1、2014 年黑龙江省牡丹江市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，满分 27 分 ) 1.(3 分 )下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故此选项错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形 .故此选项错误； C、既是轴对称图形，不是中心对称图形 .故此选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形 .故此选项错误 . 答案： C. 点评： 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称 2.(3 分 )在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x0 B.
2、 x 0 C. x0 D. x 0 且 x1 解析 ： 根据题意得到： x 0， 答案： B. 3.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. 2a2+a=3a2 B. 2a-1= (a0 ) C. (-a2)3a 4=-a D. 2a2 3a3=6a5 解析 ： A、 2a2+a，不是同类项不能合并，故 A 选项错误； B、 2a-1= (a0 )，故 B 选项错误； C、 (-a2)3a 4=-a2，故 C 选项错误； D、 2a2 3a3=6a5，故 D 选项正确 . 答案： D. 4.(3 分 )由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最
3、少是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ： 根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有 1+1+1=3 个小正方体， 第二层最少有 1 个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有 3+1=4 个 . 答案： B. 5.(3 分 )将抛物线 y=(x-1)2+3 向左平移 1 个单位，得到的抛物线与 y 轴的交点坐标是 ( ) A. (0， 2) B. (0， 3) C. (0， 4) D. (0， 7) 解析 ： 抛物线 y=(x-1)2+3 的顶点坐标为 (1， 3)，把点 (1， 3)向左平移 1 个单位得到点的坐标为 (0， 3)，所以平移后抛物线解析式为 y=x
4、2+3，所以得到的抛物线与 y 轴的交点坐标为 (0，3). 答案： B. 6.(3 分 )若 x： y=1： 3， 2y=3z，则 的值是 ( ) A. -5 B. - C. D. 5 解析 ： x ： y=1： 3， 设 x=k， y=3k， 2y=3z ， z=2k ， = =-5. 答案： A. 7.(3 分 )如图， O 的直径 AB=2，弦 AC=1，点 D 在 O 上，则 D 的度数是 ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 解析 ： O 的直径是 AB， ACB=90 ， 又 AB=2 ，弦 AC=1， sinB= ， B=30 ， A=D=60 . 答案： C
5、. 8.(3 分 )如图，点 P 是菱形 ABCD 边上一动点，若 A=60 ， AB=4，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长的速度沿 ABCD 的路线运动，当点 P 运动到点 D 时停止运动，那么 APD的面积 S 与点 P 运动的时间 t 之间的函数关系的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A=60 ， AB=4， 菱形的高 =4 =2 ， 点 P 在 AB 上时， APD 的面积 S= 4 t= t(0t4 )； 点 P 在 BC 上时， APD 的面积 S= 42 =4 (4 t8 )； 点 P 在 CD 上时， APD 的面积 S= 4 (12-t)=- t+
6、12 (8 t12 )， 纵观各选项，只有 B 选项图形符合 . 答案： B. 9.(3 分 )如图，矩形 ABCD 中， O 为 AC 中点，过点 O的直线分别与 AB， CD交于点 E， F，连接 BF 交 AC 于点 M，连接 DE， BO.若 COB=60 ， FO=FC，则下列结论： FBOC ， OM=CM； EOBCMB ； 四边形 EBFD 是菱形； MB ： OE=3： 2. 其中正确结论的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： 连接 BD， 四边形 ABCD 是矩形， AC=BD ， AC、 BD 互相平分， O 为 AC 中点， BD 也过 O
