1、考研数学（数学三）模拟试卷 465 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 a n 0(n=0，1，2，)，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若幂级数B.若 C.若 D.若 3.曲线 y= （分数：2.00）A.只有水平的与铅直的，无斜的B.只有水平的与斜的，无铅直的C.只有铅直的与斜的，无水平的D.水平的、铅直的与斜的都有4.微分方程 y“+2y一 3y=e x 有特解形式 ( )（分数：2.00）A.y * =Ae x (A0)B.y
2、* =(A+Bx)e x (B0)C.y * =(A+Bx+Cx x )r(C0)D.y * =(A+Bx+Cx 2 +Dx 3 )e x (D0)5.f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.无穷多6.已知非齐次线性方程组 A 34 x=b 有通解 k 1 (1，2，0，一 2) T +k 2 (4，一 1，一 1，一 1) T +(1，0，一 1，1) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，则满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是 ( )（分数：2.00）A.(2，2，1，1) T B.(1，1，2，2) T C.(一 2，一 2，一 1，一 1) T D.(
3、2，2，一 1，一 1) T 7.设 A= （分数：2.00）A.a=一 10B.a=10C.a一 10D.a108.设 X 为非负的连续型随机变量且期望存在，对任意 t0，下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.网球男子单打决赛由纳达尔与费德勒进行比赛，比赛采用 7 局 4 胜制，假设每局比赛相互独立按照以往的胜率统计每局比赛纳达尔战胜费德勒的概率为 06，则纳达尔以 4：2 战胜费德勒的概率为 ( )（分数：2.00）A.1506 4 04 2 B.1006 3 04 2 C.1506 3 04 2 D.1006 4 04 2 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)
4、10.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)由方程 x 2 +y=tan(xy)所确定且满足 y(0)=0，则 y“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.一阶差分方程 y t+1 一 y t =t 的通解为 y t = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_14.设向量 可由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，3) T 线性表出，也可由 1 =(一 3，一 2，一 1) T ， 2 =(一 1，0，1) T 线性表出，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 X 在(1，2
5、)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)在闭区间0，1上连续， 0 1 f(x)dx=0， 0 1 e x f(x)dx=0，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的 1 与 2 ，使 f( 1 )=0，f( 2 )=0（分数：2.00）_18.设微分方程 x 2 y+2xy=2(e x 一 1) ()求上述微分方程的通解； ()求使 （分数：2.00）_19.设 D=(x，y
6、)x 2 +y 2 1，(x1) 2 +y 2 1，求 （分数：2.00）_20.设 z=z(x，y)是由方程 z+ln z y x dt=1 确定的函数，计算 （分数：2.00）_21.某产品的成本函数为 C(q)=aq 2 +bq+c，需求函数为 q= （分数：2.00）_22.设齐次线性方程组 A 24 X=0 (*) 有基础解系 1 =(2，3，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1，一 1) T 求齐次线性方程组 （分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_24.已知随机变量 X 与 Y 的部分联合分布列、边缘分布列如下表，且 （分数：2.00）_25.设总体 X 的概
7、率密度为 f(x；)= ，一x+，其中 0 未知X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本 ()利用原点矩求 的矩估计量 是否等于 2 ()求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 465 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 a n 0(n=0，1，2，)，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若幂级数B.若 C.若 D.若 解析：解析： 可见 a n x n 逐项求导而来而逐项求导后，收
8、敛区间是不变的，所以(D)正确 逐项求导后，收敛域可能要缩小例如 的收敛域为一 1，1，而逐项求导后成为 ，收敛域为一 1，1)(C)不正确 收敛半径总是存在的，所以(B)不正确 由 =，则当 =0 时，R=+；当 =+时，R=0；当 0+时，R= 但不能反推，由收敛半径 R0 不能反推 例如考虑幂级数 3.曲线 y= （分数：2.00）A.只有水平的与铅直的，无斜的B.只有水平的与斜的，无铅直的C.只有铅直的与斜的，无水平的D.水平的、铅直的与斜的都有 解析：解析： =，所以有铅直渐近线 x=0； =0+0=0，所以有水平渐近线 y=0(沿 x+方向)；4.微分方程 y“+2y一 3y=e
