1、考研数学（数学一）模拟试卷 485 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 y=y(x)由 2xy= （分数：2.00）A.y=x+1B.y=x 一 1C.y=2x 一 1D.y=2x+13.若 f“(x)在(0，2)上连续， （分数：2.00）A.点(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(1)是函数 y=f(x)的极小值C.f(1)是函数 y=f(x)的极大值D.点(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的
2、极值4.下列反常积分收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设正项级数 发散，令 S n =a 1 +a 2 +a n ,则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 m 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，|A|=a，|B|=b，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1 ， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0 的一个基础解系为(1，0，一 4，0) T ，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 3 ， 1 +
3、3C. 1 ， 3 ， 4D. 1 + 2 ， 2 +2 4 ， 48.设 XN(1，4)，YN(3，16)，PY=aX+b=1，且 XY =一 1，则( )（分数：2.00）A.a=2，b=5B.a=一 2，b=一 5C.a=一 2，b=5D.a=2，b=一 59.设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X+YE(2)B.XYE(2)C.minX，YE(2)D.maxX，YE(2)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设由 e -y +x(y 一 x)=1+x 确定 y=y(x)，则 y”(0)= 1（分数：2.00）填空项 1
4、:_11.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +(z1) 2 1，x0，y0，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 t0，D t =(x，y)|xy，ty1，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y“一 3y+2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，一 3，0，则|B -1 +2E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，Z=minX，Y，则 PZE(Z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：2
5、0.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设函数 f(x，y)在(2，一 2)处可微，满足 f(sin(xy)+2cosx，xy 一 2cosy)=1+x 2 +y 2 +o(x 2 +y 2 )，这里 o(x 2 +y 2 )表示比 x 2 +y 2 高阶的无穷小(x，y)(0，0)时)，试求曲面 z=f(x，y)在点(2，一2，f(2，一 2)处的切平面（分数：2.00）_18.设 f(x)=1+x(0x1)(I)将 f(x)展开成余弦级数，并求 （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(0ab )证明：存在 ，
6、(a，b)，使得（分数：2.00）_20.设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，f(1)=0,f(1)=1，且二元函数 z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：2.00）_21.计算曲面积分 （分数：2.00）_22.a,b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_23.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三维列向量且 1 0若 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 (I)证明：向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关 ()证明：A 不可相似对角化（分数：2.00）_24.有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有 4 个红球 1 个白球，
7、第二个盒子里有 3 个红球 2 个白球，第三个盒子里有 2 个红球 3 个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出 3 个球，以 X 表示红球数 (I)求 X的分布律； ()求所取到的红球不少于 2 个的概率（分数：2.00）_25.设总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 485 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 y=y(x)由 2xy= （分数：2.00）A.y=x+1B.y=x 一 1C.y=2x 一 1D.
8、y=2x+1 解析：解析： 令 x=0 得 y=1， 将 x=0，y=1 代入得3.若 f“(x)在(0，2)上连续， （分数：2.00）A.点(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(1)是函数 y=f(x)的极小值C.f(1)是函数 y=f(x)的极大值 D.点(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的极值解析：解析：由 得 f(1)=0，且存在 0，当 0|x-1| 时， 当 x(1 一 ，1)时，f(x)0；当 x(1，1+)时，f(x)0，从而 x=1 为 f(x)的极大值点；4.下列反常积分收敛的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D
9、.解析：解析：5.设正项级数 发散，令 S n =a 1 +a 2 +a n ,则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：6.设 A 为 m 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，|A|=a，|B|=b，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：7.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1 ， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0 的一个基础解系为(1，0，一 4，0) T ，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 3 ， 1 + 3C. 1 ， 3 ， 4D
10、. 1 + 2 ， 2 +2 4 ， 4 解析：解析：由 r(A)=3 得 r(A*)=1，则 A*X=0 的基础解系由三个线性无关的解向量构成,由 1 -4 3 =0 得 1 ， 3 成比例，显然(A)、(B)、(C)不对，应选(D)8.设 XN(1，4)，YN(3，16)，PY=aX+b=1，且 XY =一 1，则( )（分数：2.00）A.a=2，b=5B.a=一 2，b=一 5C.a=一 2，b=5 D.a=2，b=一 5解析：解析：由 E(Y)=aE(X)+b 得 a+b=3，再由 D(Y)=a 2 D(X)得 4a 2 =16，因为 XY =一 1，所以a0，于是 a=一 2，b=
11、5，应选(C)9.设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X+YE(2)B.XYE(2)C.minX，YE(2) D.maxX，YE(2)解析：解析：因为 XE(),YE()，所以 F X (x)= 令 Z=minX，Y，则 F Z (z)=PZz=1 一PZz=1-PXz，Yz =1 一 PXzPYz=1 一1 一 PXz).1 一 PYz =1 一1 一 F X (z).1 一 F Y (z) 当 z0 时，F Z (z)=0；当 z0 时，F Z (z)=1 一 e -2z 于是 F Z (z)= 二、填空题(总题数：6，分数：12.
