1、考研数学（数学一）模拟试卷 483 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 f()在 0 处二阶可导，且 f(0)f(0)2，则 （分数：2.00）A.B.C.D.13.曲线 y （分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 u n 收敛，则 B.若 1，则 C.若 u n 收敛。则 D.若 u n 绝对收敛，则 5.设 M (y) 3 ddy，N sin(y)ddy，P （分数：2.00）A.MNP
2、B.NMPC.MNPD.MPN6.三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系不可能是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 为 4 维列向量，下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当尼 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0 时，k 1 1 k 2 2 k 3 3 k 4 4 0。B.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当 k 1 1 k 2 2 k 3 3 k 4 4 0 时，k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0。C.若 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4
3、线性表出，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 5 不能 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出。8.设 A，B 为随机事件，且 0P(A)1，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)P(AB)，则 AB.若 P(AB)P(AB)，则 AB。C.若 P(AB)P(D.若 P(AB)P(9.设总体 X 的概率密度为 f() ，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X 的简单随机样本，统计量 T （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.函数 yf()由参数方程 所确定，则 （分数：2.00
4、）填空项 1:_11. 2 0 （分数：2.00）填空项 1:_12.以 C 1 e C 2 e C 3 ，为通解的常系数齐次线性微分方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.曲面片 z 2 2 y 2 (0z1)的形心坐标为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(X 2 e X ) 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任意一点
5、 P(，y)处的切线交 轴于点 T，O 为坐标原点，若PTOT。试求曲线 L 的方程。（分数：2.00）_18.求函数 f(，y)y （分数：2.00）_19.设 f()在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)f(1)0，若 f()在0，1上的最大值为M0 设 n1，证明： ()存在 c(0，1)，使得 f(c) ； ()存在互不相同的 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_20.设对任意分片光滑的有向闭合曲面片 S，均有 （分数：2.00）_21.设有幂级数 （分数：2.00）_22.已知两个向量组 1 (1，2，3) T ， 2 (1，0，1) T 与 1 (1，2，t) T ，
6、 2 (4，1，5) T 。 ()t 为何值时， 1 ， 2 与 1 ， 2 等价； ()当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。（分数：2.00）_23.设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1 (1，1，1) T ， 2 (2，1，0) T 是齐次线性方程组A0 的基础解系，且矩阵 A6E 不可逆则 ()求齐次线性方程组(A6E)0 的通解： ()求正交变换 Qy 将二次型 T A 化为标准形； ()求(A3E) 100 。（分数：2.00）_24.设随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(，y) （分数：2.00）_25.设总体 X 的密度函数为 f(；) ，其中 (0)是未知参数
7、，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的一个简单随机样本。 ()利用原点矩求 的矩估计量 ； ()求 的极大似然估计量 ，并问 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 483 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 f()在 0 处二阶可导，且 f(0)f(0)2，则 （分数：2.00）A.B.C. D.1解析：解析：根据反函数求导法则3.曲线 y （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：因为 ，所以 0 是一
8、条垂直渐近线； 因为 ，所以不存在水平渐近线；则 y1 是一条斜渐近线； 又因为4.下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 u n 收敛，则 B.若 1，则 C.若 u n 收敛。则 D.若 u n 绝对收敛，则 解析：解析：选项 D，若 u n 绝对收敛，则 u n 收敛，因此可得 u n 0，而 u n 2 是 u n 的高阶无穷小，根据正项级数判别法，低阶收敛能推出高阶收敛，因此 u n 2 收敛，故选择D。 选项 A 若 u n ，那么级数 u n 收敛，但是 是发散的，所以 A 选项错误。 选项B 由于没有说明 u n 是正项级数，因此不能根据 1 推出 u n 收敛，所以