9、x 有特解形式 ( )（分数：2.00）A.y * =Ae x (A0)B.y * =(A+Bx)e x (B0) C.y * =(A+Bx+Cx x )r(C0)D.y * =(A+Bx+Cx 2 +Dx 3 )e x (D0)解析：解析：对应的齐次方程的特征方程为 r 2 +2r 一 3=0， 特征根 r 1 =1，r 2 =3自由项为 e x ，所以非齐次方程的特解形式为 y * =Bxe x ，而 Ae x 为对应的齐次方程的解，所以 y * 也可写成(A+Bx)e x 的形式，其中 B05.f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.无穷多解析：解析：f(x)为偶函数，f(
10、0)0， 0，从而知在区间(0， )内 f(x)至少有 1 个零点又当 x0 时，6.已知非齐次线性方程组 A 34 x=b 有通解 k 1 (1，2，0，一 2) T +k 2 (4，一 1，一 1，一 1) T +(1，0，一 1，1) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，则满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是 ( )（分数：2.00）A.(2，2，1，1) T B.(1，1，2，2) T C.(一 2，一 2，一 1，一 1) T D.(2，2，一 1，一 1) T 解析：解析：方程组的通解是 由题意知 7.设 A= （分数：2.00）A.a=一 10 B.a=1
11、0C.a一 10D.a10解析：解析：由 A ，A 应有特征值 1 =1， 2 = 3 =2 对应 2 = 3 =2 有 2 个线性无关特征向量，即有 r(2EA)=1 8.设 X 为非负的连续型随机变量且期望存在，对任意 t0，下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则9.网球男子单打决赛由纳达尔与费德勒进行比赛，比赛采用 7 局 4 胜制，假设每局比赛相互独立按照以往的胜率统计每局比赛纳达尔战胜费德勒的概率为 06，则纳达尔以 4：2 战胜费德勒的概率为 ( )（分数：2.00）A.1506 4 04 2 B.1006
12、3 04 2 C.1506 3 04 2 D.1006 4 04 2 解析：解析：纳达尔以 4：2 获胜，共比赛了 6 局在前面 5 局中，纳达尔胜了 3 局，概率为 C 3 06 3 04 2 =1006 3 04 2 ，最后一局纳达尔胜的概率为 06根据乘法原理，所求的概率为1006 3 04 2 06=1006 4 04 2 ，故选 D二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：应先写出 f(x)的表达式： 故知 f(x)正好有两个间断点 x=11.设 y=y(x)由方程 x 2 +y=tan(
13、xy)所确定且满足 y(0)=0，则 y“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：将 x 2 +y=tan(xy)两边对 x 求导，有 2x+y=sec 2 (xy)(1 一 y)， 当 x=0 时，y(0)=0，y(0)= 12.一阶差分方程 y t+1 一 y t =t 的通解为 y t = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：特征方程为 一 1=0，特征根为 =1故对应的齐次方程的通解为 Y=C1t：C 自由项为 t的一次多项式，1 是特征根，故设特解为 y t * =t(At+B)=At 2 +Bt，
14、代入原方程，得 A(t+1) 2 +B(t+1)一(At 2 +Bt)=t， 即 2At+A+B=t 比较系数得 A= 于是通解为 Y t =yl+y t * =C+ 13.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xyf 1）解析：解析：14.设向量 可由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，3) T 线性表出，也可由 1 =(一 3，一 2，一 1) T ， 2 =(一 1，0，1) T 线性表出，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(3，4，5) T ，其中 k 是任意常数）解析：解析：设 = 1 x 1 + 2 x 2
15、 = 1 x 3 + 2 x 4 ，则有 1 x 1 + 2 x 2 1 x 3 2 x 4 =0 对( 1 ， 2 ，一 1 ， 2 )作初等行变换，有 取 x 4 =一 3，则 x 3 =2，x 2 =一 2，x 1 =1 故 = 1 2 2 = 15.已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2ln 2）解析：解析：由题设知 f YX (yx)= 所以(X，Y)的联合概率密度 f(x，y)=f X (x)f YX (yx)= 所以 E(XY 2 )=
16、- + - + xy 2 f(x，y)dxdy= 1 2 xdx 0 + y 2 xe -xy dy= 1 2 x 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)在闭区间0，1上连续， 0 1 f(x)dx=0， 0 1 e x f(x)dx=0，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的 1 与 2 ，使 f( 1 )=0，f( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，有 F(x)=f(x)，F(0)=0，F(1)=0，又 0= 0 1 e x f(x)
