1、考研数学（数学三）模拟试卷 454及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)，g(x)在(，+)上有定义，且 x=x 1 是 f(x)的唯一间断点，x=x 2 是 g(x)的唯一间断点，则( )（分数：2.00）A.当 x 1 =x 2 时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x 1 。B.当 x 1 x 2 时，f(x)+g(x)必有两个间断点 x=x 1 与 x=x 2 。C.当 x 1 =x 2 时，f(x)g(x)必有唯一间断点 x=
2、x 1 。D.当 x 1 x 2 时，f(x)g(x)必有两个间断点 x=x 1 与 x=x 2 。3.设 （分数：2.00）A.NPM。B.MPN。C.PMN。D.NMP。4.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列选项中正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2 。B.B=P 1 AP 2 1 。C.B=P 2 AP 1 。D.B=P 2 1 AP 1 。7.已知三阶矩阵 A的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A是不可逆的。B.矩阵 A的主对角
3、元素之和为 0。C.1和1 所对应的特征向量正交。D.Ax=0的基础解系由一个向量构成。8.设(X，Y)服从 D=(x，y)x 2 +y 2 a 2 上的均匀分布，则( )（分数：2.00）A.X与 Y不相关，也不独立。B.X与 Y相互独立。C.X与 Y相关。D.X与 Y均服从均匀分布 U(a，a)。9.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，且 X i (i=1，2，n)服从参数为 的指数分布，则下列各式成立的是( )(其中 (x)表示标准正态分布的分布函数) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)为可导的偶函数，满足 （分数：2.
4、00）填空项 1:_11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 z=z(x，y)具有二阶连续的偏导数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 均为三阶矩阵，将 A的第一行加到第二行得到 A 1 ，将 B的第二列和第三列交换得到 B 1 ，若 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_15.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(1，2； 2 ， 2 ；0)，则 PXY22X+Y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.设 z= ，其中 f(u)具有二阶连续导数，f(0)=f(0)=0，且 （分数：2.00）_19.证明不等式 3xtanx+2sinx，x(0， （分数：2.00）_20.计算二重积分 （分数：2.00）_21.求幂级数 （分数：2.00）_22.已知线性方程组 （分数：2.00）_23.设二次型 x T Ax=ax 1 2 +2x 2 2 x 3 2 +8x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2cx 2 x 3 ，实对称矩阵 A满足AB=O，其中 B= （分数：2.00）_24.已知随机变量 X的概率密度为 f
6、 X (x)= （分数：2.00）_25.设总体的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 454答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)，g(x)在(，+)上有定义，且 x=x 1 是 f(x)的唯一间断点，x=x 2 是 g(x)的唯一间断点，则( )（分数：2.00）A.当 x 1 =x 2 时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x 1 。B.当 x 1 x 2 时，f(x)+g(x)必有两个间断
7、点 x=x 1 与 x=x 2 。 C.当 x 1 =x 2 时，f(x)g(x)必有唯一间断点 x=x 1 。D.当 x 1 x 2 时，f(x)g(x)必有两个间断点 x=x 1 与 x=x 2 。解析：解析：令 F(x)=f(x)+g(x)，假设 F(x)在 x=x 1 处连续，由 f(x)=F(x)g(x)及已知条件 g(x)仅在x=x 2 处间断，其他点处均连续，于是推出 f(x)在 x=x 1 处连续，这与已知条件矛盾，故 F(x)在 x=x 1 处间断。同理，推出 F(x)在 x=x 2 处亦间断。下面一一举出其他三个选项的反例： 选项(A)的反例 f(x)= g(x)=f(x)
8、，而 f(x)+g(x)=0无间断点；选项(C)的反例与选项(A)的相同，此时 f(x)g(x)=1，无间断点；选项(D)的反例 3.设 （分数：2.00）A.NPM。B.MPN。C.PMN。 D.NMP。解析：解析：根据奇、偶函数的运算法则及奇、偶函数在对称区间上的积分性质可知4.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据已知可知积分区域为 D=(x，y) x，sinxy1，据此画出积分区域的图形如图 1所示： 在区域 D中最高点纵坐标为 y=1，最低点纵坐标为 y=0，左边界方程为x=siny，右边界方程为 x=，因此5.下列选项中
9、正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：比较判别法极限形式仅适合正项级数，故选项(A)不正确。由反例，6.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2 。B.B=P 1 AP 2 1 。 C.B=P 2 AP 1 。D.B=P 2 1 AP 1 。解析：解析：将 A的 2，3 两行对调，再将第 1列的2 倍加到第 3列得矩阵 B，于是有7.已知三阶矩阵 A的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A是不可逆的。B.矩阵 A的主对角元素之和为 0。C.1和1 所对应的特征向量正交。 D.Ax=0的基础解系由一个向量构成。解析：解析：根据
