1、考研数学（数学三）模拟试卷 440及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()在 1 的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导点B.可导点但不是驻点C.驻点且是极大值点D.驻点且是极小值点3.设在区间a，b上，f()0，f()0，f()0，令 S 1 a b f()d，S 2 f(b)(ba)，S 3 （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 14.设 zf(u)，
2、方程 u(u) y p(t)dt确定是 ，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，p(t)，(u)连续且 (u)1，则 （分数：2.00）A.p()B.p(y)C.0D.z5.设 D是由直线 1，y1 与曲线 y 3 所围成的平面区域，D 1 是 D在第一象限的部分，则 I （分数：2.00）A.2B.2C.D.06.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维非零列向量，A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A * 为 A的伴随矩阵，又知方程组 A0 的基础解系为(1，0，2，0) T ，则方程组 A * 0 基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 2 ， 2 3 ，
3、3 1C. 2 ， 3 ， 4 或 1 ， 2 ， 4D. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 17.设 A，B 为挖阶矩阵，下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.A与 B均不可逆的充要条件是 AB不可逆B.R(A)n 与 R(B)n 均成立的充要条件是 R(AB)nC.A0 与 B0 同解的充要条件是 A与 B等价D.A与 B相似的充要条件是 EA 与 EB 相似8.设随机变量 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 P 1 PX4，P 2 PY5，则( )（分数：2.00）A.对任意实数 ，有 P 1 p 2B.对任意实数 ，有 P 1 p 2C.对任意实数 ，有 p 1 p
4、 2D.对 的个别值，有 P 1 p 29.设随机变量 X的概率密度为 f() 表示对 X的 3次独立重复观测中事件X （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.arctan(1 （分数：2.00）填空项 1:_11.没函数 yy()由方程 e f(y) e y ln29确定，其中 f具有二阶导数且 f1，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设四次曲线 ya 4 b 3 c 2 df 经过点(0，0)，并且点(3，2)是它的一个拐点该曲线上点(0，0)与点(3，2)的切线交于点(2，4)，则该四次曲线的方程为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_
5、13.差分方程 y 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A是 3阶实对称矩阵，且满足 A 2 2AO，若 kAE 是正定矩阵，则 k 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 E(X)2，E(y)V1，D(X)25，D(y)36， XY 04，则 E(2X3Y4) 2 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知 f(0)存在，求满足 f(y) （分数：2.00）_18.求由方程 2 2 2y 2 z 2 8zz80 所确定的函数 z(，y)的极值，并指出是极大值还是
6、极小值（分数：2.00）_19.设 f()，g()在a，b上二阶可导，g()0，f(a)f(b)g(a)g(b)0 证明：()g()0，任意 (a，b)； ()存在 (a，b)，使 （分数：2.00）_20.计算定积分 （分数：2.00）_21.求幂级数 的收敛域及和函数，并求级数 （分数：2.00）_22.设方程组 （分数：2.00）_23.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 ) 2 ( 1 3 ) 2 ( 3 2 ) 2 ()求二次型 f的秩； ()求正交变换 Q，使二次型 f化为标准形（分数：2.00）_24.设(X，Y)的概率密度为 f(，y) （分数：2.00）_25.