17、dx= 0 1 e x dF(x)=e x F(x) 0 1 0 1 F(x)e x dx =一 0 1 F(x)edx 所以存在 (0，1)，使 F()e =0但 e 0，所以 F()=0由于已有 F(0)=0，F(1)=0， 所以根据罗尔定理知，存在 1 (0，)， 2 (，1)，使 F( 1 )=0，F( 2 )=0， 即 f( 1 )=0，f( 2 )=0，其中 1 (0，)， 2 (，1)，证毕)解析：18.设微分方程 x 2 y+2xy=2(e x 一 1) ()求上述微分方程的通解； ()求使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 x0 时，方程可改写为 ()要使 (
18、2e x 一 2x+C)=0，得 C=一 2当 C=一 2 时， )解析：19.设 D=(x，y)x 2 +y 2 1，(x1) 2 +y 2 1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用极坐标，如图所示，点 A 对应的 )解析：20.设 z=z(x，y)是由方程 z+ln z y x dt=1 确定的函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 z+ln z dt=1 两边对 x 求导，有 为计算当 x=0，y=0 时上述偏导数的值，应先计算出 x=0，y=0 时 z 的值 由 z+In z dt=1，将 x=0，y=0 代入，得 z+ln z1=0令 f(z)=z+l
19、n z 一 1=0， 则 所以 f(z)有唯一零点易见 f(1)=0，所以当 x=0，y=0 时，z=1代入(*)式，得 )解析：21.某产品的成本函数为 C(q)=aq 2 +bq+c，需求函数为 q= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利润函数 L(q)=pqC(q)=(q)q 一(aq 2 +bq+c)=一(a+)q 2 +(b)qc L(q)=一 2(a+)q+(b) 令 L(q)=0，得唯一驻点 q 0 = 由于 L“(q)=一 2(a+)0，故当 q=q 0 时，L(q)为极大值，同时也为最大值，所以 L max (q)=一(a+)q 0 2 +( 一 b)q 0 一c=
20、)解析：22.设齐次线性方程组 A 24 X=0 (*) 有基础解系 1 =(2，3，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1，一 1) T 求齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组(*)的通解是满足方程组(*)及 x 1 2x 2 +x 3 +x 4 =0 的全体解，是方程组(*)的通解中又满足方程 x 1 2x 2 +x 3 +x 4 =0 的解 AX=0 有基础解系 1 =(2，3，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1，一 1) T ，其通解为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 (2，3，一 1，0) T +k 2 (1，0，1，一1) T = ，其中 k
21、 1 ，k 2 是任意常数 将其代入方程 x 1 2x 2 +x 3 +x 4 =0，得 (2k 1 +k 2 )一 23k 1 +(一 k 1 +k 2 )一 k 2 =一 5k 1 +k 2 =0 得 k 2 =5k 1 将 k 2 =5k 1 代入(*)的通解，得(*)的通解为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EA= =( 一 a)( 一 2)一 3=( 一 a)( 一 3)(+1)， 知 A有特征值 1 =a， 2 =3， 3 =一 1 当 a3 且 a一 1 时，不论 x 取何值，A 有三个互不相同的特征值，故 A
22、 能相似于对角阵 且 其中 a3 且 a一 1 当 a=3 时，A 有特征值 1 = 2 =3， 3 =1 当 1 = 2 =3 时， 当 x=2 时，r(3EA)=1A 对应 1 = 2 =3 有两个线性无关特征向量，故 A 能相似于对角阵， 且 A 当 x2 时，r(3EA)=2A 对应 1 = 2 =3 只有一个线性无关特征向量，故 A 不能相似于对角阵 当 a=一 1 时，A 有特征值 2 =3， 1 = 3 =一 1 当 1 = 3 =一 1 时， 当 x=一 6 时，r(EA)=1A 对应 1 = 3 =一 1 有两个线性无关特征向量，故 A 能相似于对角阵，且 A )解析：24.
23、已知随机变量 X 与 Y 的部分联合分布列、边缘分布列如下表，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()由()可以得到联合分布列、边缘分布列为 所以 PminX，Y)1)=1 一 Pmin(X，Y)1=1 一 PX1，Y1 =1 一 PX=1，Y=1一 PX=1，Y=2 )解析：25.设总体 X 的概率密度为 f(x；)= ，一x+，其中 0 未知X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本 ()利用原点矩求 的矩估计量 是否等于 2 ()求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 EX= =0，故采用二阶原点矩进行矩估计，由 ()设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本观测值，似然函数为 )解析：
