1、考研数学（数学三）模拟试卷 439 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f() （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1 个可去间断点，1 个无穷间断点C.2 个跳跃间断点D.2 个无穷间断点3.设 f(0)2，则 （分数：2.00）A.B.2C.D.44.设 f()在0，1上连续且单调递减，则函数 F(t)t 0 1 f(t)f()d 在(0，1)内( )（分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.有极小值D.有极大值
2、5.设 f(，y)连续，且 f(，y) yf(，y)ddy，其中 D(，y)01，0y1，则 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 A0 有两个线性无关的解，A * 是 A 的伴随矩阵，则有( )（分数：2.00）A.A * O 的解均为 AO 的解B.A0 的解均为 A * 0 的解C.A0 与 A * 0 无非零公共解D.A0 与 A * 0 恰好有个非零公共解7.设 3 维向量 4 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关B.向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关C.向量组 1
3、 4 ， 2 4 ， 3 4 线性无关D.向量组 1 4 ， 2 4 ， 3 4 线性相关8.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 ()，概率密度函数为 f 1 ()，且 E(X 1 )1，随机变量 X 的分布函数为 F()04F 1 ()06F 1 (21)，则 E(X)_（分数：2.00）A.06B.05C.04D.19.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 记 （分数：2.00）A.B.C.1D.1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.微分方程 2 yyy 2 满足初始条件 y 1 1 的特解为 1（分数：2.
4、00）填空项 1:_11.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_12.函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_13.设某商品需求量 Q 是价格 P 的单减函数 QQ(P)，其需求弹性 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 n 阶方阵 A 与 B 相似，A 2 2E，则ABAE 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X 与 Y 相互独立，则 PYX 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f()可导，且 f(0)0，
5、f(0)0，求 （分数：2.00）_18.求z在约束条件 （分数：2.00）_19.设 Oy 平面上有正方形 D(，y)01，0y1及直线 l：yt(t0)，若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0 S(t)dt(0)（分数：2.00）_20.对于一切实数 t，函数 f(t)为连续的正函数且可导，又 f(t)f(t)，设 g() -a a tf(t)dt，a0，a，a ()证明 g()单调增加； ()求出使 g()取得最小值的； ()将 g()的最小值当作 a 的函数，使其等于 f(a)a 2 1，求 f()（分数：2.00）_21.计算二重积分 I （分数：2.0
6、0）_22.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 维列向量，满足 2 ， 3 ， 4 线性无关，且 1 3 2 2 令 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 2 3 4 求线性方程组A 的通解（分数：2.00）_23.设 A 是一个 n 阶方阵，满足 A 2 A，R(A)r，且 A 有两个不同的特征值 ()试证 A 可对角化，并求对角阵 A； ()计算行列式A2E（分数：2.00）_24.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 （分数：2.00）_25.已知 X 1 ，X n 为总体 X 的一组样本，总体 X 的概率密度为 f() （分数：2.00）_考研数学（数学三
7、）模拟试卷 439 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f() （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1 个可去间断点，1 个无穷间断点C.2 个跳跃间断点D.2 个无穷间断点解析：解析：当 0 与 1 时，f()无定义，则 f()的间断点为 0 和 1 则 0为 f()的可去间断点3.设 f(0)2，则 （分数：2.00）A.B.2 C.D.4解析：解析：4.设 f()在0，1上连续且单调递减，则函数 F(t)t
8、0 1 f(t)f()d 在(0，1)内( )（分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.有极小值D.有极大值 解析：解析：因为 F(t)t 0 1 f(t)f()dt 0 1 f(t)dt 0 1 f()d，其中 5.设 f(，y)连续，且 f(，y) yf(，y)ddy，其中 D(，y)01，0y1，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 yf(，y)ddyA，则 解得 A (e1) 2 ，从而 f(，y) (e1) 2 y 所以 6.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 A0 有两个线性无关的解，A * 是 A 的伴随矩阵，则有( )（分数：2.00）A.A * O
