1、考研数学（数学三）模拟试卷 450及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知当 x0 时，f(x)=arcsinxarctanax 与 g(x)=bxxln(1+x)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.a=b=1。B.a=1，b=2。C.a=2，b=1。D.a=b1。3.设 f(x)= （分数：2.00）A.两条斜渐近线。B.一条水平渐近线，一条斜渐近线。C.两条水平渐近线。D.一条斜渐近线，没有水平渐近线。4.设 f(x)是连续且单调递增的奇函
2、数，设 F(x)= 0 x (2ux)f(xu)du，则 F(x)是( )（分数：2.00）A.单调递增的奇函数。B.单调递减的奇函数。C.单调递增的偶函数。D.单调递减的偶函数。5.已知函数 f(x，y)满足 （分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)点可微。B.f x (0，0)=2。C.f y (0，0)=1。D.f x (0，0)和 f y (0，0)不一定都存在。6.设 （分数：2.00）A.合同且相似。B.合同不相似。C.相似不合同。D.既不相似，也不合同。7.设 A，B 均为 3阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 B= （分数：2.00）A.若 a=2，则 r(A)=1。B.若
3、 a2，则 r(A)=2。C.若 a=1，则 r(A)=1。D.若 a1，则 r(A)=2。8.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2 ， 2 ；)，则随机变量 X+Y与 XY 必( )（分数：2.00）A.相互独立且同分布。B.相互独立但不同分布。C.不相互独立但同分布。D.不相互独立也不同分布。9.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)，其中 X服从正态分布 N(0，1)，且 Y=X，若 F(a，b)= （分数：2.00）A.a=b=0。B.a=0，b0。C.a0，b=0。D.mina，b=0。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1。 （分数：2.
4、00）填空项 1:_11.设 f(x)=xsin 2 x，则 f (2017) (0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“2y+5y=e x cos 2 x的通解为 y(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.差分方程 y x+1 2y x =x 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A为三阶非零矩阵，已知 A的各行元素和为 0，且 AB=0，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 1 ，X 2 相互独立，X 1 服从正态分布 N(， 2 )，X 2 的分布律为 PX 2 =1=PX 2 =1
5、= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)连续，且满足 f(x)=(x) 2 0 x tf(xt)dt，求 f(x)。（分数：2.00）_18.计算二重积分 ，其中 D是由直线 x=2，y=0，y=2 以及曲线 x= （分数：2.00）_19.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0。证明： ()存在一点 (a，b)，使得 f()=2f()； ()存在一点 (a，b)，使得 f()=3f()g()。（分数：2.00）_20.
6、求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：2.00）_21.假设某种商品的需求量 Q是单价 p(单位：元)的函数：Q=1200080p，商品的总成本 C是需求量 Q的函数：C=25000+50Q，每单位商品需要纳税 2元。试求使销售利润最大时的商品单价和最大利润额。（分数：2.00）_22.设线性方程组 （分数：2.00）_23.设二次型(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 3x 3 2 +2ax 1 x 2 4x 1 x+ 3 +8x 2 x 3 (其中 a为整数)经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +6y 2 2 +by 3 2 ，求： ()参数 a，b 的值； ()正交变换
7、矩阵Q。（分数：2.00）_24.设随机变量 Y服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量 X k = （分数：2.00）_25.设总体 X的概率密度为 f(x；)= X 1 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本。 ()求 的矩估计量 ； ()求 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 450答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知当 x0 时，f(x)=arcsinxarctanax 与 g(x)=bxxln(1+x)是等价无穷小，则( )
8、（分数：2.00）A.a=b=1。 B.a=1，b=2。C.a=2，b=1。D.a=b1。解析：解析：根据等价无穷小的定义， 那么 1a=0，3.设 f(x)= （分数：2.00）A.两条斜渐近线。B.一条水平渐近线，一条斜渐近线。 C.两条水平渐近线。D.一条斜渐近线，没有水平渐近线。解析：解析：函数 f(x)无间断点，所以不存在垂直渐近线。 水平渐近线：在 x方向， 所以y=0为函数 f(x)的一条水平渐近线。 斜渐近线：4.设 f(x)是连续且单调递增的奇函数，设 F(x)= 0 x (2ux)f(xu)du，则 F(x)是( )（分数：2.00）A.单调递增的奇函数。B.单调递减的奇函
