1、考研数学（数学三）模拟试卷 470 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又设 （分数：2.00）A.f(0)=1B.f“(0)=2C.f“(0)=3D.f (4) (0)=43.设 f(x)= （分数：2.00）A.在区间(一，0)内是严格单调增，在(0，+)内严格单调减B.在区间(一，0)内是严格单调减，在(0，+)内严格单调增C.在区间(一，0)与(0，+)内都是严格单调增D.在区间(一，0)与(0，+)
2、内都是严格单调减4.设 f(x)=arctan 2x，则 f (2017) (0)= ( )（分数：2.00）A.2 017!2 2017 B.2 016!2 2017 C.一(2 017!)2 2017 D.一(2 016!)2 2017 5.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在，但函数不连续B.偏导数不存在，但函数连续C.偏导数存在，函数也连续D.偏导数不存在，函数也不连续6.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B则下列关系中不正确的是 ( )（分数：2.00）A.A+B=ABB.(AB) -1 =A -1 B -1 C.(AE)x=0 只有零解D.BE 不可逆
3、7.设 A，B，C 均是 3 阶方阵，满足 AB=C，其中 （分数：2.00）A.a=一 1 时，r(A)=1B.a=一 1 时，r(A)=2C.a1 时，r(A)=1D.a1 时，r(A)一 28.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的根据以往的记录有以下的数据： （分数：2.00）A.元件制造厂 1B.元件制造厂 2C.元件制造厂 3D.无法判断9.抛一枚均匀的硬币若干次，正面向上次数记为 X，反面向上次数记为 Y，当 XY2 时停止，则试验最多进行 5 次停止的概率为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 y(x)是微分
4、方程 y“+(x+1)y+x 2 y=x 的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，并设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=0，f(0)=A0则= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是 3 阶矩阵已知A+E=A+2E=A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.在一个袋中装有 a 个白球，b 个黑球，每次摸一球且摸后放回重复 n 次已知摸到白球 k 次的条件下，事件 B 发生的概率为 （分数：2.
5、00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设三角形三边的长分别为 a，b，c，此三角形的面积设为 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离（分数：2.00）_18.设 z=f(u)存在二阶连续导数，并设复合函数 z=f( )在 x0 处满足 （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.设 n 为正整数，F(x)= ()证明对于给定的 n，F(x)有且仅有 1 个(实)零点，并且是正的，记该零点为 a n ； ()证明幂级数 （分数：2.00）_21.设 f(x
6、，y)=max ，1)，D=(x，y)xy1求 （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.设矩阵 （分数：2.00）_24.设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2)= （分数：2.00）_25.设总体 X 的概率密度 f(x)= （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 470 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又设 （分数：2.00）A.f(0)=1B.f“(0)=
7、2C.f“(0)=3 D.f (4) (0)=4解析：解析：用佩亚诺泰勒公式先考虑分母， tan xsin x= x 3 (x0) 将 f(x)在 x=0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至 n=3，得 3.设 f(x)= （分数：2.00）A.在区间(一，0)内是严格单调增，在(0，+)内严格单调减B.在区间(一，0)内是严格单调减，在(0，+)内严格单调增C.在区间(一，0)与(0，+)内都是严格单调增 D.在区间(一，0)与(0，+)内都是严格单调减解析：解析：f(x)= 4.设 f(x)=arctan 2x，则 f (2017) (0)= ( )（分数：2.00）A.2 017!2 2017
