1、考研数学（数学三）模拟试卷 463 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内存在二阶导数，且 =a0，则存在点(x 0 ，f(x 0 )的左、右侧邻域 （分数：2.00）A.曲线 y=f(z)在B.曲线 y=f(z)在C.曲线 y=f(z)在D.曲线 y=f(z)在3.设函数 z=z(x，y)由方程 F( )=0 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 0，则 （分数：2.00）A.xB.yC.zD.04.设 a n
2、x n 在 x=3 处条件收敛，则 （分数：2.00）A.必绝对收敛B.必条件收敛C.必发散D.敛散性要看具体的a n 5. （分数：2.00）A.B.C.D.6.设非齐次线性方程组 Ax=b 有通解 k 1 1 +k 2 2 +=k 1 (1，2，0，2) T +k 2 (4，一 1，一1，一 1) T +(0，0，0，1) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，则下列向量中不是 Ax=b 的解向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1 =(1，2，0，一 1) T B. 2 =(6，1，一 2，一 1) T C. 3 =(一 5，8，2，一 3) T D. 4 =(5，1，一 1，一
3、2) T 7.设 A= ，则 AB； A （分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.设(X，Y)是二三维连续型随机变量，下列各式都有意义，若 X 与 Y 独立，则下列式中必成立的个数为 ( ) E(XY)=EXEY； F XY (xy)=f X (x)； PXx，Yy=1 一 F X (x)F Y (y)； 令 Z=X+Y，则F Z (z)= - + F X (zy) Y (y)dy（分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.假设总体 X 在非负整数集0，1，2，k上等可能取值，k 为未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 为来自总体 X 的简单随机样本值，则 k 的最大似然估计值为 (
4、)（分数：2.00）A.x n B.C.minx 1 ，x n D.maxx 1 ，x n 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.直角坐标中的累次积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 f(x)= 0 x f(zt)dt+ 0 1 f 2 (t)dt，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设常数 a0，双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )围成的平面区域(如图)记为 D，则二重积分 (x 2 +y 2 )d= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00
5、）填空项 1:_14.设方程组()： （分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 的方差都是 2 ，任意两个随机变量之间的相关系数都是 ，则 的最小值= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 F(x)= - + xt （分数：2.00）_18.设 D=(x，y)0x2，0y2，计算 （分数：2.00）_19.()叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微及微分 的定义； ()证明下述可微的必要条件定理：设 z=f(x，
6、y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f x (x 0 ，y 0 )与 f y (x 0 ，y 0 )都存在，且 （分数：2.00）_20.设 f(x)在闭区间a，b上连续，常数 k0并设 (x)= x b f(t)dtk a x f(t)dt 证明：()存在 a，b，使 ()=0； ()若增设条件 f(x)0，则()中的 是唯一的，且必定有(a，b)（分数：2.00）_21.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.已知 A= （分数：2.00）_24.设(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= ()求 Z=X 一 2Y
7、 的概率密度；()求 PX （分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X 5 是总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，X= X ()令随机变量 Y= +(X 4 一 X 5 ) 2 ，求 EY 与 DY； ()求随机变量 Z= 的分布； ()给定 (005)，常数 c 满足 PZc=，设随机变量 UF(2，1)，求 PU （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 463 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=x
8、0 的某邻域内存在二阶导数，且 =a0，则存在点(x 0 ，f(x 0 )的左、右侧邻域 （分数：2.00）A.曲线 y=f(z)在B.曲线 y=f(z)在 C.曲线 y=f(z)在D.曲线 y=f(z)在解析：解析：由所给条件推知存在 x=x 0 的去心邻域 0于是知， 当 x (x 0 )且 xx 0 时，f“(x)0，曲线是凸的；当 x 3.设函数 z=z(x，y)由方程 F( )=0 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 0，则 （分数：2.00）A.xB.yC.z D.0解析：解析：对方程 F( )=0 两边关于 x 求偏导数，得 再将原方程两边对 y 求偏导数，得4.设 a n