9、的解均为 AO 的解B.A0 的解均为 A * 0 的解 C.A0 与 A * 0 无非零公共解D.A0 与 A * 0 恰好有个非零公共解解析：解析：由题意，nR(A)2，从而 R(A)n2，由 R(A)与 R(A * )之间关系知 R(A * )0，即 A * O，所以任选一个 n 维向量均为 A * 0 的解 故应选 B7.设 3 维向量 4 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关B.向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关 C.向量组 1 4 ， 2 4 ， 3 4 线性无关D.向量组 1 4 ， 2 4 ， 3
10、4 线性相关解析：解析：4 个 3 维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 B 正确 对于 C 选项，取 易知 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但 1 4 ， 2 4 ， 3 4 线性相关，故 C 不正确 对于 D 选项，取 8.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 ()，概率密度函数为 f 1 ()，且 E(X 1 )1，随机变量 X 的分布函数为 F()04F 1 ()06F 1 (21)，则 E(X)_（分数：2.00）A.06B.05C.04 D.1解析：解析：已知随机变量 X 1
11、的分布函数为 F 1 ()，概率密度函数为 f 1 ()，可以验证 F 1 (21)为分布函数， 记其对应的随机变量为 X 2 ，其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数，且 X 2 ，记随机变量 X 2 的分布函数为 F 2 ()，概率密度函数为 f 2 ()，所以 X 的分布函数为 F()04F 1 ()06F 2 () 两边同时对 求导，得 f()04f 1 ()06f 2 ()于是 f()d04 f 1 ()d06 f 2 ()d， 即 E(X)04E(X 1 )06E(X 2 )04E(X 1 )06E( 9.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来
12、自总体 X 的简单随机样本 记 （分数：2.00）A. B.C.1D.1解析：解析：因为 X 服从泊松分布 P()，则 E(X)D(X)， 由 E(T) 2 ，可得 a 0，则 a 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.微分方程 2 yyy 2 满足初始条件 y 1 1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：解析：方程变形为 y ，令 u，则 yu，两边同时对 求导， 得yuu，代入原方程得 u 2 2u， 分离变量得 ， 则 ， 积分得 ln(u2)lnulnC 1 ， 即 C 2 ，则 C 2 由 y 1 1，得C1 则所求特解为 2 ，
13、即 y 故应填 y 11.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 f()为分段函数，且为连续函数，则 f()在分段点 0，1 均连续，即则 b f(1)ab，则 ab1解得 故应填12.函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 其中11 且1 1，解得收敛域为11 故应填13.设某商品需求量 Q 是价格 P 的单减函数 QQ(P)，其需求弹性 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：RPQPQ(P)，则 R(P)Q(P)PQ(P)，由题意知，需求弹性 ，则收益对价格
14、P 的弹性函数为14.设 n 阶方阵 A 与 B 相似，A 2 2E，则ABAE 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：ABABE(AE)BAE(AE)(BE) 又 A 2 2E，得(AE)(AE)E 再由A，B 相似，得 AE 和 BE 相似，从而AEBE 于是ABABEAE.BEAE.AEE1 故应填 115.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X 与 Y 相互独立，则 PYX 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1）解析：解析： 所以联合概率密度为 故 PYX 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题
15、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f()可导，且 f(0)0，f(0)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此极限是“ ”型未定义，由洛必达法则，可得 )解析：18.求z在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由z的最值点与 z 2 的最值点一致，下面构造拉格朗日函数 设F(，y，z，)z 2 ( 2 9y 2 2z 2 )(3y3z5)，令 解得两组解：(，y，z) 1 (1， ，1)；(，y，z) 2 (5， ，5)比较z在两点的值大小：当 1，y 时，z1 为最小值；当 5，y )解析：19.设 Oy 平面上有正方形 D