8、 B.2 016!2 2017 C.一(2 017!)2 2017 D.一(2 016!)2 2017 解析：解析：f(x)=arctan 2x， 由麦克劳林展开式的唯一性知， (一 1) n 2 2n+1 = 5.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在，但函数不连续 B.偏导数不存在，但函数连续C.偏导数存在，函数也连续D.偏导数不存在，函数也不连续解析：解析：由偏导数定义，得 即两个偏导数都存在 考虑连续性，取 y=kx 2 ，让点(x，y)(0，O)则 f(x，kx 2 )= (x0)， 所以当 x0 时，f(x，kx 2 ) 6.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB
9、=A+B则下列关系中不正确的是 ( )（分数：2.00）A.A+B=ABB.(AB) -1 =A -1 B -1 C.(AE)x=0 只有零解D.BE 不可逆 解析：解析：因 A，B 满足 AB=A+B，两边取行列式，显然有A+B=AB=AB，A 正确 由AB=A+B， 移项，提公因子得 ABA=A(BE)一 B，A(BE)=BE+E，(AE)(BE)=E 故 AE，BE都是可逆矩阵，且互为逆矩阵，从而知方程组(AE)x=0 只有零解，(C)正确 BE 不可逆是错误的，(D)不正确又因 (AE)(BE)=E， 故 (BE)(AE)=E， 从而有 BA 一 AB+E=E，BA=A+B，得 AB=
10、BA，则(AB) -1 =(BA) -1 =(BA) -1 =A -1 B -1 ，故(B)正确 因此(A)，(B)，(C)是正确的，应选 D7.设 A，B，C 均是 3 阶方阵，满足 AB=C，其中 （分数：2.00）A.a=一 1 时，r(A)=1B.a=一 1 时，r(A)=2C.a1 时，r(A)=1 D.a1 时，r(A)一 2解析：解析：显然 r(C)=1，又 当 a一 1 时，有 r(B)=3，B 可逆，因 AB=C，故 r(A)=r(AB)=r(C)=1故应选(C) 因(C)成立，显然(D)不能成立 当 a=1 时，取 A= ，有 AB=C，此时 r(A)=1； 也可取 A=8
11、.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的根据以往的记录有以下的数据： （分数：2.00）A.元件制造厂 1B.元件制造厂 2 C.元件制造厂 3D.无法判断解析：解析：设事件 A i =元件来自工厂 i，i=1，2，3，B=取出一只是次品，则 P(A 1 )=015，P(A 2 )=080，P(A 3 )=005， P(BA 1 )=002，P(BA 2 )=001，P(BA 3 )=003 由贝叶斯公式，知 P(A i B)= 9.抛一枚均匀的硬币若干次，正面向上次数记为 X，反面向上次数记为 Y，当 XY2 时停止，则试验最多进行 5 次停止的概率为 ( ) （分数：2.00）
12、A.B.C.D. 解析：解析：满足条件的情况有：“正正正”、“反正正正正”、“正反正正正”、“正正反正正”，所以概率为二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 y(x)是微分方程 y“+(x+1)y+x 2 y=x 的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，并设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：一*）解析：解析：由 y(0)=0 知，所求极限为“ ”型，又 由初始条件 y(0)=1，若 k=1，则上述极限为 0，不符，故 k2 由所给方程知，y“(0)=x(x+1)yx 2 y x=0 =1则 k=2，否则极限为，不符合题意，此
13、时上述极限为 11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由上、下限知，积分区域 D=D 1 D 2 =(x，y)0x1，0y1(x，y)ln yx1，1ye =(x，y)0ye x ，0x1 12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=xe 1x）解析：解析：此微分方程为一阶齐次方程，令 y=ux，有 ，原方程化为 u+ 13.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=0，f(0)=A0则= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由洛必达法则知14.设 A 是 3 阶矩阵已知
14、A+E=A+2E=A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：法一 由题设A+E=A+2E=A+3E=0 知，A 有三个不同的特征值 1 =一 1， 2 =一 2， 3 =一 3，则 A+4E 的特征值为 3，2，1，故A+4E=321=6 法二 由题设A+E=A+2E=A+3E=0 知，A 有三个不同的特征值 1 =一 1， 2 =一 2， 3 =一 3，故存在可逆阵 P，使得 P -1 AP= P -1 ，将其代入A+4E得 15.在一个袋中装有 a 个白球，b 个黑球，每次摸一球且摸后放回重复 n 次已知摸到白球 k 次的条件下，
