1、考研数学（数学三）模拟试卷 456 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若函数 f(x)在点 x 0 处的左导数 f (x 0 )和右导数 f + (x 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.函数 f(x)在点 x 0 处必可导B.函数 f(x)在点 x 0 处不一定可导，但必连续C.函数 f(x)在点 x 0 处不一定连续，但极限 D.极限3.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小
2、值C.(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点4.设 t0，则当 t0 时， （分数：2.00）A.2B.4C.6D.85.微分方程 y“一 4y=x 2 +cos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax 2 +bx+c)+(A cos2x+B sin2x)B.(ax 2 +bx+c)+c(A cos2x+B sin2x)C.(ax 3 +bx 2 +cx)+(A cos2x+B sin2x)D.(ax 3 +bx 2 +cx)+x(A cos2x+B sin2x)6.设 A，B 及 A * 都是 n(n
3、3)阶非零矩阵，且 A T B=O，则 r(B)等于( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.37.设三阶矩阵 A 的特征值为2，0，2，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.r(A)=2B.tr(A)=0C.AX=0 的基础解系由一个解向量构成D.2 和 2 对应的特征向量正交8.设随机变量 向量组 1 ， 2 线性无关，则 X 1 2 ， 2 +X 2 线性相关的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 由切比雪夫不等式得 PX+Y110( ). （
4、分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.y“2y3ye x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 (，m，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(m，1，1m) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 m 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为总体 X 的简单随机样本，
5、 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 （分数：2.00）_18.设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 q 1 (吨)与 q 2 (吨)时，总收入函数为R(q 1 ，q 2 )=15q 1 +34q 2 q 1 2 4q 2 2 2q 1 q 2 36(万元)，设生产 1 吨甲产品要支付排污费1 万元，生产 1 吨乙产品要支付排污费 2 万元 (I)如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润多少?
6、 ()当排污费总量为 6 万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?（分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导 证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_20.求级数 （分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.(I)设 A，B 为 n 阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵 A，B 相似 ()设 （分数：2.00）_23.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三维列向量且 1 0，若 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 (I)证明：向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关 ()证明：A
7、 不可相似对角化（分数：2.00）_24.设随机变量 X 的概率密度为 对 X 作两次独立观察设两次的观察值为 X 1 ，X 2 ，令 （分数：2.00）_25.设总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 456 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若函数 f(x)在点 x 0 处的左导数 f (x 0 )和右导数 f + (x 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.函数 f(x)在点 x 0 处必可导B.函数
8、f(x)在点 x 0 处不一定可导，但必连续 C.函数 f(x)在点 x 0 处不一定连续，但极限 D.极限解析：解析： 3.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值 C.(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：因为 所以由极限的保号性，存在 0，当 0x1 时，有4.设 t0，则当 t0 时， （分数：2.00）A.2B.4C.6 D.8解析：解析：5.微分方程 y“一 4y=x 2 +cos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(
9、ax 2 +bx+c)+(A cos2x+B sin2x)B.(ax 2 +bx+c)+c(A cos2x+B sin2x)C.(ax 3 +bx 2 +cx)+(A cos2x+B sin2x) D.(ax 3 +bx 2 +cx)+x(A cos2x+B sin2x)解析：解析：特征方程为 2 4=0，特征值为 1 =0， 2 =4， 方程 y“4y=x 2 的特解为 y 1 =x(ax 2 +bx+c)=ax 3 +bx 2 +cx； 方程 y“4y=cos2x 的特解为 A cos2x+B sin2x，故选 C6.设 A，B 及 A * 都是 n(n3)阶非零矩阵，且 A T B=O，
10、则 r(B)等于( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：因为 A T B=O 且 B 为非零矩阵，所以方程组 A T X=0 有非零解，从而 r(A T )=r(A)n，于是 r(A * )=0 或 r(A * )=1，又因为 A * 为非零矩阵，所以 r(A * )=1由 r(A * )=1 得 r(A)=n1，从而r(A T )=n1由 A T B=O 得 r(A T )+r(B)n，于是 r(B)1，又 B 为非零矩阵，所以 r(B)1，于是r(B)=1，选 B7.设三阶矩阵 A 的特征值为2，0，2，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.r(A)=2B.
