1、考研数学（数学一）模拟试卷 484 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.0 时，下列无穷小量阶数最高的是( )（分数：2.00）A.B.3 3 4 4 5 5C.cosD.3.已知 f()的导函数图像如图 1 所示，则 f()在(0，)上( ) （分数：2.00）A.有 3 个驻点，3 个极值点，3 个拐点。B.有 2 个驻点，2 个极值点，2 个拐点。C.有 3 个驻点，2 个极值点，3 个拐点。D.有 3 个驻点，2 个极值点，1 个拐点。4.设幂
2、级数 a n (1) n 在 1 处条件收敛，则 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性无法判断5.函数 f() （分数：2.00）A.不连续但偏导数存在B.偏导数不存在但连续C.可微但偏导数不连续D.偏导数连续6.设 A 为 4 阶矩阵，A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 A0 的基础解系为(1，2，3，0) T ，则下列说法中错误的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关。B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。C. 1 ， 2 ， 4 线性无关。D. 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出。7.已知 (1，3，2) T ，(0，1，2
3、) T ，设矩阵 A T E，则矩阵 A 最大特征值的特征向量是( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.已知 X 的分布函数为 F()，概率密度为 f()，a 为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是( )（分数：2.00）A.f(a)B.f()C.af(a)D.2f()F()9.已知随机变量 X，Y 均服从正态分布 N(， 2 )，且 Pmax(X，Y)a(o01)，则 Pmin(X，Y)( )（分数：2.00）A.B.1C.aD.1a二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f()为可导的偶函数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知凹曲线 yf()在
4、曲线上任意一点(，f()处的曲率为 K （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 zz(，y)具有二阶连续的偏导数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_13.设曲线 L 为从点 A(1，0)到 B(0，1)再到 C(1，0)的折线，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 均为三阶矩阵将 A 的第一行加到第二行得到 A 1 将 B 的第二列和第三列交换得到 B 1 ，若 A 1 B 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(1，2； 2 ， 2 ；0)，则 PXY22XY 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：1
5、0，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求 I （分数：2.00）_18.设对 0 的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面都有 f()dydyf()dzdze 2 ddy0， 其中函数 f()在(0，)内具有连续一阶导数，且 （分数：2.00）_19.计算曲线积分 I （分数：2.00）_20.将函数 f()2(11)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 （分数：2.00）_21.设函数 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导且 f(a)f(b)，试证明存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_22.线性方程组 （分数：2.
6、00）_23.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )a 1 2 2 2 2 2 3 2 2b 1 3 (b0)，其中二次型的矩阵 A 的特征值的和为 1，特征值的乘积为12。 ()求 a，b 的值； ()利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。（分数：2.00）_24.设二维随机变量(X，Y)在区域 D 上均匀分布，其中 D(，y)y1。又设UXY，VXY，试求： ()U 和 V，的概率密度 f U (u)与 f v (v)； ()U 和 V 的协方差 Cov(U，V)和相关系数 UV 。（分数：2.00）_25.设总体 X 服从0，上的均匀分布，X 1 ，X 2
7、 ，X 3 ，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，试求： ()未知参数 的最大似然估计量 ； () （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 484 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.0 时，下列无穷小量阶数最高的是( )（分数：2.00）A.B.3 3 4 4 5 5C.cosD. 解析：解析：选项 A， 选项 B，3 3 4 4 5 5 3 3 o( 3 )，可知 3 3 4 4 5 5 3 3 。 选项 C， cos 11co
