1、考研数学（数学一）模拟试卷 480 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知当 0 时，f()arcsinarctana 与 g()b ln(1 )是等价无穷小，则( )（A）ab 1。（B） a1，b2。（C） a2，b1。（D）ab1。2 设函数 f()在0 ，1上连续，且 1。f() bnsin， R，其中 bn2 01f()sinnd，n 1，2，3，测 ( )（A）0（B） 1（C） 1（D）3 设 f()是连续且单调递增的奇函数，设 F() 0(2u)f(u)du，则 F()是( )（A）单调递增的奇函数（B）单调递减的奇函数（C）单调递增
2、的偶函数（D）单调递减的偶函数4 已知函数 f(，y)满足 0，则下列结论中不正确的是( )（A）f(，y)在(0 ，0)点可微（B） f(0，0)2。（C） fy(0，0) 1（D）f (0，0)和 fy(0，0)不一定都存在。5 设 ，则矩阵 A 和 B( )（A）合同且相似（B）合同不相似（C）相似不合同（D）既不相似，也不合同6 设 A，B 均为 3 阶非零矩阵，满足 ABO，其中 B ，则( )（A）若 a 2，则 r(A)1。（B）若 a2，则 r(A)2。（C）若 a1，则 r(A)1。（D）若 a1，则 r(A)2。7 已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2， 2；)
3、 ，则随机变量 XY 与 XY必( )（A）相互独立且同分布（B）相互独立但不同分布（C）不相互独立但同分布（D）不相互独立也不同分布8 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(，y)，其中 X 服从正态分布N(0，1)，且 YX，若 F(a，b) ，则( )（A）ab 0。（B） a0，b0。（C） a0，b0。（D）mina，b0。二、填空题9 设有曲线 y ，过原点作其切线，则以曲线、切线及 轴所围成平面图形绕 轴旋转一周所得到的表面积为_。10 设 F() (0)，则 F()_。11 设 f(u，v)为二元可微函数，z f( 2y，3y )，则 _。12 设 yy()由方程 确定
4、，则 _。13 设 A，B 为三阶相似矩阵，且2EA0， 11， 21 为 B 的两个特征值，则行列式A2AB_。14 设随机变量 X 和 Y 均服从二项分布 b(1， )，且 D(XY)1，则 X 和 Y 的相关系数 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f() 求，I 0tf(t)dt。16 设 f(u)有连续的二阶导数，且 zf(e siny)满足方程 e 2z，求 f(u)。17 设函数 f()在a，b上连续，在(a ，b)上二阶可导，且 f(a)0，f(b)0，f (a)0。证明： () 在(a ，b)内至少存在一点 ，使得 f()0； ()在(a ，b)内
5、至少存在一点 ，使得 f()0。18 在微分方程 2y 的一切解中求一个解 yy()，使得曲线 yy()与直线1，2 及 y0 所围成的平面图形绕 y0 旋转一周的旋转体体积最小。19 计算曲面积分 ，其中 S 是曲面 2y 2R 2 及两平面zR，z R(R 0) 所围成立体表面的外侧。20 设 A(a ij)mn，y(y 1，y 2，y n)T，b(b 1，b 2，b m)T， (1， 2， m)T，证明方程组 Ayb 有解的充分必要条件是方程组无解(其中 0 是 n1 矩阵) 。21 设实二次型 f TA 经过正交变换化为标准形 2y12y 22y 32，又设(1，1，1) T 满足 A
6、*，求 A。22 设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 服从正态分布 N(， 2)，Y 在区间，上服从均匀分布，求随机变量 ZXY，的概率分布。(计算结果用标准正态分布 表示，其中 ()23 设总体 XU(1，) ，参数 1 未知，X 1，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。 ( )求 的矩估计量和极大似然估计量； ()求上述两个估计量的数学期望。考研数学（数学一）模拟试卷 480 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据等价无穷小的定义，那么 1a0， ，则有 a1，b1。故选 A。2 【正确答案】 C【试题解析】 因
7、为 1，所以可得 f()1，又因为函数连续，则题目中把 f()展开为正弦级数，可知 f()为奇函数，可将函数 f()奇延拓，得到 T2，3 【正确答案】 B【试题解析】 令 u t，则 F() 0(2t)f(t)dt，F( ) 0 (2t)f(t)dt， 令 t u， F() 0(2u)f(u)du 0( 2u)f(u)du。 因为 f()是奇函数，f()f( )，F() 0(2u)f(u)du ， 则有 F()F()为奇函数。 F() 0f(t)dtf()， 由积分中值定理可得 0f(t)dtf() ， 介于 0 到 之间， F()f()f()f()f() ， 因为 f()单调递增，当 0
8、时， 0，f() f()0，所以 F()0，F()单调递减；当 0 时， ，0，f() f()0，所以F() 0，F()单调递减。所以 F()是单调递减的奇函数。4 【正确答案】 D【试题解析】 根据多元函数可微的定义， 其中Af ， Bf y(，y) ，那么有通过观察 f(，y)在(0，0)点可微， f(0，0)2，f y(0，0) 1，故选择 D。5 【正确答案】 B【试题解析】 因为E A (1)(4)， 所以A 的特征值为 0，1，4。 两个实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同：两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正负特征值的个数相同。故选 B。6 【正确答案】 A【试题解析】 因为