7、设(X，Y)的分布律为 F(X，Y)为(X，Y)的分布函数，若已知 Cov(X，Y) （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 440答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()在 1 的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导点B.可导点但不是驻点C.驻点且是极大值点 D.驻点且是极小值点解析：解析：因为 f()在 1 连续，所以 f(1)f(1)，由 知 lnf(1)13sin 2 lnf(1)10，即 f(1)0 则当 0，ln
8、f(1)13sin 2 f(1)3sin 2 ， 推得原式 4，即 231，于是 所以 是 f()的驻点 又由 1， 以及极限的保号性知当 (1)时， 3.设在区间a，b上，f()0，f()0，f()0，令 S 1 a b f()d，S 2 f(b)(ba)，S 3 （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3 C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 1解析：解析：由 f()0，f()0 知曲线 yf()在a，b上单调减少且是凹的，于是有 f(b)f()f(a) (a)，(a，b) 4.设 zf(u)，方程 u(u) y p(t)dt确定是 ，y 的函数，其
9、中 f(u)，(u)可微，p(t)，(u)连续且 (u)1，则 （分数：2.00）A.p()B.p(y)C.0 D.z解析：解析：方程 u(u) y p(t)dt两端分别关于 ，y 求偏导数，得 由 zf(u)可微，得 5.设 D是由直线 1，y1 与曲线 y 3 所围成的平面区域，D 1 是 D在第一象限的部分，则 I （分数：2.00）A.2B.2 C.D.0解析：解析：积分区域 D如图 52所示： 被分割成 D 1 ，D 2 ，D 3 ，D 4 四个小区域，其中 D 1 ， D 2 关于 y轴对称，D 3 ，D 4 关于 轴对称，从而 由于 y 关于 或 y都是奇函数，则 而 siny关
10、于 是偶函数，关于 y是奇函数，则 6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维非零列向量，A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A * 为 A的伴随矩阵，又知方程组 A0 的基础解系为(1，0，2，0) T ，则方程组 A * 0 基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 2 ， 2 3 ， 3 1C. 2 ， 3 ， 4 或 1 ， 2 ， 4 D. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1解析：解析：由 A0 的基础解系仅含有一个解向量知，R(A)3，从而 R(A * )1，于是方程组 A * 0 的基础解系中含有 3个解向量 又 A * AA * ( 1 ，
11、2 ， 3 ， 4 )AEO， 所以向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 是方程组 A * 0 的解 因为(1，0，2，0) T 是 A0 的解，故有 1 2 3 0，即 1 ， 3 线性相关从而，向量组 1 ， 2 ， 3 与向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 均线性相关，故排除 A、B、D 选项 事实上，由 1 2 3 0，得 1 0 2 2 3 0 4 ，即 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表示，又 R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3，所以 2 ， 3 ， 4 线性无关，即 2 ， 3 ， 4 为 A * 0 的一个基础解系 故应选 C7.设 A，B 为挖阶矩阵，下列命题成立的是( )
12、（分数：2.00）A.A与 B均不可逆的充要条件是 AB不可逆B.R(A)n 与 R(B)n 均成立的充要条件是 R(AB)nC.A0 与 B0 同解的充要条件是 A与 B等价D.A与 B相似的充要条件是 EA 与 EB 相似 解析：解析：A 与 B类似，故均错误，而 C仅是必要而非充分条件，故应选 D 事实上，若 AB，则由相似矩阵的性质知 EAEB； 反之，若 EAEB，则 E(EA)E(EB)，即 AB 对于选项A，若 A与 B均不可逆，则AB0，从而ABAB0，即 AB不可逆，但若 AB不可逆，推出 A与 B均不可逆，如 AE，B ，则 ABB 不可逆，但 A可逆 对于选项 B，与选项
13、 A相近，由于 R(AB)minR(A)，R(B)，故若 R(A)n 与 R(B)n 均成立， 则 R(AB)n 但反之，若 R(AB)n，推不出 R(A)n 或 R(B)n，如 AE，B ，则 R(AB)R(B)12，但 R(A)2 对于选项C，由同型矩阵 A与 B等价 R(A)R(B)可知，若 A0 与 B0 同解，则 A与 B等价； 但反之不然，如 A ，B8.设随机变量 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 P 1 PX4，P 2 PY5，则( )（分数：2.00）A.对任意实数 ，有 P 1 p 2 B.对任意实数 ，有 P 1 p 2C.对任意实数 ，有 p 1 p 2D.对
14、 的个别值，有 P 1 p 2解析：解析：由于 N(0，1)， N(0，1)，所以 9.设随机变量 X的概率密度为 f() 表示对 X的 3次独立重复观测中事件X （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 故 PY21PY31二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.arctan(1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 t，则 t 2 ，所以 arctan(1 )darctan(1t)dt 2 t 2 arctan(1t) t 2 arctan(1t)(1 )dt t 2 arctan(1t)tln(2t 2 2t)C arctan C 故