9、x n 在 x=3 处条件收敛，则 （分数：2.00）A.必绝对收敛 B.必条件收敛C.必发散D.敛散性要看具体的a n 解析：解析： a n x 在 x=3 处条件收敛，所以收敛半径 R=3，所以 5. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：作积分变量代换，令 u=xt，6.设非齐次线性方程组 Ax=b 有通解 k 1 1 +k 2 2 +=k 1 (1，2，0，2) T +k 2 (4，一 1，一1，一 1) T +(0，0，0，1) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，则下列向量中不是 Ax=b 的解向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1 =(1，2，0，一 1) T
10、 B. 2 =(6，1，一 2，一 1) T C. 3 =(一 5，8，2，一 3) T D. 4 =(5，1，一 1，一 2) T 解析：解析：若 是 Ax=b 的解，则 可表示成 k 1 1 +k 2 2 ，即 一 =k 1 1 +k 2 2 若 一 可由 1 ， 2 线性表示，则是 Ax=0 的解；若不能由 1 ， 2 线性表示，则不是Ax=0 的解将 1 ， 2 ， 1 一 ， 2 一 ， 3 一 ， 4 一 合并成矩阵，并一起作初等行变换 7.设 A= ，则 AB； A （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：四项均正确 将 A 的 1，3 行互换，且 1，3 列互换
11、得 B，即 E 13 AE 13 =B(或 E 24 AE 24 =B)因 E 13 =E 13 =E 13 ，故有 E 13 AE 13 =B，即 AB；E 13 AE 13 =B，即 A 8.设(X，Y)是二三维连续型随机变量，下列各式都有意义，若 X 与 Y 独立，则下列式中必成立的个数为 ( ) E(XY)=EXEY； F XY (xy)=f X (x)； PXx，Yy=1 一 F X (x)F Y (y)； 令 Z=X+Y，则F Z (z)= - + F X (zy) Y (y)dy（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：显然成立； 成立，事实上 f XY (xy)=
12、 =f X (x)； 不成立，事实上 PXx，Yy=1 一 =1 一 PXxYy 1 一 F X (z)F Y (y)； 成立，事实上 F Z (z)=PX+Yz= 9.假设总体 X 在非负整数集0，1，2，k上等可能取值，k 为未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 为来自总体 X 的简单随机样本值，则 k 的最大似然估计值为 ( )（分数：2.00）A.x n B.C.minx 1 ，x n D.maxx 1 ，x n 解析：解析：由题意，知 X 的分布律 似然函数 L(x 1 ，x n ；k)= (0x i k，i=1，2，n) 则 ln L=一 nln(k+1)，故 二、填空题(总题数：
13、6，分数：12.00)10.直角坐标中的累次积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：按题目上、下限，积分区域 D 如图阴影部分所示，对 y 的积分上限方程 y= ，化为极坐标为 r=2acos 。 对 y 的积分下限方程 y=2a ，化为极坐标为 r=4asin 。 OA 的倾斜角记为 0 ，tan 0 = 于是，由极坐标，直线段 OA 将 D 分成两块，在极坐标系中，积分如答案所示 11.设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 f(x)= 0 x f(zt)dt+ 0 1 f 2 (t)dt，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项
14、1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x)= 0 x f(xt)dt+ 0 1 f 2 (t)dt(第个积分令 xt=u) =一 x 0 f(u)du+ 0 1 f 2 (t)dt= 0 x f(u)du+ 0 1 f 2 (t)dt 令 0 1 f 2 (t)dt=a，于是 f(x)= 0 x f(u)du+a，f(x)=f(x)，f(0)=a， 解得 f(x)=Ce x 由 f(0)=a，得 f(x)=ae x ，代入 0 1 f 2 (t)dt=a 中，得 a= 0 1 f 2 (t)dt=a 2 0 1 e 2t dt= (e 2 1) 解得 a=0(舍去)，a 12.设常
15、数 a0，双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )围成的平面区域(如图)记为 D，则二重积分 (x 2 +y 2 )d= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*a）解析：解析：由于被积函数及积分区域 D 关于两坐标轴都对称，所以13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：14.设方程组()： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：法一 解方程组()，求出 x 1 ，x 2 ，x 3 ，代入即得 对方程组()的增广矩阵作初等行变换， 15.已知随机变量 X 1 ，X
16、 2 ，X 3 的方差都是 2 ，任意两个随机变量之间的相关系数都是 ，则 的最小值= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题可得 D(X 1 +X 2 +X 3 )=DX 1 +DX 2 +DX 3 +2Coy(X 1 ，X 2 )+2Cov(X 1 ，X 3 )+2Cov(X 2 ，X 3 ) =3 2 +6 2 =3 2 (1+2)0， 所以 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 F(x)= - + xt （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 将第一