7、点， OB=OC ， COB=60 ， OB=OC， OBC 是等边三角形， OB=BC=OC ， OBC=60 ， 在 OBF 与 CBF 中 ， ， OBFCBF (SSS)， OBF 与 CBF 关于直线 BF 对称， FBOC ， OM=CM； 正确， OBC=60 ， ABO=30 ， OBFCBF ， OBM=CBM=30 ， ABO=OBF ， ABCD ， OCF=OAE ， OA=OC ，易证 AOECOF ， OE=OF ， OBEF ， 四边形 EBFD 是菱形， 正确， EOBFOBFCB ， EOBCMB 错误 . OMB=BOF=90 ， OBF=30 ， MB=O
8、M/ ， OF=OM/ ， OE=OM ， MB ： OE=3： 2，正确； 答案： C. 二、填空题 (每小题 3 分，满分 33 分 ) 10.(3 分 )2014 年我国农村义务教育保障资金约为 87900000000 元，请将数 87900000000用科学记数法表示为 . 解析 ： 87 900 000 000=8.7910 10. 答案： 8.7910 10. 11.(3 分 )如图，点 B、 E、 C、 F 在一条直线上， ABDE ， BE=CF，请添加一个条件 ，使 ABCDEF . 解析 ： 添加 AB=DE. BE=CF ， BC=EF ， ABDE ， B=DEF ，
9、在 ABC 和 DEF 中， ， ABCDEF (SAS). 答案： AB=DE(答案不唯一 ). 12.(3 分 )某种商品每件的标价为 240 元，按标价的八折销售时，每件仍能获利 20%，则这种商品每件的进价为 元 . 解析 ： 设这种商品每件的进价为 x 元， 由题意得， 2400.8 -x=10%x，解得： x=160， 即每件商品的进价为 160 元 . 答案： 160. 13.(3 分 )一组数据 2， 3， x， y， 12 中，唯一的众数是 12，平均数是 6，这组数据的中位数是 . 解析 ： 数据 2， 3， x， y， 12 的平均数是 6， (2+3+x+y+12)=6
10、，解得： x+y=13， 数据 2， 3， x， y， 12 中，唯一的众数是 12， x=12 ， y=1 或 x=1， y=12， 把这组数据从小到大排列为： 1， 2， 3， 12， 12，则这组数据的中位数是 3； 答案： 3. 14.(3 分 )O 的半径为 2，弦 BC=2 ，点 A 是 O 上一点，且 AB=AC，直线 AO与 BC交于点 D，则 AD 的长为 . 解析 ： 如图所示： O 的半径为 2，弦 BC=2 ，点 A 是 O 上一点，且 AB=AC， ADBC ， BD= BC= ， 在 RtOBD 中， BD 2+OD2=OB2，即 ( )2+OD2=22，解得 OD
11、=1， 当如图 1 所示时， AD=OA-OD=2-1=1； 当如图 2 所示时， AD=OA+OD=2+1=3. 答案： 1 或 3. 15.(3 分 )在一个不透明的口袋中有 3 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1， 2， 3，随机地取出一个小球然后放回，再随机地取出一个小球，则两次取出小球的标号的和是 3 的倍数的概率是 . 解析 ： 树状图如下： 共 9 种情况，两次取出的小球的标号之和是 3 的倍数的情况数有 3 种， 所以两次取出的小球的标号之和是 3 的倍数的概率为 = . 答案： . 16.(3 分 )如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第 n 个图形中，点的个数为 .
12、 解析 ： 第 1 个图形中点的个数为 3； 第 2 个图形中点的个数为 3+3； 第 3 个图形中点的个数为 3+3+5； 第 4 个图形中点的个数为 3+3+5+7； 第 n 个图形中小圆的个数为 3+3+5+7+ (2n-1)=n2+2. 答案： n2+2. 17.(3 分 )如图，在 ABC 中， AC=BC=8， C=90 ，点 D 为 BC 中点，将 ABC 绕点 D 逆时针旋转 45 ，得到 ABC ， BC 与 AB 交于点 E，则 S 四边形 ACDE= . 解析 ： 由题意可得： B=BDE=45 ， BD=4， 则 DEB=90 ， BE=DE=2 ， S BDE = 2
13、 2 =4， S ACB = ACBC=32 ， S 四边形 ACDE=SACB -SBDE =28. 答案： 28. 18.(3 分 )抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-3， 0)，对称轴是直线 x=-1，则 a+b+c= . 解析 ： 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-3， 0)，对称轴是直线 x=-1， y=ax 2+bx+c 与 x 轴的另一交点为 (1， 0)， a+b+c=0 . 答案： 0. 19.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，点 A(0， 4)， B(3， 0)，连接 AB，将 AOB 沿过点 B的直线折叠，使点 A 落在 x 轴上的点 A 处，折痕