8、s，其中 1 2 ，1cos 2 ，可知 可知 选项 D，假设 和 n 同阶，计算极限 3.已知 f()的导函数图像如图 1 所示，则 f()在(0，)上( ) （分数：2.00）A.有 3 个驻点，3 个极值点，3 个拐点。B.有 2 个驻点，2 个极值点，2 个拐点。C.有 3 个驻点，2 个极值点，3 个拐点。 D.有 3 个驻点，2 个极值点，1 个拐点。解析：解析：驻点为导数等于 0 的点，即导函数图像与横坐标的交点，共 3 个；极值点为该点两端导数符号不一致的点，图中有 2 个；拐点即为导函数的极值点，根据图像可知有 3 个点。故选择 C。4.设幂级数 a n (1) n 在 1
9、处条件收敛，则 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.收敛性无法判断解析：解析：因为级数 a n (1) n 在 1 处条件收敛，则其收敛半径为 R2，所以 na n (1) n 的收敛区间为(3，1)，而 15 不在收敛区间内，所以 5.函数 f() （分数：2.00）A.不连续但偏导数存在B.偏导数不存在但连续C.可微但偏导数不连续 D.偏导数连续解析：解析：连续性： 所以函数 f(，y)在(0，0)点连续。 偏导数： 所以函数 f(，y)在(0，0)处对 的偏导数存在。同理可验证函数 f(，y)在(0，0)处对 y 的偏导数存在。所以函数f(，y)在(0，0)处的偏导数
10、存在。 全微分： 所以函数 f(，y)在(0，0)处可微。偏导数连续性：令 yk，6.设 A 为 4 阶矩阵，A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 A0 的基础解系为(1，2，3，0) T ，则下列说法中错误的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关。B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 C. 1 ， 2 ， 4 线性无关。D. 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出。解析：解析：A0 的基础解系为(1，2，3，0) T ，可知 r(A)3 且 1 2 2 3 3 0，则 1 ， 2 ， 3 ，线性相关，所以 A 正确。 因为 r(A)3 且 1 ， 2 ，
11、3 线性相关，若 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )r( 1 ， 2 ， 3 )3， 所以该选项错误，答案为 B。 由于 3 7.已知 (1，3，2) T ，(0，1，2) T ，设矩阵 A T E，则矩阵 A 最大特征值的特征向量是( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由题设可知 r( T )1，所以 T 的特征值为 0，0， T ，即 0，0，1，所以 A的特征值为1，1，0。 A 属于 0 的特征向量等于 T 属于 1 的特征向量，因为 T ( T )，所以答案为 A。8.已知 X 的分布函数为 F()，概率密度为 f()，a
12、 为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是( )（分数：2.00）A.f(a)B.f()C.af(a) D.2f()F()解析：解析：由题设可知 f()为概率密度函数，故 f()0， f()d1。F()为分布函数，故 F()0，从而 f(a)，f()，2f()F()大于等于 0，并且寄易验证它们积分等于 1，而 af(a)在 a0 时小于 0，故不一定为概率密度函数。9.已知随机变量 X，Y 均服从正态分布 N(， 2 )，且 Pmax(X，Y)a(o01)，则 Pmin(X，Y)( )（分数：2.00）A.B.1C.a D.1a解析：解析：由题设可知 Pmax(X，Y)1Pma
13、x(X，Y)1PX，Y， 而Pmin(X，Y)PX 或 Y PXPYPX，Y 1PX，Y。从而 Pmin(X，Y)Pmax(X，Y)a。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f()为可导的偶函数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y4(1)）解析：解析：因为 2，所以 f(cos)0，即 f(cos)f(1)0。 因为 f()为偶函数，可得 f(1)0。根据 2 可得11.已知凹曲线 yf()在曲线上任意一点(，f()处的曲率为 K （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据曲率公式 因为函数 yf()为凹曲线，可得
14、f()0，则有微分方程 令 f()p，则 解微分方程可得 f() 12.设函数 zz(，y)具有二阶连续的偏导数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 y，对 积分可得 yC(y) 令 0 可得 C(y)，又因为 z(0，y)y 2 ，对 y 求导 2y，可得 C(y)2y， 那么 y2y 再对 y 积分可得 z(z，y) y 2 C()， 令 y0 可得 z(，0)0C()，则 z(，y) 13.设曲线 L 为从点 A(1，0)到 B(0，1)再到 C(1，0)的折线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：从
15、点 A(1，0)到 B(0，1)的曲线为 L 1 ：y1，点 B(0，1)到 C(1，0)的曲线为 L 2 ：y1，(如图 1 所示)根据积分曲线的可加性可得 先求 L 1 ：y1，将其代入积分中可得 再求 L 2 ：y1，将其代入积分中可得 14.设 A，B 均为三阶矩阵将 A 的第一行加到第二行得到 A 1 将 B 的第二列和第三列交换得到 B 1 ，若 A 1 B 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知，A 1 E 12 (1)A，B 1 BE 23 ，所以 A 1 B 1 E 12 (1)ABE 23 ，从而 ABE 12 1 (1)A
16、i B 1 E 23 1 E 12 (1)A 1 B 1 E 23 15.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(1，2； 2 ， 2 ；0)，则 PXY22XY 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题可得 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )，从而 PXY22XYPX(Y2)y2 PX1，Y2PX1，Y2， 因为 0，所以 X，Y 相互独立，因此 上式PX1PY2PX1PY2 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求 I （分数：2.00）_正确答案：(