9、 ABO，所以 r(A)r(B)3 。当 a2 时，r(B)2，所以 r(A)3r(B)1；另一方面，A 为 3 阶非零矩阵，所以 r(A)1，从而 r(a)1。故选A。7 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2， 2；)，所以他们的线性组合也是正态分布， XYN(0，2 22 2)，X Y N(0，2 22 2)， 故分布不同。 而 Cov(XY，XY)0，则 XY，XY 不相关，因为(X Y，XY) 仍是二维正态 分布，所以不相关与独立等价。8 【正确答案】 D【试题解析】 由题可得 F(a，b) PXa，Yb Xa，Xb ， 从而 PXmina，b
10、 ，即 mina，b 0。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 设切点为( 0， )，则过原点的切线方程为 y ，把点( 0， )代入切线方程，可得 02，y 01，因此切线方程为 y ，由切线 y (02)绕 轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为由曲线y (12)绕 轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为所以，所求旋转体表面积为 S S1S 210 【正确答案】 【试题解析】 作变量替换11 【正确答案】 2y 2y-1f13y lnyf2【试题解析】 由多元复合函数求导法则，有2y 2y-1f13y zlnyf2。12 【正确答案】 2【试题解析】 由 ，将 0 代入得 y1，再将所给方程两边对
11、 求导，得 1sin 2 (y).(y1)。 于是 ycsc 2 (y)1。从而将 0，y1 代入得 y 0 3，y 0 2。13 【正确答案】 18【试题解析】 由；2EA(1) 32EA0，知2EA0，故2 为 A 的一个特征值。因 AB，故 A，B 有相同特征值，即11， 21， 32。 且存在可逆矩阵 P，使 P-1BP 。 于是 p-1(E2B)PE2P -1BP 从而E 2B 9，A 1232。 故A2ABA(E2B)AE2B29 18。14 【正确答案】 1【试题解析】 D(X)D(Y) ， 1D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X，Y) 2Cov(X，Y) ， 解得三、解答题解
12、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 I 0tf(t)dt 0(u)f(u)(du) 0f(u)du 0uf(u)du。 当 时， I 0sinudu 0usinudu(cosuucosusinu) 0 sin。 当 时，16 【正确答案】 令 ue siny，则有 f(u)e siny f(u)e2sin2yf(u)e siny， f(u)e cosy f(u)e 2cos2yf(u)esiny。 故由 f(u)e 2，可得 f(u)e 2f(u)e 2，即 f(u)f(u)0。 此二阶常系数方程的特征方程是 210，特征根 1，故 f(u)C 1euC 2e-u，其中
13、C1，C 2 为任意常数。17 【正确答案】 ()f (a) 0 由极限的保号性知，存在 0，当 (a，a ) 时， 0，从而 f()0。 取 C(a，a)，则 f(c)0，于是 f()在c，b上连续。又 f(c)0，f(b) 0，由零点定理知，存在(c， b) (a，b) ，使得 f()0。 ()对 f()在a， c，c，b上用拉格朗日中值定理，存在 r(a，c)，s (c，b)使得再对f()在r，s上用拉格朗日中值定理，存在 (r，s) (a，b)，使得 f() 0。18 【正确答案】 原方程可化为 这是一阶线性微分方程，由通解公式知 y C 2。 由曲线yC 2 与直线 1，2 及 y0
14、 所围成平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积为 V(C) 12(C 2)2d 令 V(C)( )0，解得 C= 。 又 V(C) 0，故 C 是唯一极小值点，也是最小值点。 所以 y 219 【正确答案】 令 ，取上侧； 取下侧；取外侧，则有令表示 S1，S 2 在 Oy 面上的投影区域则有表示S3 在 yOz 面的投影区域，则有20 【正确答案】 必要性：设方程组 Ayb 易有解，则对满足 AT0 的向量 0， bT0 yTAT0y T00， 从而 ，可见方程组 无解。 充分性：设方程组 无解，则线性方程组的增广矩阵的秩另一方面， r(AT，0) 1r(A T)1r(A)1， 所以有 r(A)
15、。 又由于 r(A)，可知 r(A)r( )，从而方程组 Ayb 有解。21 【正确答案】 由于 f TA 经过正交变换化为标准形 2y12y 22y 32，可知 A 的特征值为 2，1，1。又由于 A*，等式两边同时左乘 A 可得A A，其中A2，可知 即为矩阵 A 属于特征值 2 的特征向量。 由于 A 为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知特征值1 的特征向量满足1 2 30，解得基础解系为 1(1，1，0)， 2(1，0，1)。 可知 ， 即为属于特征值1 的两个线性无关的特征向量。 令 P(， 1， 2)则有 P-1AP 所以 A22 【正确答案】 X 和 Y 的概率密度分别为由于 X 和 Y 相互独立，根据卷积公式，可得 ZXY 的概率密度令t ，则 dydt， 当 y 时，t ； 当 y 时，t， 因此 fz(z)23 【正确答案】 总体 XU(1，)，其概率密度为()由 E(X) ，解得 2 1，故 的矩估计量为 1； 似然函数L()递减，又X1，X n(1，)，故 的极大似然估计量为 maxX 1，X n。 ()而 maxX 1，X n的分布函数