9、数。 C.单调递增的偶函数。D.单调递减的偶函数。解析：解析：令 xu=t，则 F(x)= 0 x (x2t)f(t)dt，F(x)= 0 x (x2t)f(t)dt， 令t=u， F(x)= 0 x (x+2u)f(u)du= 0 x (x2u)f(u)du。 因 f(x)是奇函数， f(x)=f(x)，F(x)= 0 x (x2u)f(u)du， 则有 F(x)=F(x)为奇函数。 F(x)= 0 x f(t)dtxf(x)， 由积分中值定理可得 0 x f(t)dt=f()x， 介于 0到 x之间， F(x)=f()xxf(x)=f()f(x)x， 因为 f(x)单调递增，当 x0 时，
10、0，x，f()f(x)0，所以 F(x)0，F(x)单调递减；当 x0 时，x，0，f()f(x)0，所以 F(x)0，F(x)单调递减。所以F(x)是单调递减的奇函数。5.已知函数 f(x，y)满足 （分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)点可微。B.f x (0，0)=2。C.f y (0，0)=1。D.f x (0，0)和 f y (0，0)不一定都存在。 解析：解析：根据多元函数可微的定义， 其中 A=f x (x，y)，B=f y (x，y)，那么有 6.设 （分数：2.00）A.合同且相似。B.合同不相似。 C.相似不合同。D.既不相似，也不合同。解析：解析：因为7.设 A，
11、B 均为 3阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 B= （分数：2.00）A.若 a=2，则 r(A)=1。 B.若 a2，则 r(A)=2。C.若 a=1，则 r(A)=1。D.若 a1，则 r(A)=2。解析：解析：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3。当 a=2时，r(B)=2，所以 r(A)3r(B)=1；另一方面，A为 3阶非零矩阵，所以 r(A)1，从而 r(A)=1。故选(A)。8.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2 ， 2 ；)，则随机变量 X+Y与 XY 必( )（分数：2.00）A.相互独立且同分布。B.相互独立但不同分布。 C.不相互独立但同分布。D.不相
12、互独立也不同分布。解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2 ， 2 ；)，所以他们的线性组合也是正态分布， X+YN(0，2 2 +2 2 )，XYN(0，2 2 2 2 )，故分布不同。 而 Cov(X+Y，XY)=0，则 X+Y，XY 不相关，因为(X+Y，XY)仍是二维正态分布，所以不相关与独立等价。9.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)，其中 X服从正态分布 N(0，1)，且 Y=X，若 F(a，b)= （分数：2.00）A.a=b=0。B.a=0，b0。C.a0，b=0。D.mina，b=0。 解析：解析：由题可得 从而 PXmina，b=二、
13、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该题极限形式为和式极限，则可使用夹逼定理进行计算。 两边取极限可得， 由夹逼定理可知，原极限为11.设 f(x)=xsin 2 x，则 f (2017) (0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2015 2017）解析：解析：f(x)=xsin 2 x= 求 2017次导数为 0，对于 ，根据莱布尼茨公式可得 12.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“2y+5y=e x cos 2 x的通解为 y(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1
14、:_ （正确答案：正确答案：e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+ ）解析：解析：该方程的齐次方程所对应的特征方程为 2 2+5=0，解得特征根为 =12i，可知齐次方程的通解为 e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)。 该方程的非齐次项 根据叠加原理 此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得 根据特征根 =12i 可知，方程(1)的特解可设为)，y 1 * =Ce x ，代入方程(1)解得 C= ，故 y 1 * = ；方程(2)的特解可设为 y 2 * =xe x (Acos2x+Bsin2x)， 13.差分方程 y x+1 2y x =x 2 的通解为 1。（
15、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C2 x x 2 2x3，CR）解析：解析：齐次方程 y x+1 2y x =0的通解为 C2 x ，CR。 设非齐次方程的特解为 y x * =ax 2 +bx+c，则 a(x+1) 2 +b(x+1)+c2(ax 2 +bx+c)=x 2 ， 整理可得 ax 2 +(2ab)x+a+bc=x 2 ， 解得 a=1，b=2，c=3。可知差分方程的通解为 C2 x x 2 2x3，CR。14.设 A为三阶非零矩阵，已知 A的各行元素和为 0，且 AB=0，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，2，
16、3) T +k 2 (1，1，1) T ，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析：因为 AB=O，所以显然有 A(1，2，3) T =0；另一方面，因为 A的各行元素和为 0，所以A(1，1，1) T =0。 又因为 A为三阶非零矩阵，所以 Ax=0的基础解系的线性无关的解向量至多有两个，所以 Ax=0的通解为 k 1 (1，2，3) T +k 2 (1，1，1) T ，k 1 ，k 2 为任意常数。15.设随机变量 X 1 ，X 2 相互独立，X 1 服从正态分布 N(， 2 )，X 2 的分布律为 PX 2 =1=PX 2 =1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