14、所在的直线交 y 轴正半轴于点 C，则直线BC 的解析式为 . 解析 ： A (0， 4)， B(3， 0)， OA=4 ， OB=3， 在 RtOAB 中， AB= =5， AOB 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 x 轴上的点 A 处， BA=BA=5 ， CA=CA ， OA=BA -OB=5-3=2， 设 OC=t，则 CA=CA=4 -t， 在 RtOAC 中， OC 2+OA 2=CA 2， t 2+22=(4-t)2，解得 t= ， C 点坐标为 (0， )， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 把 B(3， 0)、 C(0， )代入得 ，解得 ， 直线 BC 的解析
15、式为 y=- x+ . 答案： y=- x+ . 20.(3 分 )矩形 ABCD 中， AB=2， BC=1，点 P 是直线 BD 上一点，且 DP=DA，直线 AP 与直线 BC交于点 E，则 CE= . 解析 ： 矩形 ABCD 中， AB=2， AD=1， 由勾股定理得： BD= . 如图所示，以点 D 为圆心， DA 长为半径作圆，交直线 BD 于点 P1、 P2，连接 AP1、 P2A 并延长，分别交直线 BC 于点 E1、 E2. DA=DP 1， 1=2 . ADBC ， 4=3 ，又 2=3 ， 3=4 ， BE 1=BP1= ， CE 1=BE1-BC= -2； DA=DP
16、2 5=6 ADBC ， 5=7 ， 6=7 ， BE 2=BP2= +1， CE 2=BE2+BC= +2. 故答案为： -2 或 +2. 三、解答题 (满分 60 分 ) 21.(5 分 )先化简，再求值： (x- ) ，其中 x=cos60 . 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 x 的值代入进行计算即可 . 答案： 原式 = = = ， 当 x=cos60= 时，原式 = =- . 22.(6 分 )如图，抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A(0， 3)， B(-1， 0)，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为点 D，对称轴与 x
17、轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长 . 注：抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )的顶点坐标是 (- ， ). 解析 ： (1)将 A 与 B 代入抛物线解析式求出 a 与 c的值，即可确定出抛物线解析式； (2)利用顶点坐标公式表示出 D 坐标，进而确定出 E 坐标，得到 DE 与 OE的长，根据 B坐标求出 BO 的长，进而求出 BE 的长，在直角三角形 BED 中，利用勾股定理求出 BD的长 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A(0， 3)， B(-1， 0)， 将 A 与 B 坐标代入得： ，解得： ， 则抛物线解析式为 y=-x2+2x+3； (2)由
18、D 为抛物线顶点，得到 D(1， 4)， 抛物线与 x 轴交于点 E， DE=4 ， OE=1， B (-1， 0)， BO=1 ， BE=2 ， 在 RtBED 中，根据勾股定理得： BD= = =2 . 23.(6 分 )在 ABC 中， AB=AC=5， BC=6，以 AC 为一边作正方形 ACDE，过点 D作 DFBC 交直线 BC 于点 F，连接 AF，请你画出图形，直接写出 AF 的长，并画出体现解法的辅助线 . 解析 ： 根据题意画出两个图形，再利用勾股定理得出 AF 的长 . 答案 ：如图 1 所示： AB=AC=5 ， BC=6， AM=4 ， ACM+DCF=90 ， MA
19、C+ACM=90 ， CAM=DCF ， 在 AMC 和 CFD 中 ， ， AMCCFD (AAS)， AM=CF=4 ， 故 AF= = ， 如图 2 所示： AB=AC=5 ， BC=6， AM=4 ， MC=3， ACM+DCF=90 ， MAC+ACM=90 ， CAM=DCF ， 在 AMC 和 CFD 中 ， ， AMCCFD (AAS)， AM=FC=4 ， FM=FC -MC=1， 故 AF= = . 24.(7 分 )某校为了了解本校九年级学生的视力情况 (视力情况分为：不近视，轻度近视，中度近视，重度近视 )，随机对九年级的部分学生进行了抽样调查，将调查结果进行整理后，绘
20、制了如下不完整的统计图，其中不近视与重度近视人数的和是中度近视人数的 2 倍 . 请你根据以上信息解答下列问题： (1)求本次调查的学生人数； (2)补全条形统计图，在扇形统计图中， “ 不近视 ” 对应扇形的圆心角度数是 144 度； (3)若该校九年级学生有 1050 人，请你估计该校九年级近视 (包括轻度近视，中度近视，重度近视 )的学生大约有多少人 . 解析 ： (1)根据轻度近视的人数是 14 人，占总人数的 28%，即可求得总人数； (2)设中度近视的人数是 x 人，则不近视与重度近视人数的和 2x，列方程求得 x 的值，即可求得不近视的人数，然后利用 360 乘以对应的百分比即可