17、个积分作积分变量代换，令 t=一 u，并将变换后的 u 仍记为 t，并与第二项合并，注意到这两个反常积分都是收敛的，于是 )解析：18.设 D=(x，y)0x2，0y2，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作出区域 D，如图所示在 D 中作曲线 y= ，将区域 D 分成 D 1 ，D 2 及 D 3 )解析：19.()叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微及微分 的定义； ()证明下述可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f x (x 0 ，y 0 )与 f y (x 0 ，y 0 )都存在，且 （分数：2.00）_正
18、确答案：(正确答案：()定义：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某邻域 U 内有定义，(x 0 +x，y 0 +y)U增量 z=f(x 0 +x，y 0 +y)一 f(x 0 ，y 0 ) Ax+By+()， (*) 其中A，B 与x 和y 都无关，= =0，则称 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，并称 为z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的微分 ()证 设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则(*)式成立令y=0，于是 令x0，有 =B证明了 f x (x 0 ，y 0 )与 f y (x 0 ，y 0 )存在，并且 =f x (x 0 ，
19、y 0 )x+f y (x 0 ，y 0 )y ()当 f x (x 0 ，y 0 )与 f y (x 0 ，y 0 )存在时，z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处未必可微反例： 同理 f y (0，0)=0 两个偏导数存在以下用反证法证出 f(x，y)在点(0，0)处不可微若可微，则有 f=f(x，y)一 f(0，0)=0x+0y+()， 但此式是不成立的例如取y=kx， )解析：20.设 f(x)在闭区间a，b上连续，常数 k0并设 (x)= x b f(t)dtk a x f(t)dt 证明：()存在 a，b，使 ()=0； ()若增设条件 f(x)0，则()中的 是唯一的，且必
20、定有(a，b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(a)= a b f(t)dt，(b)=一 k a b f(t)dt， (a)(b)=一 k a b f(t)dt0 如果 a b f(t)dt=0，则 (a)(b)=0取 =a 或 =b，使 ()=0如果 a b f(t)dt0，则 (a)(b)0，存在 (a，b)使 ()=0综上，存在 a，b使 ()=0证毕 ()若增设条件 f(x)0，则 (x)=一 f(x)一 kf(x)=一(k+1)f(x)0 由于 f(x)连续且 f(x)0，所以或者 f(x)0，或者 f(x)0，所以 (x)在a，b上严格单调， 则 (x)至多有一个零点
21、，又由()知 (a)(b)0，则()中的 是唯一的，且 (a，b)解析：21.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：化为极坐标，得 此为 f(t)的一阶线性微分方程由通解公式，得 又由题设有 f(0)=1，因此 C=1从而 f(t)=(4t 2 +1) )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用待定元素法求 X设 X= ，代入方程，得 取 x 3 =2k 1 ，得 x 2 =一 k 1 取 x 4 =k 2 ，得 x 1 =k 2 故 X= ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数 ()法一 AX 一X4=E，设 X=
22、 ，由()得 )解析：23.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故有 1 =1+a， 2 =a， 3 =1 一 a 看特征方程是否有重根，对任意的 a， 1 =1+a 2 =a 若 1 =1+a= 3 =1 一 a，则 a=0；若 2 =a= 3 =1 一 a，则 a= 故当 a0 且 a 时， 1 2 3 ，A 有三个不同的特征值，可以相似对角化 当 a= ，是二重特征值 由于 EA)=2，对应线性无关特征向量只有一个，故 A 不可相似对角化 当 a=0 时， 1 = 3 =1，是二重特征值 由于 EA= )解析：24.设(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= ()求
23、 Z=X 一 2Y 的概率密度；()求 PX （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()法一 分布函数法 由分布函数的定义 F Z (z)=PZz=PX 一 2Yz，可知 当 z一 1 时，F Z (z)=0； 当一 1z0 时，积分区域如图(a)所示： 当 0z1 时，积分区域如图(b)所示： F Z (z)=PX 一 2Yz=1 一 PX 一 2Yz =1 一 (1z) 2 ； 当 z1 时，F Z (z)=1 综上 法二 公式法 f Z (z)= - + f(z+2y，y)dy， 法二 利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布 即条件Y= 等价于在直线 AB 上随机投点，再要求X 等价于范围缩小到 AC 上随机投点，如图所示， )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X 5 是总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，X= X ()令随机变量 Y= +(X 4 一 X 5 ) 2 ，求 EY 与 DY； ()求随机变量 Z= 的分布； ()给定 (005)，常数 c 满足 PZc=，设随机变量 UF(2，1)，求 PU （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 X 1 ，X 2 ，X 5 是来自总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，由 2 (2)，得 ()由 Zt(2)Z 2 F(1，2) 与 U 同分布，则 PU )解析：
