22.设 A(a ij ) mn ，y(y 1 ，y 2 ，y n ) T ，b(b 1 ，b 2 ，b m ) T ，( 1 ， 2 ， m ) T ，证明方程组 Ayb 有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_23.设实二次型 f T A 经过正交变换化为标
6、准形 2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，又设 (1，1，1) T 满足 A * ，求 A。（分数：2.00）_24.设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 服从正态分布 N(， 2 )，Y 在区间，上服从均匀分布，求随机变量 ZXY，的概率分布。(计算结果用标准正态分布 表示，其中 () （分数：2.00）_25.设总体 XU(1，)，参数 1 未知，X 1 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。 ()求 的矩估计量和极大似然估计量； ()求上述两个估计量的数学期望。（分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 480 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总
7、题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知当 0 时，f()arcsinarctana 与 g()bln(1)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.ab1。 B.a1，b2。C.a2，b1。D.ab1。解析：解析：根据等价无穷小的定义， 那么 1a0，3.设函数 f()在0，1上连续，且 1。f() b n sin，R，其中 b n 2 0 1 f()sinnd，n1，2，3，测 （分数：2.00）A.0B.1C.1 D.解析：解析：因为 1，所以可得 f()1，又因为函数连续，则 题目中把 f()展开为正
8、弦级数，可知 f()为奇函数，可将函数 f()奇延拓，得到 T2，4.设 f()是连续且单调递增的奇函数，设 F() 0 (2u)f(u)du，则 F()是( )（分数：2.00）A.单调递增的奇函数B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数D.单调递减的偶函数解析：解析：令 ut，则 F() 0 (2t)f(t)dt，F() 0 (2t)f(t)dt， 令 tu， F() 0 (2u)f(u)du 0 (2u)f(u)du。 因为 f()是奇函数， f()f()，F() 0 (2u)f(u)du， 则有 F()F()为奇函数。 F() 0 f(t)dtf()， 由积分中值定理可得 0 f(t
9、)dtf()， 介于 0 到 之间， F()f()f()f()f()， 因为 f()单调递增，当 0 时，0，f()f()0，所以 F()0，F()单调递减；当 0 时，0，f()f()0，所以 F()0，F()单调递减。所以 F()是单调递减的奇函数。5.已知函数 f(，y)满足 （分数：2.00）A.f(，y)在(0，0)点可微B.f (0，0)2。C.f y (0，0)1D.f (0，0)和 f y (0，0)不一定都存在。 解析：解析：根据多元函数可微的定义， 其中 Af ，Bf y (，y)，那么有 6.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同不相似 C.相似不合同D.既不相似，
10、也不合同解析：解析：因为EA7.设 A，B 均为 3 阶非零矩阵，满足 ABO，其中 B （分数：2.00）A.若 a2，则 r(A)1。 B.若 a2，则 r(A)2。C.若 a1，则 r(A)1。D.若 a1，则 r(A)2。解析：解析：因为 ABO，所以 r(A)r(B)3。当 a2 时，r(B)2，所以 r(A)3r(B)1；另一方面，A 为 3 阶非零矩阵，所以 r(A)1，从而 r(a)1。故选 A。8.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2 ， 2 ；)，则随机变量 XY 与 XY 必( )（分数：2.00）A.相互独立且同分布B.相互独立但不同分布 C.不相互独立但同
11、分布D.不相互独立也不同分布解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2 ， 2 ；)，所以他们的线性组合也是正态分布， XYN(0，2 2 2 2 )，XYN(0，2 2 2 2 )， 故分布不同。 而Cov(XY，XY)0，则 XY，XY 不相关，因为(XY，XY)仍是二维正态 分布，所以不相关与独立等价。9.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(，y)，其中 X 服从正态分布 N(0，1)，且 YX，若F(a，b) （分数：2.00）A.ab0。B.a0，b0。C.a0，b0。D.mina，b0。 解析：解析：由题可得 F(a，b) PXa，Yb Xa，Xb ，
12、从而PXmina，b二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设有曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设切点为( 0 ， )，则过原点的切线方程为 y ，把点( 0 ， )代入切线方程，可得 0 2，y 0 1，因此切线方程为 y ，由切线 y (02)绕 轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为 由曲线 y (12)绕 轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为 所以，所求旋转体表面积为 SS 1 S 2 11.设 F() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：作变量替换12.设 f(u，v)为二元可微函数，zf( 2y ，