12、00)10.设由 e -y +x(y 一 x)=1+x 确定 y=y(x)，则 y”(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：当 x=0 时，y=0， e -y +x(yx)=1+x 两边对 x 求导得 一 e -y y+yx+x(y一 1)=1，代入得 y(0)=一 1； 一 e -y y+y 一 x+x(y一 1)=1 两边再对 x 求导得 e *y (y) 2 一 e -y y“+2y一2+xy”=0，代入得 y“(0)=一 311.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +(z1) 2 1，x0，y0，则 （分数：2.00）填空项 1:_
13、（正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 0r2cos，12.设 t0，D t =(x，y)|xy，ty1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.微分方程 y“一 3y+2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 3e x +3e 2x 一 2xe x）解析：解析：特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为 1 =1， 2 =一 2，y”一 3y+2y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe x ，代入原方程为 A=一 2，原方程的通解为 y=C 1 e
14、x +C 2 e 2x 一 2xe x 由 14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，一 3，0，则|B -1 +2E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 8）解析：解析：因为 A 的特征值为 3，一 3，0，所以 AE 的特征值为 2，一 4，一 1，从而 AE 可逆，由E+B=AB 得(AE)B=E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 15.设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，Z=minX，Y，则 PZE(Z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：服从参数为 的
15、指数分布的随机变量的分布函数为 Z 的分布函数为 F Z (z)=PZz=1-PZz=1 一 PXz，Yz =1 一 PXzPYz=1 一1 一 F(z)1 一 F(z) 即 ZE(2)，则 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设函数 f(x，y)在(2，一 2)处可微，满足 f(sin(xy)+2cosx，xy 一 2cosy)=1+x 2 +y 2 +o(x 2 +y 2 )，这里 o(x 2 +y 2 )表示比 x 2 +y 2 高阶的无穷小(x，y)(0，0)时)，试求曲面 z=f(x，y)在点
16、(2，一2，f(2，一 2)处的切平面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在(2，一 2)处可微，所以 f(x，y)在(2，一 2)处连续， 取(x，y)=(0，0)得 f(2，一 2)=1, 因为 f(x，y)在(2，一 2)处可微，所以 f(x，y)在(2，一 2)处可偏导 令 y=0得 f(2cosx，一 2)=1+x 2 +o(x 2 )， 令 x=0 得 f(2，-2cosy)=1+y 2 +o(y 2 )， )解析：18.设 f(x)=1+x(0x1)(I)将 f(x)展开成余弦级数，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)将 f(x)进行偶延
17、拓和周期延拓，则 a 0 =2 0 1 f(x)dx=2 0 1 (1+x)dx=3， a n =2 0 1 f(x)cosnxdx=2 0 1 (1+x)cosnxdx b n =0(n=1，2，)，则 ()将f(x)进行奇延拓和周期延拓，则 a n =0(n=0，1，2，)， b n =2 0 1 f(x)sinnxdx=2 0 1 (1+x)sinnxdx )解析：19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(0ab )证明：存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)=一 cosx， g(x)=sinx0(axb)， 由柯西中值定理，存在(a，
18、b)，使得 令 h(x)=sinx，h(x)=cosx0(axb)， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：20.设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，f(1)=0,f(1)=1，且二元函数 z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：补充 0 :z=0(x 2 +y 2 1)，取下侧， )解析：22.a,b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 a1 时，r(A)= =4，所以方程组有唯一解； 当 a=1，b一 1 时，r(A
19、) )解析：23.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三维列向量且 1 0若 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 (I)证明：向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关 ()证明：A 不可相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由 A 1 = 1 得(AE) 1 =0， 由 A 2 = 1 + 2 得(AE) 2 = 1 ， 由 A 3 = 2 + 3 得(AE) 3 = 2 令 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0， 1) 两边左乘以(AE)得 k 2 1 +k 3 2 =0， 2) 两边再左乘(AE)得 k 3 1 =0， 由 1
20、 0 得 k 3 =0，代入 2)得 k 2 1 =0，则 k 2 =0，再代入 1)得 k 1 1 =0，从而 k 1 =0，于是 1 ， 2 ， 3 线性无关 ()令 P=( 1 ， 2 ， 3 )， 由(A 1 ，A 2 ，A 3 )=( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )得 由|EA|=|E 一 B|=( 一 1) 2 =0 得 A 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， )解析：24.有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有 4 个红球 1 个白球，第二个盒子里有 3 个红球 2 个白球，第三个盒子里有 2 个红球 3 个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出 3 个球，以 X 表示红
21、球数 (I)求 X的分布律； ()求所取到的红球不少于 2 个的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)令 A k =所取为第 k 个盒子(k=1，2，3)，则 P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )= ，随机变量 X 的可能取值为 012，3，由全概率公式得 PX=0=PX=0|A 3 P(A 3 )= PX=1=PX=1|A 2 P(A 2 )+PX=1|A 3 P(A 3 ) PX=2=PX=2|A 1 P(A 1 )+PX=2|A 2 P(A 2 )+PX=2|A 3 P(A 3 ) PX=3一 PX=3|A 1 P(A 1 )+PX 一 3|A 2 P(A 2 )= ()PX2=PX=2)+PX=3= )解析：25.设总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0， )解析：