21、求得圆心角的度数； (3)利用总人 数乘以对应的百分比即可求解 . 答案 ： (1)本次调查的学生数是： 1428%=50 (人 )； (2)设中度近视的人数是 x 人，则不近视与重度近视人数的和 2x，则 x+2x+14=50， 解得： x=12， 则中度近视的人数是 12，不近视的人数是： 24-4=20(人 )， 则 “ 不近视 ” 对应扇形的圆心角度数是： 360 =144 ； (3)1050 =630(人 ). 答：该校九年级近视 (包括轻度近视，中度近视，重度近视 )的学生大约 630 人 . 25.(8 分 )快、慢两车分别从相距 480 千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，
22、先相向而行，途中慢车因故停留 1 小时，然后以原速继续向甲地行驶，到达甲地后停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地 (快车掉头的时间忽略不计 )，快、慢两车距乙地的路程 y(千米 )与所用时间 x(小时 )之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出慢车的行驶速度和 a 的值； (2)快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是多少千米？ (3)两车出发后几小时相距的路程为 200 千米？请直接写出答案 . 解析 ： (1)根据行程问题的数量关系速度 =路程 时间及路程 =速度 时间就可以得出结论； (2)由 (1)的结论可以求出点 D的坐标，再由题意可以求出快车的速
23、度就可以求出点 B的坐标，由待定系数法求出 AB 的解析式及 OD 的解析式就可以求出结论； (3)根据 (2)的结论，由待定系数法求出求出直线 BC 的解析式和直线 EF 的解析式，再由一次函数与一元一次方程的关系建立方程就可以求出结论 . 答案 ： (1)由题意，得慢车的速度为： 480 (9-1)=60 千米 /时， a=60 (7-1)=360. 答：慢车的行驶速度为 60 千米 /时和 a=360 千米； (2)由题意，得 560=300 ， D (5， 300)， 设 yOD=k1x，由题意，得 300=5k1， k 1=60， y OD=60x. 快车的速度为： (480+360
24、)7=120 千米 /时 .480120=4 小时 .B (4， 0)， C(8， 480). 设 yAB=k2x+b，由题意，得 ，解得： ， y AB=-120x+480 ，解得： . 480 -160=320 千米 . 答：快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是 320 千米； (3)设直线 BC 的解析式为 yBC=k3x+b3，由题意，得 ，解得 ， y BC=120x-480； 设直线 EF 的解析式为 yEF=k4x+b4，由题意，得 ，解得 ，y EF=60x-60. 当 60x-(-120x+480)=200 时，解得： x= ； 当 60x-(-120x+480)=-20
25、0 时解得： x= ； 当 120x-480-(60x-60)=200 时，解得： x= 9(舍去 ). 当 120x-480-(60x-60)=-200 时解得： x= 4(舍去 )； 当 120x-480-60x=-200 时解得： x= . 综上所述：两车出发 小时、 小时或 小时时，两车相距的路程为 200 千米 . 26.(8 分 )如图，在等边 ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作 ADN=60 ，直线 DN 交射线 AB 于点 E，过点 C 作 CFAB 交直线 DN 于点 F. (1)当点 D 在线段 BC 上， NDB 为锐角时，如图 ，求证： CF+BE=C
26、D； (提示：过点 F 作 FMBC 交射线 AB 于点 M.) (2)当点 D 在线段 BC 的延长线上， NDB 为锐角时，如图 ；当点 D 在线段 CB 的延长线上，NDB 为钝角时，如图 ，请分别写出线段 CF， BE， CD 之间的数量关系，不需要证明； (3)在 (2)的条件下，若 ADC=30 ， SABC =4 ，则 BE= ， CD= . 解析 ： (1)通过 MEFCDA 即可求得 ME=CD，因为通过证四边形 BCFM 是平行四边形可以得出 BM=CF，从而证得 CF+BE=CD； (2)作 FMBC ，得出四边形 BCFM 是平行四边形，然后通过证得 MEFCDA 即可
27、求得， (3)根据 ABC 的面积可求得 AB=BC=AC=4，所以 BD=2AB=8，所以 BE=8，图 CD=4 图 3CD=8， 答案 ： (1)如图 ，过点 F 作 FMBC 交射线 AB 于点 M， CFAB ， 四边形 BMFC 是平行四边形， BC=MF ， CF=BM， ABC=EMF ， BDE=MFE ， ABC 是等边三角形， ABC=ACB=60 ， BC=AC， EMF=ACB ， AC=MF， ADN=60 ， BDE+ADC=120 ， ADC+DAC=120 ， BDE=DAC ， MFE=D AC， 在 MEF 与 CDA 中， ， MEFCDA (AAS)，