15、应填 11.没函数 yy()由方程 e f(y) e y ln29确定，其中 f具有二阶导数且 f1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两边取自然对数，得 lnf(y)yln(ln29)，方程两边对 求导，得f(y).yy， 解得 y 则 y12.设四次曲线 ya 4 b 3 c 2 df 经过点(0，0)，并且点(3，2)是它的一个拐点该曲线上点(0，0)与点(3，2)的切线交于点(2，4)，则该四次曲线的方程为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因曲线经过(0，0)点，则 f0； 又经过(3，2)点，
16、所以 y 3 81a27b9c3df2； 又因为(3，2)是拐点，所 y 3 (12a6b2c) 3 108a18b2c0； 又因为经过(0，0)的切线斜率为 2，所以 y 0 (4a 3 3b 2 2cd) 0 d2； 经过点(3，2)的切线斜率为 2，所以 y 3 (4a3b2cd) 3 108a27b6cd2 联立解得 a ，b ，c ，d2，f0所以曲线方程为 y 2 故应填 13.差分方程 y 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y ）解析：解析：齐次差分方程 y 1 y 0 的特征方程为 0，解得 故齐次差分方程的通解为 C 设特解为 y * A ，代入原方
17、程得 A 故所求通解为 y ，CR 故应填 y 14.设 A是 3阶实对称矩阵，且满足 A 2 2AO，若 kAE 是正定矩阵，则 k 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：小于*或*）解析：解析：由 A 2 2AO 知，A 的特征值是 0或2，则 kAE 的特征值是 12k1又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于 0，所以，k 故应填小于 15.设 E(X)2，E(y)V1，D(X)25，D(y)36， XY 04，则 E(2X3Y4) 2 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：305）解析：解析：E(2X3Y4) 2 D(2X3Y4)E(2X3Y4)
18、2 4D(X)9D(Y)2Cov(2X，3Y)2E(X)3E(Y)4 2 305 故应填 305三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知 f(0)存在，求满足 f(y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(y) ，令 y0，得 f(0)0 变形为 )解析：18.求由方程 2 2 2y 2 z 2 8zz80 所确定的函数 z(，y)的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(，y，z)2 2 2y 2 z 2 8zz8，则令 解得y0，480，代入
19、2 2 2y 2 z 2 8zz80，解得两组解： ( 1 ，y 1 ，z 1 )(2，0，1)；( 2 ，y 2 ，z 2 ) 再求二阶导数并以两组解分别代入 对于( 1 ，y 2 ，z 1 )(2，0，1)点： 故 z1 为极小值 对于( 2 ，y 2 ，z 2 ) 故z )解析：19.设 f()，g()在a，b上二阶可导，g()0，f(a)f(b)g(a)g(b)0 证明：()g()0，任意 (a，b)； ()存在 (a，b)，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()反证法 若不然，则在(a，b)内至少存在一点 c，使 g(c)0，于是由已知条件知，g()在a，c与c，b上满足
20、罗尔定理条件分别应用罗尔定理，得 1 (a，c)， 2 (c，b)，使 g( 1 )0，g( 2 )0， 于是 g()在 1 ， 2 上满足罗尔定理条件，进一步应用罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使 g()0，这与条件 g()0，(a，b)矛盾 故 g()0，(a，b) ()令 F()f()g()f()g()，则F()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)F(b)0，满足罗尔定理条件对 F()应用罗尔定理，于是存在 (a，b)，使 F()0，即 F()f()g()f()g()f()g()f()g() f()g()f()g()0， 由于 g()0，g()0，所以 )解析
21、：20.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 sint，则 )解析：21.求幂级数 的收敛域及和函数，并求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，则 当 1，即 时，幂级数绝对收敛； 当1，即 时，幂级数发散； 当 1，即 时，幂级数为 发散 所以，幂级数的收敛域为( ) 上式两端求导得 当 时， )解析：22.设方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知 ， 即 A( 1 ， 2 ， 3 )(A 1 ，A 2 ，A 3 ) 记 B( 1 ， 2 ， 3 )，C ，则有 ABC 又因为B 20，矩阵 B可逆，从而 B -1 对上式两边同时右乘
22、B -1 ，得 )解析：23.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 ) 2 ( 1 3 ) 2 ( 3 2 ) 2 ()求二次型 f的秩； ()求正交变换 Q，使二次型 f化为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 f2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2 1 3 ，二次型对应的矩阵为 A，则有 所以矩阵 A的秩为 2 ()记二次型厂的矩阵为 A，则 可知 1 0， 2 3 3 又 1 0 时，特征向量 1 (1，1，1) T ，将 1 单位化后得 r 1 2 3 3 时，特征向量 2 (1，1，0) T ， 3 (1，0，1) T ，对
23、2 ， 3 施行施密特正交化得 2 2 (1，1，0) T ， 3 ， 再将 2 ， 3 单位化，得 故正交变换矩阵 Q )解析：24.设(X，Y)的概率密度为 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题可得， 因为 f(，y)f().f Y (y)，故 X，Y 相互独立 )解析：25.设(X，Y)的分布律为 F(X，Y)为(X，Y)的分布函数，若已知 Cov(X，Y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 1，可得 abc 因为 ，所以 ab ，从而 c Cov(X，Y)E(XY)E(X).E(Y) ， 而已知 Cov(X，Y) ，故 ()E(X 2 Y 2 ) )解析：