16、(，y)01，0y1及直线 l：yt(t0)，若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0 S(t)dt(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0t1 时，S(t) 0 t (t)d t 2 ； 当 1t2 时，S(t)(t1)1 t-1 1 (t)d t 2 2t1； 当 t2 时，S(t)1 即 S(t) 所以，当 01 时， 0 S(t)dt ； 当 12 时， 当 2 时， 0 S(t)dt 0 1 dt 1 2 ( 2t1)dt 2 dt1 因此， 0 S(t)dt )解析：20.对于一切实数 t，函数 f(t)为连续的正函数且可导，又 f(t)f
17、(t)，设 g() -a a tf(t)dt，a0，a，a ()证明 g()单调增加； ()求出使 g()取得最小值的； ()将 g()的最小值当作 a 的函数，使其等于 f(a)a 2 1，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 g() a a tf(t)dt a (t)f(t)dt a (t)f(t)dt a f(t)dt a tf(t)dt a tf(t)dt a f()dt， 且 f(t)连续，故上式右边可导，于是 g() a f(t)dtf()f()f() a f(t)dtf() a f(t)dt a f(t)dt， g()2f()， 因为 f()0，知 g()
18、0，由此可得出 g()为单调增函数 ()令 g()0，即 a f(t)dt a f(t)dt0 令 t，dtd，并注意到 f(t)f(t)，则 a f(t)dt a f()d a f()d a f(t)dt， 因此 a f(t)dt a f(t)dt a f(t)dt a f(t)dt f(t)dt0，即 2 0 f(t)dt0 又因为 f(t)0，故 0由()可知 g(0)2f(0)0，则 g()在 0 点取得最小值，最小值为 g(0) a a tf(t)dt2 0 a tf(t)dt ()由 2 0 a f(t)dtf(a)a 2 1，将上式两边对 a 求导，则有 2af(a)f(a)2a
19、， 即 2a，则有 2，两边积分得 lnf()1 2 c； 由 2 0 a tf(t)dtf(a)a 2 1，知 f(0)1，则 cln2， 于是得 f()12 ，即 f()2 )解析：21.计算二重积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 D 1 (，y) 2 y 2 4，y，0， D 2 (，y) 2 y 2 4，y，0，y2， 由于积分区域 D 关于 Y 轴对称，被积函数 2 y 2 4关于 是偶函数，由对称性知 所以 I2(I 1 I 2 )4 )解析：22.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 维列向量，满足 2 ， 3 ， 4 线性无关，且 1 3 2 2 令 A(
20、 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 2 3 4 求线性方程组A 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 A0 的基础解系 由于 2 ， 3 ， 4 线性无关，且 1 2 2 3 ，得 R(A)3又因为 1 2 2 3 0. 4 0， 故 A0 基础解系为(1，2，1，0) T 再求 A 的一个特解 由于 1 2 3 4 ，故(1，1，1，1) T 为一个特解所以，A 的通解为 (1，1，1，1) T k(1，2，1，0) T ，k 为常数)解析：23.设 A 是一个 n 阶方阵，满足 A 2 A，R(A)r，且 A 有两个不同的特征值 ()试证 A 可对角化，并求对角阵 A；
21、 ()计算行列式A2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 是 A 的特征值，由于 A 2 A，所以 2 ，且 A 有两个不同的特征值，从而 A 的特征值为 0 和 1 又因为 A 2 A，即 A(AE)O，故 R(A)R(AE)n 事实上，因为A(AE)O，所以 R(A)R(AE)n 另外，由于 EA 同 AE 的秩相同，则有 nR(E)R(EA)AR(A)R(EA)R(A)R(AE)， 从而 R(A)R(AE)n 当 时，因为 R(AE)nR(A)nr，从而齐次线性方程组(EA)0 的基础解系含有 r 个解向量，因此，A 属于特征值 1 有 r 个线性无关特征向量，记为 1 ，
22、 2 ， r 当 0 时，因为 R(A)r，从而齐次线性方程组(0.EA)0 的基础解系含 nr 个解向量因此，A 属于特征值 0 有 nr 个线性无关的特征向量，记为 r+1 ， r+2 ， n 于是 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个线性无关的特征向量，所以A 可对角化，并且对角阵为 A ()令 P( 1 ， 2 ， 3 ， n )，则 APAP -1 ，所以 A2EPAP -1 2EA2E )解析：24.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(U，V)的可能取值为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，则 PU
23、1，V1PX1，Y1PX1PY1 ； PU1，V20； PU2，V1PX2，Y1P(X1，Y2 PX2PY1PX1PY2 ； PU2，V2PX2，Y2PX2PY2 故(U，V)的概率分布为 ()由(U，V)的概率分布可得 E(U) ，E(V) ，E(UV) ， 所以 CoV(U，V)E(UV)E(U)E(V) )解析：25.已知 X 1 ，X n 为总体 X 的一组样本，总体 X 的概率密度为 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()E(X) 令 ，解得 ，即 为 的矩估计量 ()似然函数为 L() 对数似然函数为 lnL() 对数似然方程为 0 其最大似然估计值为即 的最大似然估计量为 )解析：