10、A= 1 2 3 =0，a 11 +a 22 +a 33 = 1 + 2 + 3 =0，可知选项(A)和选项(B)正确；而 1 =0是单根，因此(0EA)x=一 Ax=0只有一个线性无关的解向量，即 Ax=0的基础解系只由一个线性无关解向量构成，选项(D)也正确。故选(C)。8.设(X，Y)服从 D=(x，y)x 2 +y 2 a 2 上的均匀分布，则( )（分数：2.00）A.X与 Y不相关，也不独立。 B.X与 Y相互独立。C.X与 Y相关。D.X与 Y均服从均匀分布 U(a，a)。解析：解析：因为 由对称性 E(X)=E(Y)=0，E(XY)=0。于是 Cov(X，Y)=E(XY)E(X
11、)E(Y)=0， 从而 XY =0，即 X与 Y不相关。 又 同理 9.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，且 X i (i=1，2，n)服从参数为 的指数分布，则下列各式成立的是( )(其中 (x)表示标准正态分布的分布函数) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据列维一林德伯格中心极限定理有：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)为可导的偶函数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=4(x+1)）解析：解析：因为 =2，所以 =0，即11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析
12、：结合定积分的极限定义式12.设函数 z=z(x，y)具有二阶连续的偏导数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z(x，y)= ）解析：解析：因为 =x+y，对 x积分可得13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=3）解析：解析：原函数可化为14.设 A，B 均为三阶矩阵，将 A的第一行加到第二行得到 A 1 ，将 B的第二列和第三列交换得到 B 1 ，若 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知，A 1 =E 12 (1)A，B 1 =BE 23 ，所以 A 1 B
13、 1 =E 12 (1)ABE 23 ，从而 AB=E 12 1 (1)A 1 B 1 E 23 1 =E 12 (1)A 1 B 1 E 23 15.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(1，2； 2 ， 2 ；0)，则 PXY22X+Y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题可得 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )，从而 PXY22X+Y=PX(Y+2)Y+2 =PX1，Y2+PX1，Y2， 因为 =0，所以 X，Y 相互独立，因此 上式=PX1PY2+PX1PY2= 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出
14、文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据等价无穷小替换公式， )解析：18.设 z= ，其中 f(u)具有二阶连续导数，f(0)=f(0)=0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z= ，其中 f(u)具有二阶连续导数， 代入方程 即 f“(u)f(u) =u。 求解该二阶微分方程可得， f(u) =C 1 e u + C 2 e u u， 将 f(0)=f(0)=0代入上式。可解得 ，故 )解析：19.证明不等式 3xtanx+2sinx，x(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=t
15、anx+2sinx3x，x(0， )， 则 f(x)=sec 2 x +2cosx3， f“(x) =2 sec 2 xtanx2sinx=2sinx(sec 3 1)， 由于当 x(0， )时 sinx0，sec 3 x10，则 f“(x)0，函数 f(x)=sec 2 x+2cosx3 为增函数，且 f (0)=0，因此 x(0， )时， f (x)=sec 2 x+2cosx30， 进一步得函数 f(0)为增函数，由于 f(0)=0，因此 f(x)=tanx+2sinx3xf(0)=0，x(0， )， 即不等式 3xtanx+2sinx，x(0， )解析：20.计算二重积分 （分数：2.
16、00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D如图 1所示， 适合先 y后 x， 适合先 x后 y，则该积分分为两部分计算。 )解析：21.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =1，故该级数的收敛半径为 r=1，收敛区间为(1，1)，x=1 时，该级数变为常数项级数 逐项求导可得 故原级数的和函数为 )解析：22.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可知线性方程组的系数矩阵为 A= ，增广矩阵为 对增广矩阵作初等行变换 方程有无穷多解，则 r(A)=r(A，b)3，所以 a=2，b=3。 下面求线性方程组的通解，将增广矩阵化为行最简形。 )解析：23.
17、设二次型 x T Ax=ax 1 2 +2x 2 2 x 3 2 +8x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2cx 2 x 3 ，实对称矩阵 A满足AB=O，其中 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型对应的实对称矩阵为 A= ，因为 AB=O，所以 下面求 A的特征值 A的特征值为 0，6，6。 当 =0 时，求解线性方程组(0EA)x=0，解得 1 =(1，0，1) T ； 当 =6 时，求解线性方程组(6EA)x=0，解得 2 =(1，2，1) T ； 当 =6 时，求解线性方程组(6EA)x=0，解得 3 =(1，1，1) T 。 下将 1 ， 2 ， 3 单位化
18、 则二次型在正交变换 x=Qy的标准形为 f=6y 2 2 6y 3 2 ，其中 )解析：24.已知随机变量 X的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据 ()当 y0 时，F Y (y)=0，当 y0 时， F Y (y)=PYy=Pmax(X，X 2 )y=PXy，X 2 y =PXyP 从而 Y的概率密度函数为 )解析：25.设总体的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩估计量：由已知可得 最大似然估计量：设样本 X 1 ，X n 的取值为x 1 ，x n ，则对应的似然函数为 关于 求导得 0，则 L随着 的增大而减小，即 取最小值时，L 取得最大， 因为 )解析：