15、事件 B 发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意，每次摸一球且摸后放回重复 n 次实质为 n 重独立重复试验，则每次摸到白球的概率记为 p= 设事件 A k =在 n 重独立重复试验中摸到白球 k 次，则 P(A k )=C n k p k (1 一 p) nk (k=0，1，2，n)， 由全概率公式得 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设三角形三边的长分别为 a，b，c，此三角形的面积设为 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相
16、应的距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 P 为三角形内的任意一点，该点到长分别为 a，b，c 的边的距离分别为x，y，z由三角形的面积公式有 求 f=xyz 在约束条件 ax+by+cz 一 2S=0 下的最大值令 W=xyz+(ax+by+cz 一 2S) 由拉格朗日乘数法，得 解得 x= 显然当 P 位于三角形三边上时，f=0 为最小值；当 P 位于三角形内部时，f 存在最大值由于驻点唯一，故当 x= 时，f 最大，即 f max = )解析：18.设 z=f(u)存在二阶连续导数，并设复合函数 z=f( )在 x0 处满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 u
17、= ，原方程两边同乘 x 2 化为(1+u 2 )f“+2uf=0 这是关于f的一阶线性微分方程(或变量可分离的微分方程)，即 (1+u 2 )(f)+2u(f)=0 解得 f(u)= )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设当 x(一 1，+)且 x0 时 所以 f(x)在 x=0 处连续 下面求区间(一 1，+)且 x0 上的 f(x)： 为讨论 f(x)的符号，取其分子记为 g(x)，即令 g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)一 x 2 ，有 g(0)=0 g(x)=2ln(1+x)+ln 2 (1+x)一 2x，有 g(0)=0， 当一1x+且 x0
18、时， 由泰勒公式有，当一 1x+且 x0 时， g(x)= g“()x 2 0，g(0)=0 所以当一 1x+且 x0 时 f(x)0又由 f(0)=一 )解析：20.设 n 为正整数，F(x)= ()证明对于给定的 n，F(x)有且仅有 1 个(实)零点，并且是正的，记该零点为 a n ； ()证明幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 所以对于给定的 n，F(x)有且仅有一个零点，记为 a n ，且 所以a n 严格单调减少且 (一 1) n a n 收敛 但 a n )解析：21.设 f(x，y)=max ，1)，D=(x，y)xy1求 （分数：2.00）_正确答案：(正
19、确答案：如图所示，将平面区域 D 分成三块，中间一块记为 D 3 ，左、右两块分别记为 D 1 与 D 2 则 )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵(AE)作初等行变换 所以 Ax=0 的基础解系为 =(3，2，一3，1) T ，通解为 k，其中 k 是任意常数 ()由(*)式知，将 B，E 按列分块则 AB=E，即 A( 1 ， 2 ， 3 )=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，A i =e i ，i=1，2，3 由 可知 A 1 =e 1 有特解 1 =(5，1，一 3，1) T ，通解为 k+ 1 ； A 2 =e 2 有特解 2 =(4，3，一
20、4，1) T ，通解为l+ 2 ； A 3 =e 3 有特解 3 =(一 2，0，1，0) T ，通解为 n+ 3 故 B=(k+ 1 ，l+ 2 ，n+ 3 )= )解析：23.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，则矩阵A= T 于是 A 2 =AA=( T )( T )=( T ) T =( a i b i )A=tr(A)A=aA 设 是 A 的特征值， 是对应的特征向量，则 A 2 =aA， 2 =a，( 2 一 a)=0 由于 0，故有 (a)=0所以，矩阵 A 的特征值是 0
21、或 a又因为 i =tr(A)=a0，所以 1 =a 是 A 的 1 重特征值， 2 = 3 = n =0 是 A 的 n 一 1 重特征值 对于特征值 2 = 3 = n =0，齐次线性方程组(0E 一 A)x=0 其系数矩阵的秩 r(0EA)=r(一 A)=r(A) =r( T )minr()，r( T )=1 又因为 tr(A)= )解析：24.设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： F Z (z)=PZz=PXYz =PX=1PXYzX=1+PX=2PXYzX=2 )解析：25.设总体 X 的概率密度 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()EX= - + x =1 100 ()对于总体的样本值 1 000，1 100，1 200，似然函数 L()= e -(1000+1100+2000) ， 由于 f()=1 000 一 +1 100一 +1 200 一 在 =1 100 时取得最小值，则 L()取得最大值，即 的最大似然估计值 =1 100 (11)对于总体的样本值 1 000，1 100，似然函数 L()= )解析：
