1、考研数学（数学三）模拟试卷 459 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 f“(x)在(0，2)上连续， （分数：2.00）A.点(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(1)是函数 y=f(x)的极小值C.f(1)是函数 y=f(x)的极大值D.点(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的极值3.的根的个数为( ) （分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设 f(x)连续，且满足 则关于 f(x)的极
2、值问题有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 0，f(x)在(，)内恒有 f“(x)0，且f(x)x 2 ，记 （分数：2.00）A.I=0B.I0C.I0D.不能确定6.已知四维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，若向量 i (i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1 ， 2 ， 3 均正交，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 1 的秩为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1 ， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0 的一个基础解系为(1，0，4，0) T ，则方程组 A * X=0 的基础解系为
3、( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 2 ， 3 ， 1 + 3C. 1 ， 3 ， 4D. 1 + 2 ， 2 +2 4 ， 18.设 XN(1，4)，YN(3，16)，PY=aX+b=1，且 XY =1，则( )（分数：2.00）A.a=2，b=5B.a=2，b=5C.a=2，b=5D.a=2，b=59.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1 ，X 2 ，X n )为总体的简单样本， 则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)满足
4、 f(x，1)=0，f y (x，0)=sinx，f“ yy (x，y)=2x，则 f(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.过曲线 (x0)上的一点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为 （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，Z=minX，Y，则 PZE(Z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 y=y(x)由 x 3 +3x 2 y2y 2 =2
5、 确定，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_18.讨论方程 lnx=kx 的根的个数（分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.已知微分方程 作变换 u=x 2 +y 2 ， （分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的向量组，且 A 1 = 1 +3 2 ，A 2 =5 1 2 ，A 3 = 1 2 +4 3 (I)求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 Q，使得 Q 1 叫 AQ 为对角矩阵（分数：2.00）_24.设随机变量 X 服从参数为 A 的指数分布，令 （分数：2
6、.00）_25.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i (i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X n 设 E(X i )=(i=1，2，n)，问 k 1 ，k 2 ，k n 应取何值，才能在使用 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 459 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 f“(x)在(0，2)上连续， （分数：2.00）A.点(1，f(1)是曲线
7、 y=f(x)的拐点B.f(1)是函数 y=f(x)的极小值C.f(1)是函数 y=f(x)的极大值 D.点(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的极值解析：解析： 当 x(1，1)时，f(x)0；当 x(1，1+)时，f(x)0，从而 x=1 为 f(x)的极大值点；3.的根的个数为( ) （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析： 由 f(x)=(x+1)e x+1 =0 得 x=1， 4.设 f(x)连续，且满足 则关于 f(x)的极值问题有( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：5.设 0，f(x)在(，)内恒有 f“
8、(x)0，且f(x)x 2 ，记 （分数：2.00）A.I=0B.I0 C.I0D.不能确定解析：解析：因为f(x)x 2 ，所以 f(0)=0，由f(x)x 2 ，得 由夹逼定理得 f(0)=0 6.已知四维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，若向量 i (i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1 ， 2 ， 3 均正交，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 1 的秩为( )（分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析：设 i =( i1 ， i2 ， i3 ， i4 ) T (i=1，2，3)，由已知条件有 i T j =0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)即 i (i=1，
9、2，3，4)为方程组 7.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1 ， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0 的一个基础解系为(1，0，4，0) T ，则方程组 A * X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 2 ， 3 ， 1 + 3C. 1 ， 3 ， 4D. 1 + 2 ， 2 +2 4 ， 1 解析：解析：由 r(A)=3 得 r(A * )=1，则 A * X=0 的基础解系由 3 个线性无关的解向量构成 由 1 4 3 =0 得 1 ， 3 成比例，显然 A、B、C 不对，选 D8.设 XN(1，4)，YN(3，16)，
10、PY=aX+b=1，且 XY =1，则( )（分数：2.00）A.a=2，b=5B.a=2，b=5C.a=2，b=5 D.a=2，b=5解析：解析：由 EY=aEX+b 得 a+b=3， 再由 DY=a 2 DX 得 4a 2 =16， 因为 XY =1，所以 a9.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1 ，X 2 ，X n )为总体的简单样本， 则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解
11、析：解析：交换积分次序得12.设 f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y (x，0)=sinx，f“ yy (x，y)=2x，则 f(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xy 2 +ysinxxsinx）解析：解析：由 f“ xy (x，y)=2x 得 f y (x，y)=2xy+(x)，因为 f y (x，0)=sinx，所以 (x)=sinx，即 f y (x，y)=2xy+sinx，再由 f y (x，y)=2xy+sinx 得 f(x，y)=xy 2 +y sinx+(x)，因为f(x，1)=0，所以 (x)=xsinx，故 f(x，y)=zy 2
12、 +ysinxxsinx13.过曲线 (x0)上的一点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 切线与 x 轴的交点为(2a，0)，所求的面积为14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 B=AE 12 (2)E 13 所以B=AE 12 (2)E 13 =3， 又因为 B * =BB 1 ，所以 B * =3E 13 1 E 12 1 (2)A 1 =3E 13 E 12 (2)A 1 ， 故 15.设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，Z=minX
13、，Y，则 PZE(Z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：服从参数为 的指数分布的随机变量的分布函数为 Z 的分布函数为 F Z (z)=PZz=1PZz=1PXz，Yz =1PXzPYz=11F(z)-1F(z) 即 ZE(2)，则 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 y=y(x)由 x 3 +3x 2 y2y 2 =2 确定，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 +3x 2 y2y 3 =2 两边对 x 求导得 3x 2
14、 +6xy+3x 2 y=6y 2 y=0。 )解析：18.讨论方程 lnx=kx 的根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：情形一：当 k=0 时，方程只有唯一实根 x=1； 情形二：当 k0 时，令 f(x)=lnxkx(x0)， )解析：19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 )解析：20.已知微分方程 作变换 u=x 2 +y 2 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 情形一：a0 当 a0 且 ab+10 时，方程组有
15、唯一解； 当 a0 且ab+1=0 时，方程组有无数个解， 当 b1 时，方程组无解； 当 b=1 时，方程组有无数个解，)解析：23.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的向量组，且 A 1 = 1 +3 2 ，A 2 =5 1 2 ，A 3 = 1 2 +4 3 (I)求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 Q，使得 Q 1 叫 AQ 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆 因为 A 1 = 1 +3 2 ，A 2 =5 1 一 2 ，A 3 = 1 2 +4 3
16、， 所以(A 1 ，A 2 ，A 3 )( 1 +3 2 ，5 1 2 ， 1 2 +4 3 )， 得 A 的特征值为 1 =4， 2 = 3 =4 ()因为 AB，所以 B 的特征值为 1 =4， 2 = 3 =4 因为 P 1 AP=B，所以 )解析：24.设随机变量 X 服从参数为 A 的指数分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)PX+Y=0=PY=X=PX1 =1PX1=1(1e )=e ()F Y (y)=PYy=PYy，0X1+PYy，X1 =PXy，0X1+PXy，X1 当y1 时，F Y (y)=PXy=1PXy=e y ； 当1y Y (y)=PX1=e ； 当 0y1 时，F Y (y)=P0 y+e ； 当 y1 时，F Y(y)=P0X1+PX1=1 *)解析：25.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i (i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X n 设 E(X i )=(i=1，2，n)，问 k 1 ，k 2 ，k n 应取何值，才能在使用 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 E(X i )=(i=1，2，n)，所以 的无偏性要求是 这就是约束条件，而目标函数为 由拉格朗日乘数法，作函数 )解析：