13、3y )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2y 2y-1 f 1 3y lnyf 2）解析：解析：由多元复合函数求导法则，有 13.设 yy()由方程 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 ，将 0 代入得 y1，再将所给方程两边对 求导，得 1sin 2 (y).(y1)。 于是 ycsc 2 (y)1。从而 14.设 A，B 为三阶相似矩阵，且2EA0， 1 1， 2 1 为 B 的两个特征值，则行列式A2AB 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由；2EA(1) 3 2E
14、A0，知2EA0，故 2 为 A 的一个特征值。因 AB，故 A，B 有相同特征值，即 1 1， 2 1， 3 2。 且存在可逆矩阵 P，使P -1 BP 。 于是 p -1 (E2B)PE2P -1 BP 从而E2B 15.设随机变量 X 和 Y 均服从二项分布 b(1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：D(X)D(Y) ， 1D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X，Y) 2Cov(X，Y)， 解得三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f() （分数：2.00
15、）_正确答案：(正确答案：I 0 tf(t)dt 0 (u)f(u)(du) 0 f(u)du 0 uf(u)du。 当 时， I 0 sinudu 0 usinudu(cosuucosusinu) 0 sin。 当 时， )解析：18.设 f(u)有连续的二阶导数，且 zf(e siny)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ue siny，则有 f(u)e siny f(u)e 2 sin 2 yf(u)e siny， f(u)e cosy f(u)e 2 cos 2 yf(u)e siny。 故由 )解析：19.设函数 f()在a，b上连续，在(a，b)上二阶可导，且
16、f(a)0，f(b)0，f (a)0。证明： ()在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()0； ()在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f (a) 0 由极限的保号性知，存在 0，当 (a，a)时，0，从而 f()0。 取 C(a，a)，则 f(c)0，于是 f()在c，b上连续。又 f(c)0，f(b)0，由零点定理知，存在 (c，b) (a，b)，使得 f()0。 ()对 f()在a，c，c，b上用拉格朗日中值定理，存在 r(a，c)，s(c，b)使得 再对 f()在r，s上用拉格朗日中值定理，存在 (r，s) (a，b)，使得 f
17、() )解析：20.在微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可化为 这是一阶线性微分方程，由通解公式知 y C 2 。 由曲线 yC 2 与直线 1，2 及 y0 所围成平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积为 V(C) 1 2 (C 2 ) 2 d 令 V(C)( )0，解得C= 。 又 V(C) 0，故 C 是唯一极小值点，也是最小值点。 所以y )解析：21.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，取上侧； 取下侧； 取外侧，则有 令 表示 S 1 ，S 2 在 Oy 面上的投影区域则有 表示 S 3 在 yOz 面的投影区域，则有 )解析：22.设
18、 A(a ij ) mn ，y(y 1 ，y 2 ，y n ) T ，b(b 1 ，b 2 ，b m ) T ，( 1 ， 2 ， m ) T ，证明方程组 Ayb 有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设方程组 Ayb 易有解，则对满足 A T 0 的向量 0 ， b T 0 y T A T 0 y T 00， 从而 ，可见方程组 无解。 充分性：设方程组 无解，则线性方程组的增广矩阵的秩 另一方面， r(A T ，0)1r(A T )1r(A)1， 所以有 r(A)。 又由于 r(A)，可知 r(A)r( )解析：23.设实二次型 f T A 经过正
19、交变换化为标准形 2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，又设 (1，1，1) T 满足 A * ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f T A 经过正交变换化为标准形 2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，可知 A 的特征值为 2，1，1。又由于 A * ，等式两边同时左乘 A 可得AA，其中A2，可知 即为矩阵 A 属于特征值 2 的特征向量。 由于 A 为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知特征值1 的特征向量满足 1 2 3 0，解得基础解系为 1 (1，1，0)， 2 (1，0，1)。 可知 ， 即为属于特征值1 的两个线性无关的特征向量。 令 P(
20、， 1 ， 2 ) 则有 P -1 AP 所以 A )解析：24.设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 服从正态分布 N(， 2 )，Y 在区间，上服从均匀分布，求随机变量 ZXY，的概率分布。(计算结果用标准正态分布 表示，其中 () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 和 Y 的概率密度分别为 由于 X 和 Y 相互独立，根据卷积公式，可得ZXY 的概率密度 令 t ，则 dydt， 当 y 时，t ； 当 y 时，t ， 因此 f z (z) )解析：25.设总体 XU(1，)，参数 1 未知，X 1 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。 ()求 的矩估计量和极大似然估计量； ()求上述两个估计量的数学期望。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 XU(1，)，其概率密度为 ()由 E(X) ，解得2 1，故 的矩估计量为 1； 似然函数 L()递减，又 X 1 ，X n (1，)，故 的极大似然估计量为 maxX 1 ，X n 。 () 而 maxX 1 ，X n 的分布函数 )解析：