9、 B 选项错误。 选项 C 令 u n 根据交错级数收敛的判别法可知 u n 收敛，但是 5.设 M (y) 3 ddy，N sin(y)ddy，P （分数：2.00）A.MNPB.NMPC.MNP D.MPN解析：解析：M (y) 3 ddy ( 3 3 2 y3y 2 y 3 )ddy，因为积分区域 D 关于 轴和 y 轴都对称， 3 、3y 2 是关于 的奇函数，3 2 y、y 3 是关于 y 的奇函数，所以根据对称件可得 M0。 N sin(y)ddy (sincosysinycos)ddy， 因为积分区域 D 关于 轴和 y 轴都对称，sincosy 是关于 的奇函数，sincosy
10、 是关于 y 的奇函数，所以根据对称性可得 N0。 P 6.三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系不可能是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 为 4 维列向量，下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当尼 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0 时，k 1 1 k 2 2 k 3 3 k 4 4 0。B.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当 k 1 1 k 2 2 k 3 3 k 4 4 0 时，k 1 ，k 2 ，k
11、3 ，k 4 不全为 0。C.若 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。 D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 5 不能 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出。解析：解析：C 选项，反证法。假设 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，因为 1 ， 2 ， 3 ， 3 ， 5 必线性相关(5 个 4 维列向量必线性相关)，则 5 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，矛盾。从而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。8.设 A，B 为随机事件，且 0P(A)1，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)P(A
12、B)，则 AB.若 P(AB)P(AB)，则 AB。C.若 P(AB)P(D.若 P(AB)P( 解析：解析：因为两个事件发生的概率相等并不意味着两事件相等，所以选项 A、B、C 不一定成立，而9.设总体 X 的概率密度为 f() ，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X 的简单随机样本，统计量 T （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由期望的定义和性质可得，二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.函数 yf()由参数方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 当 0 可得 t0，则 f(0)1，故极限11. 2 0 （分数：
13、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由积分的性质 f( 2 0 sin 3 tdt)cos 2 d 3 cos 2 (cos 2 0 sin 3 tdt)d， 因为 3 cos 2 是奇函数，积分为零，可进一步化为 (cos 2 0 sin 3 tdt)d 对于积分 0 sin 3 tdt，由于 sin 3 t 为奇函数，则 0 sin 3 tdt 为偶函数，则 cos 2 0 sin 3 tdt 是 奇函数，所以 (cos 2 0 sin 3 tdt)d0， 那么 ( 2 0 12.以 C 1 e C 2 e C 3 ，为通解的常系数齐次线性微分方程为 1。（分数
14、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yy0）解析：解析：Cl 1 e C 2 e C 3 为齐次线性微分方程的通解，所以可以得到特征根为r1，r1，r0，特征方程为(r1)(r1)r0，则微分方程为 yy0。13.曲面片 z 2 2 y 2 (0z1)的形心坐标为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0， ）解析：解析：形心公式 ，其中表示曲面片 z 2 2 y 2 (0z1)。由于关于 yoz 平面是对称的，而被积函数 为奇函数，所以 0。同理关于 oz 是对称的，被积函数 y 为奇函数，所以 所以曲面片 z 2 2 y 2 (0z1)的形心坐标为
15、(0，0， 14.设矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 ABAC 可得 A(BC)0，则齐次线性方程组 A0 有非零解，所以 r(A)2：另一方面，因为 A * O。所以 r(A)2，从而 r(A)2，所以 a2。15.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(X 2 e X ) 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由期望的定义得三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任意一