17、0）解析：解析：分布函数的间断点即概率不为 0的点，令 Y=X 1 X 2 (，+)，由于 X 1 ，X 2 相互独立。则 PY=a=PX 2 =1，X 1 =a+PX 2 =1，X 1 =a =PX 2 =1PX 1 =a+PX 2 =1PX 1 =a=0。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)连续，且满足 f(x)=(x) 2 0 x tf(xt)dt，求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 s=xt，得 f(x)=(x) 2 x (xs)f(s)ds，即 f(x)=(
18、x) 2 x x f(s)ds+ x sf(s)ds， (1) 现需要把它转换成微分方程问题。(1)式两边求导得 f(x)=2(x) x f(s)ds， (2) 又(1)式中令 x= 得 f()=0。 再对(2)式求导得 f“(x)+f(x)=2。 在(2)式中令 x= 得 f()=0。 于是问题转化为初值问题 其中 y=f(x)。 这是二阶线性常系数微分方程，显然有常数特解 y * =2，于是通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+2。 )解析：18.计算二重积分 ，其中 D是由直线 x=2，y=0，y=2 以及曲线 x= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在直角坐标系下化为
19、累次积分计算，选取先对 x积分再对 y积分的顺序。题中所给区域如图 2所示： )解析：19.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0。证明： ()存在一点 (a，b)，使得 f()=2f()； ()存在一点 (a，b)，使得 f()=3f()g()。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 (x)=e 2x f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0，根据罗尔定理，存在一点 (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e 2x f(x)2f(x)且 e 2x 0，所以 f()=2f()。 ()令 h(x)=f(x)e 3g(
20、x) ，因为 f(a)=f(b)=0，所以 h(a)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在一点(a，b)，使得 h()=0，而 h(x)=e 3g(x) f(x)+3f(x)g(x)且 e 3g(x) 0，所以 f()=3f()g()。)解析：20.求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =x 3 ，当x1 时，幂级数收敛；当x1 时，幂级数发散；当 x=1时，幂级数 收敛：当 x=1 时，幂级数 发散。因此该幂级数的收敛域为(1，1。 )解析：21.假设某种商品的需求量 Q是单价 p(单位：元)的函数：Q=1200080p，商品的总成本 C是需求量 Q的函
21、数：C=25000+50Q，每单位商品需要纳税 2元。试求使销售利润最大时的商品单价和最大利润额。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 L表示销售利润额，则 L(p)=(12 00080p)(p2)(25 000+50Q) =80p 2 +16 160p649 000， L(p)=160p+16 160， 令 L(p)=0；得 p=101。 由于 L“ p=101 =1600，可见，p=101 时，L 有极大值，也是最大值(因为 p=101是唯一驻点)。最大利润额 L p=101 =167 080(元)。)解析：22.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(1，1，
22、1，1) T 代入方程组，得 =。 对方程组的增广矩阵 施以初等行变换，得 r(A)= =34，故方程组有无穷多解，且 0 = 为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 =(2，1，1，2) T ，故方程组的全部解为 k为任意常数。 当 = 时，有 r(A)= =24，故方程组有无穷多解，且 0 = 为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 1 =(1，3，1，0) T ， 2 =(1，2，0，2) T ，故方程组的全部解为 k 1 ，k 2 为任意常数。 )解析：23.设二次型(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 3x 3 2 +2ax 1 x 2 4x 1 x+ 3
23、+8x 2 x 3 (其中 a为整数)经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +6y 2 2 +by 3 2 ，求： ()参数 a，b 的值； ()正交变换矩阵Q。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型矩阵为 A= ，由二次型的标准形 f=y 1 2 +6y 2 2 +6y 3 2 ，可知该二次型矩阵的特征值为 1 =1， 2 =6， 3 =b，根据特征值的和与乘积的性质可得方程组 )解析：24.设随机变量 Y服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量 X k = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()PX 0 =0，X 1 =0=PY0，Y1=PY=0=e 1 ， PX 0
24、 =1，X 1 =0=PY0，Y1=PY=1=e 1 ， PX 0 =0，X 1 =1=PY0，Y1=0， PX 0 =1，X 1 =1=PY0，Y1=PY1 =1PY=0PY=1=12e 1 。 所以 X 0 和 X 1 的联合分布律为： ()由()知，X 0 和 X 1 的边缘分布律为： 所以，E(X 0 X 1 )=E(X 0 )E(X 1 )=(1e 1 )(12e 1 )=e 1 。 ()由()()的计算结果，X 0 X 1 的分布律为： )解析：25.设总体 X的概率密度为 f(x；)= X 1 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本。 ()求 的矩估计量 ； ()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()E(X)= + xf(x)dx= 得 的矩估计量 )解析：