17、正确答案： )解析：18.设对 0 的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面都有 f()dydyf()dzdze 2 ddy0， 其中函数 f()在(0，)内具有连续一阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知条件，结合高斯公式，有 0 f()dydzyf()dzdze 2 ddy， (f()f()f() 2 )dV， 其中 是由围成的有界封闭区域，由的任意性可知 f()f()f()e 2 0(0)， 即 f() e 2 (0)。所以 (e 2 Ce )0，即 C10，C1。 故 f() )解析：19.计算曲线积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：添加一条边 BA，
18、则 I (y)cosyd(y)sindy (y)cosyd(y)sindy。 曲线与直线 AB 所围成的区域记为 D，由格林公式可得 由于 D 的面积为 2，可知 ddy2。 直线 AB 的方程为 y 1，则 )解析：20.将函数 f()2(11)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题中所给函数为偶函数，因此 b n 0，n1，2， a 0 2 0 1 (2)d5， a2 0 1 (2)cosnd ，n1，2，。 由狄利克雷收敛定理可知 令 0，则 2 则 )解析：21.设函数 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导且 f(a)f(b)，
19、试证明存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设条件并由拉格朗日中值定理知，存在一点 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()(ba)。 令 g() 2 ，g()在(，)上连续且可导，则由柯西中值定理知，存在(a，b)，使得 所以 f(b)f(a) (b 2 a 2 )， 则 f()(ba) (b 2 a 2 )， 即 )解析：22.线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为线性方程组()()有公共的非零解，所以它们的联立方程组()有非零解，即()系数矩阵 A 的秩小于 4。对矩阵 A 进行初等行变换，得 所以 a2，b3。 且 r(A)3。 此
20、时可解方程组 )解析：23.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )a 1 2 2 2 2 2 3 2 2b 1 3 (b0)，其中二次型的矩阵 A 的特征值的和为 1，特征值的乘积为12。 ()求 a，b 的值； ()利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型 f 对应的矩阵为 A 设 A 的特征值 1 ， 2 ， 3 满足题中所给条件，则 1 2 3 a221， 1 2 3 A4a2b 2 12。 解得 a1，b2，已知 b0，因此 a1，b2。 ()由矩阵 A 的特征多项式 EA (2)( 2 6) (2) 2
21、 (3)。 解得 A 的三个特征值分别为 2，2，3。 由(2EA) 可求得属于特征值 2 的特征向量有两个，分别为 1 (0，1，0) T ， 2 (2，0，1) T 。 由(3EA) 可求得属于特征值3 的特征向量为 3 (1，0，2) T 。 由于 A 的三个特征向量已经两两正交，因此只需要单位化，即 可得正交矩阵 Q( 1 ， 2 ， 3 ) 令 XQy则有 f T Ay T Q T AQy )解析：24.设二维随机变量(X，Y)在区域 D 上均匀分布，其中 D(，y)y1。又设UXY，VXY，试求： ()U 和 V，的概率密度 f U (u)与 f v (v)； ()U 和 V 的协
22、方差 Cov(U，V)和相关系数 UV 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 实际上是以(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)为顶点的正方形区域，D 的面积为 2，(X，Y)的联合概率密度为 f(，y) 已知 f(，y)就可以求 f U (u)与 f V (v)，可利用 f(，y)的对称性。 ()UXY，F U (u)PUuPXYu f(，y)ddy。 当 u1 时，F U (u)0； 当1u1 时，F U (u) 当 u1 时，F U (u)1。 即UU1，1。 VXY，F V (v)PVvPXYv f(，y)ddy。 当 v1 时，F V (v)0； 当1v1 时，
23、F V (v) 当 v1 时，F V (v)1。 即 VU1，1。 ()Coy(U，V)E(UV)E(U)E(V)，显然 E(U)E(V)0，而 E(UV)E(XY)(XY)E(X 2 Y 2 )E(X 2 )E(Y 2 )， 由 X，Y 的对称性得 E(X 2 )E(Y 2 )，所以 Cov(U，V)0， UV )解析：25.设总体 X 服从0，上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，试求： ()未知参数 的最大似然估计量 ； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()似然函数 由于函数 L 在 处间断，当 时，函数L0。 当 时，L 0 是 的单调减函数，因此当 时，L 达到最大值，于是 的最大似然估计量为 。 ()为求 的期望值，先求 的分布。 由于总体 X 服从0，上的均匀分布，因此 X i (i：1，n)也服从0，上的均匀分布。其分布函数为 概率密度为 记 的分布函数为 G()，密度函数为 g()，则 当 0 时，G()0；当 时，G()1； 当 0 时， 由于 X 1 ，X n 相互独立，于是有 通过计算看出 )解析：