16、点 P(，y)处的切线交 轴于点 T，O 为坐标原点，若PTOT。试求曲线 L 的方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线方程为 yy()，则 y(1)1，过点 P(，y)处的切线方程为 Yyy(X)， 则切线与 轴的交点为 T( ，0)。根据PTOT，有 上式两边同时平方，整理可得 y( 2 y 2 )2y，该一阶微分方程为齐次方程，令 u ，可得 ，两边取积分得 解得 u ，将初始条件 y(1)1 代入，可得 C )解析：18.求函数 f(，y)y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 2 所示。 (1)边界 L 1 y0(02)，此时 f(，0) ，函数
17、在此边界的最大值为 f(0，0)0，最小值为 f(2，0) 。 边界 L 2 ：0(0y4)，则 f(0，y)y，函数在此边界的最大值为 f(0，0)0，最小值为 f(0，4)4。 边界 L 3 ：y4 2 (0)，则 f(，y)y y(4 2 ) (4 2 )， 令 f()3 2 2 0， 解得 (舍去)， ，又 f()62，f( )0， 故该函数在此边界的最大值为 (2)区域 D 内部，f(，y)y y，则 解得 1，y )解析：19.设 f()在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)f(1)0，若 f()在0，1上的最大值为M0 设 n1，证明： ()存在 c(0，1)，使得 f
18、(c) ； ()存在互不相同的 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据已知条件，存在 a(0，1，使得 f(a)M。令 F()f() ， 显然 F()在0，1上连续，又因为 f(0)0，n1，故 由零点定理可知，至少存在一点 c(0，a)，使得 F(c)f(c) 0，即 f(c) 。 ()在0，c，c，1上分别使用拉格朗日中值定理。已知 f()在0，1上连续，在 f(1)f(c)(1c)f() (2) 由(1).f()(2).f()，结合 f(0)f(1)0 可得， f()f()f(c)f()f()， 再由结论 f(c)可知， f()f() f()f()， 即
19、)解析：20.设对任意分片光滑的有向闭合曲面片 S，均有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 p(，y)(y1)f()，Q(，y)(yy 2 )f()，R(，y)zyf()2ze ， 由于 f()在(，)内具有连续的二阶导数，故 p(，y)，Q(，y)，R(，y)均具有一阶连续偏导，故由高斯公式可知， (y1)f()dydz(yy 2 )f()dzdzyf()2ze ddy )解析：21.设有幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 2，故收敛半径为 r ，则收敛区间为 由于 均收敛，则 收敛； 由于 均收敛，则 收敛。故收敛域为 。 ()令 f() ，则其导函数为 则
20、 2S 2 () 逐项求导可得 两边同时积分，2S 2 ()2ln(12)C。 将 0 代入，可得 C0，故 )解析：22.已知两个向量组 1 (1，2，3) T ， 2 (1，0，1) T 与 1 (1，2，t) T ， 2 (4，1，5) T 。 ()t 为何值时， 1 ， 2 与 1 ， 2 等价； ()当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对向量组 1 ， 2 和 1 ， 2 所构成的矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )进行初等行变换化为阶梯型矩阵。 因为 1 ， 2 与 1 ， 2 等价，所以，r( 1 ， 2 )r( 1
21、 ， 2 )，所以 t1。 ()对矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )进行初等行变换化为行最简形， 所以 1 1 2 2 ， 2 。 对矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )进行初等行变换化为行最简形， )解析：23.设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1 (1，1，1) T ， 2 (2，1，0) T 是齐次线性方程组A0 的基础解系，且矩阵 A6E 不可逆则 ()求齐次线性方程组(A6E)0 的通解： ()求正交变换 Qy 将二次型 T A 化为标准形； ()求(A3E) 100 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为矩阵 A6E 不可逆，所以 6 是矩阵 A 的一个特征值；另
22、一方面，因为 1 ， 2 是齐次线性方程组 A0 的基础解系，所以 0 是矩阵 A 的二重特征值，所以 A 的特征值为 0，0，6。 齐次线性方程组(A6E)0 的通解是矩阵 A 的属于特征值 6 的特征向量。因为A 为 3 阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。 设 3 ( 1 ， 2 ， 3 ) T 是矩阵 A 的属于特征值 6 的一个特征向量，则 ( 1 ， 3 )0，( 2 ， 3 )0， 解得 3 (1，2，1) T ，所以齐次线性方程组(A6E)0 的通解为 k 3 ，k 为任意常数。 ()下面将向量组 1 ， 2 ， 3 正交化。令 1 1 ， 2 2 1 (1，0，1
23、) T ， 3 3 下面将向量组 1 ， 2 ， 3 ，单位化。令 则二次型 T A 在正交变换Qy 下的标准型为 6y 3 2 。 )解析：24.设随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据分布函数的定义 )解析：25.设总体 X 的密度函数为 f(；) ，其中 (0)是未知参数，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的一个简单随机样本。 ()利用原点矩求 的矩估计量 ； ()求 的极大似然估计量 ，并问 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据已知条件 则 ，所以 的矩估计量 ()设样本X 1 ，X n 的取值为 1 ， n ，则对应的似然函数为 取对数得 关于 求导得 令 0，得 0 的极大似然估计量 ，因为 所以 ，即 )解析：