28、 CD=ME=EB+BM ， CD=BE+CF . (2)如图 ， CF+CD=BE，如图 3， CF-CD=BE； (3)如图 图 ， BE=8， CD=4 或 8. 27.(10 分 )某工厂有甲种原料 69 千克，乙种原料 52 千克，现计划用这两种原料生产 A， B两种型号的产品共 80 件，已知每件 A 型号产品需要甲种原料 0.6 千克，乙种原料 0.9 千克；每件 B 型号产品需要甲种原料 1.1 千克，乙种原料 0.4 千克 .请解答下列问题： (1)该工厂有哪几种生产方案？ (2)在这批产品全部售出的条件下，若 1 件 A 型号产品获利 35 元， 1 件 B 型号产品获利
29、25元， (1)中哪种方案获利最大？最大利润是多少？ (3)在 (2)的条件下，工厂决定将所有利润的 25%全部用于再次购进甲、乙两种原料，要求每种原料至少购进 4 千克，且购进每种原料的数量均为整数 .若甲种原料每千克 40 元，乙种原料每千克 60 元，请直接写出购买甲、乙两种原料之和最多的方案 . 解析 ： (1)设生产 A 型号产品 x 件，则生产 B 型号产品 (80-x)件，根据原材料的数量与每件产品的用量建立不等式组，求出其解即可； (2)设所获利润为 W 元 ，根据总利润 =A 型号产品的利润 +B 型号产品的利润建立 W与 x 之间的函数关系式，求出其解即可； (3)根据 (
30、2)的结论，设购买甲种原料 m 千克，购买乙种原料 n 千克，建立方程，根据题意只有 n 最小， m 最大才可以得出 m+n 最大得出结论 . 答案 ： (1)设生产 A 型号产品 x 件，则生产 B 型号产品 (80-x)件，由题意，得，解得： 38x40 . x 为整数， x=38 ， 39， 40， 有 3 种购买方案： 方案 1，生产 A 型号产品 38 件，生产 B 型号产品 42 件； 方案 2，生产 A 型号产品 39 件，生产 B 型号产品 41 件； 方案 3，生产 A 型号产品 40 件，生产 B 型号产品 40 件 . (2)设所获利润为 W 元，由题意，得 W=35x+
31、25(80-x)， W=10x+2000， k=10 0， W 随 x 的增大而增大， 当 x=40 时 .W 最大 =2400 元 . 生产 A 型号产品 40 件， B 型号产品 40 件时获利最大，最大利润为 2400 元 . (3)设购买甲种原料 m 千克，购买乙种原料 n 千克，由题意，得 40m+60n=24002m+3n=120. m+n 要最大， n 要最小 . m4 ， n4 ， n=4 .m=9 . 购买甲种原料 9 千克，乙种原料 4 千克 . 28.(10 分 )如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A， B，直线 CD 与x轴、 y轴分
32、别交于点 C， D， AB与 CD相交于点 E，线段 OA， OC的长是一元二次方程 x2-18x+72=0的两根 (OA OC)， BE=5， tanABO= . (1)求点 A， C 的坐标； (2)若反比例函数 y= 的图象经过点 E，求 k 的值； (3)若点 P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点 Q，使以点 C， E， P， Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点 Q 的个数，并直接写出位于 x 轴下方的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)先求出一元二次方程 x2-18x+72=0 的两根就可以求出 OA， OC 的值，进而求出点 A，C 的坐标；
33、 (2)先由勾股定理求出 AB 的值，得出 AE 的值，如图 1，作 EMx 轴于点 M，由相似三角形的现在就可以求出 EM 的值， AM 的值，就可以求出 E 的坐标，由待定系数法就可以求出结论； (3)如图 2，分别过 C、 E 作 CE 的垂线交坐标轴三个点 P1、 P3、 P4，可作出三个 Q 点，过 E 点作 x轴的垂线与 x轴交与 p2，即可作出 Q2，以 CE为直径作圆交于 y轴两个点 P5、 P6，使 PCPE ，即可作出 Q5、 Q6. 答案 ： (1)x 2-18x+72=0x 1=6， x2=12. OA OC， OA=12 ， OC=6.A (12， 0)， C(-6，
34、 0)； (2)tanABO= ， = ， ， OB=16 . 在 RtAOB 中，由勾股定理，得 AB= =20. BE=5 ， AE=15 . 如图 1，作 EMx 轴于点 M， EMOB .AEMABO ， ， ， EM=12 ， AM=9， OM=12 -9=3.E (3， 12).12= ， k=36 ； (3)满足条件的点 Q 的个数是 6，如图 2 所示， x 轴的下方的 Q4(10， -12)， Q6(-3， 6-3 )； 如图 E (3， 12)， C(-6， 0)， CG=9 ， EG=12， EG 2=CG GP， GP=16 ， CPE 与 PCQ 是中心对称， CH=GP=16 ， QH=FG=12， OC=6 ， OH=10 ， Q (10， -12)， 如图 E (3， 12)， C(-6， 0)， CG=9 ， EG=12， CE=15 ， MN= CG= ，可以求得 PH=3 -6， Q (-3， 6-3 )，