11、tr(A)=0C.AX=0 的基础解系由一个解向量构成D.2 和 2 对应的特征向量正交 解析：解析：因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化，从而 r(A)=2，A 是正确的； 由 tr(A)=2+0+2=0 得 B 是正确的； 因为 =0 是单特征值，所以 =0 只有一个线性无关的特征向量，即方程组(0EA)X=0 或 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，C 是正确的； 2 与 2 对应的特征向量一般情况下线性无关，只有 A 是实对称矩阵时才正交，选 D8.设随机变量 向量组 1 ， 2 线性无关，则 X 1 2 ， 2 +X 2 线性相关的概率为( ) （分数：2.0
12、0）A.B.C. D.解析：解析：(X 1 2 ， 1 +X 2 )=( 1 ， 2 ) 因为 1 ， 2 线性无关，所以向量组 X 1 2 ， 1 +X 2 线性无关的充分必要条件是 即 X=1，故向量组 X 1 2 ， 1 +X 2 线性相关的概率为 9.设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 由切比雪夫不等式得 PX+Y110( ). （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2Cov(X，Y)=13，则P
13、X+Y110)=PZE(Z)10)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：方法一： 方法二：11.设由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：将 x=e，y=0 代入得 z=1 方法一：x=ze y+z 两边求微分得 dx=ze y+z dy+(z+1)e y+z dz， 12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 为奇函数，所以13.y“2y3ye x 的通解为 1（分数：2.00）填空项
14、1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e -x +C 2 e 3x ）解析：解析：特征方程为 2 23=0，特征值为 1 =1， 2 =3，则方程 y“2y3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x . 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe x ，代入原方程得 于是原方程的通解为 14.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 (，m，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(m，1，1m) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 m 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值，
15、 1 =(m，m，1) T 为其对应的特征向量 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，A+E=0，=1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为 2 =(m，1,1m，1) T ，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=115.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(3)）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)二阶可导
16、，且 f(0)=0，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 q 1 (吨)与 q 2 (吨)时，总收入函数为R(q 1 ，q 2 )=15q 1 +34q 2 q 1 2 4q 2 2 2q 1 q 2 36(万元)，设生产 1 吨甲产品要支付排污费1 万元，生产 1 吨乙产品要支付排污费 2 万元 (I)如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润多少? ()当排污费总量为 6 万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)利润函数为。
17、 L(q 1 ，q 2 )=R(q 1 ，q 2 )q 1 2q 2 =14q 1 +32q 2 q 1 2 4q 2 2 2q 1 q 2 36 令 得 q 1 =4，q 2 =3，因为驻点唯一，且该实际问题存在最大值，故当 q 1 =4，q 2 =3 时 L(q 1 ，q 2 )达到最大，最大值为 L(4，3)=40(万). ()令 F(q 1 ，q 2 ，)=L(q 1 ，q 2 )+(q 1 +2q 2 6)， 令 )解析：19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导 证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)=cosx， g(x)=
18、sinx0(axb)， )解析：20.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.(I)设 A，B 为 n 阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵 A，B 相似 ()设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A，B 的特征值为 1 ， 2 ， n ，因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 于是 P 1 1 AP 1 =P 2 1 BP 2 ，或(P 1 P 2 1 ) 1 A(P 1 P 2 1 )=B， 令 P=P 1 P 2 1 ，则 P 1 AP=B，即
19、矩阵 A，B 相似 )解析：23.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三维列向量且 1 0，若 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 (I)证明：向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关 ()证明：A 不可相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由 A 1 = 1 得(AE) 1 =0， 由 A 2 = 1 + 2 得(AE) 2 = 1 ， 由 A 3 = 2 + 3 得(AE) 3 = 2 令 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0， 1) 两边左乘以(AE)得 k 2 1 +k 3 2 =0， 2) 两边再左乘(AE)得惫 k 3
20、 1 =0， 由 1 0 得 k 3 =0，代入 2)得 k 2 1 =0，则 k 2 =0， 再代入 1)得 k 1 1 =0，从而 k 1 =0，于是 1 ， 2 ， 3 线性无关 ()令 P=( 1 ， 2 ， 3 )， 由(A 1 ，A 2 ，A 3 )=( 1 ， 1 + 2 ， 2 3 )得 由EA=EB=(1) 3 =0 得 A 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， )解析：24.设随机变量 X 的概率密度为 对 X 作两次独立观察设两次的观察值为 X 1 ，X 2 ，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 X 1 ，X 2 相互独立，所以 PX 1 0，X 2 1=PX 1 0PX 2 1， ()(Y 1 ，Y 2 )可能的取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) )解析：25.设总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0， )解析：
